Вільне падіння тіл

Вільне падіння — це рух тіла, на яке діє лише сила тяжіння. У таких задачах опором повітря нехтують, тому тіло рухається тільки під дією сили тяжіння Землі. Це один із найпростіших випадків рівноприскореного руху: прискорення, з яким падають усі тіла, називають прискоренням вільного падіння і позначають літерою g. Його значення біля поверхні Землі становить приблизно 9,8 м/с², а в задачах НМТ його значення дають в умові (наприклад, g = 10 м/с²). Завжди використовуй те значення, яке наведено в умові. Прискорення g завжди напрямлене вертикально вниз, до центра Землі.

Досліди Галілея

Італійський учений Галілео Галілей (1564–1642) першим систематично дослідив падіння тіл. За переказом, він скидав кулі різної маси з Пізанської вежі й виявив, що вони досягають землі майже одночасно. Точніші результати він отримав, скочуючи кулі по похилих жолобах: уповільнивши рух, він зміг виміряти залежність пройденого шляху від часу. Галілей дійшов висновку, що за відсутності опору повітря всі тіла падають з однаковим прискоренням, незалежно від маси.

Трубка Ньютона

Наочним підтвердженням цього висновку є дослід із трубкою Ньютона. Це скляна трубка, у якій містяться легке тіло (наприклад, пір’їна) і важке тіло (дробинка). Якщо в трубці є повітря, пір’їна падає значно повільніше за дробинку через опір повітря. Після відкачування повітря насосом обидва тіла падають однаково й досягають дна одночасно. Це доводить, що різниця в швидкості падіння в повітрі спричинена опором повітря, а не масою тіл.

Чому прискорення не залежить від маси?

Другий закон Ньютона дає просте пояснення. Сила тяжіння, що діє на тіло, дорівнює F = mg, де m — маса тіла. Прискорення тіла знаходять за формулою a = F/m. Підставляючи F = mg, отримуємо a = mg/m = g. Маса скорочується, тому прискорення однакове для всіх тіл — чи то пір’їна, чи то свинцева куля. Саме тому в умовах, де опір повітря відсутній або ним нехтують, усі тіла падають з однаковим прискоренням g.

Коли тіло падає без початкової швидкості (v₀ = 0), його рух описують рівняннями рівноприскореного руху, у яких прискорення a дорівнює g. Вісь Oy зручно напрямити вертикально вниз, тоді всі величини — додатні.

Основні формули

Висота падіння (пройдений шлях) за час t:

$$h=\frac{g{t}^2}{2}$$

Швидкість у момент t:

$$v=gt$$

Швидкість на висоті h (без часу):

$$v=\sqrt{2gh}$$

Час падіння з висоти h:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Приклад: камінь падає з висоти 45 м

Нехай g = 10 м/с². Час падіння:

$$t=\sqrt{\frac{2\cdot 45}{10}}=\sqrt{9}=3\text{с}$$

Швидкість перед ударом об землю:

$$v=10\cdot 3=30\text{м/с}$$

Або за формулою без часу: $$v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 45}=\sqrt{900}=30\text{м/с}$$

Шляхи за послідовні секунди

Одна з важливих властивостей вільного падіння: шляхи, пройдені за послідовні рівні проміжки часу від початку падіння, відносяться як непарні числа — 1 : 3 : 5 : 7 : … . За g = 10 м/с² тіло проходить:

• за 1-шу секунду: h₁ = 5·1² = 5 м

• за 2-гу секунду: h₂ = 5·2² − 5·1² = 20 − 5 = 15 м

• за 3-тю секунду: h₃ = 5·3² − 5·2² = 45 − 20 = 25 м

Справді, 5 : 15 : 25 = 1 : 3 : 5.

Шлях за n-ту секунду можна обчислити за формулою:

$$h_n=\frac{g(2n-1)}{2}$$

Наприклад, за 4-ту секунду: h₄ = 10·(8 − 1)/2 = 35 м.

Шлях за останню секунду падіння

Якщо відомий повний час падіння t, то шлях за останню секунду дорівнює різниці між повною висотою h і висотою, пройденою за час (t − 1):

$$h_{\text{ост}}=h-\frac{g(t-1{)}^2}{2}$$

Наприклад, для падіння з висоти 80 м (g = 10 м/с²): t = √(160/10) = 4 с. За 3 с тіло проходить 5·9 = 45 м. Отже, за останню секунду: 80 − 45 = 35 м.

Як зміна висоти впливає на час і швидкість

Якщо висоту падіння збільшити вдвічі, то час падіння зросте в √2 ≈ 1,41 раза, а кінцева швидкість — теж у √2 раза. Це випливає з формул t ∼ √h і v ∼ √h. Наприклад, з висоти 20 м (g = 10 м/с²) час падіння 2 с, швидкість 20 м/с; з висоти 40 м — час ≈ 2,83 с, швидкість ≈ 28,3 м/с.

Коли тіло кидають вертикально, воно рухається з тим самим прискоренням g, що й під час вільного падіння. Різниця лише в тому, що тепер є початкова швидкість v₀, яка може бути напрямлена вгору або вниз. Вибір напряму осі Oy визначає знаки у формулах.

Рівняння руху з віссю Oy угору

Найчастіше вісь Oy напрямляють вертикально вгору. Тоді початкова швидкість v₀ — додатна, а прискорення g — від'ємне (напрямлене вниз, проти осі). Рівняння руху:

$$v=v_0-gt$$

$$y=v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}$$

Тут y — координата тіла відносно точки кидання. Якщо тіло кинули з висоти H, то y = H + v₀t − gt²/2.

Тіло, кинуте вертикально вниз

Якщо тіло кидають униз, вісь Oy зручно напрямити вниз. Тоді v₀ і g — додатні:

$$h=v_{0}t+\frac{g{t}^2}{2}$$

$$v=v_0+gt$$

Тут h — пройдений шлях (глибина падіння).

Максимальна висота підйому і час підйому

Для тіла, кинутого вертикально вгору, максимальна висота досягається в момент, коли швидкість стає нульовою. З рівняння v = v₀ − gt отримуємо час підйому:

$$t_{\text{п}}=\frac{v_0}{g}$$

Підставляючи цей час у рівняння координати, знаходимо максимальну висоту:

$$h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}$$

Повний час польоту до повернення в точку кидання вдвічі більший за час підйому:

$$t_{\text{пов}}=\frac{2v_0}{g}$$

У точку кидання тіло повертається з тією самою за модулем швидкістю v₀, але напрямленою вниз.

Приклад: м'яч кинули вгору зі швидкістю 20 м/с

Нехай g = 10 м/с². Час підйому: $t_{\text{п}}$ = 20/10 = 2 с. Максимальна висота: hmax = 20²/(2·10) = 400/20 = 20 м. Повний час польоту: 2·2 = 4 с.

Прискорення у верхній точці

У верхній точці траєкторії швидкість тіла дорівнює нулю — воно на мить зупиняється, перш ніж почати падати вниз. Однак прискорення в цій точці не нульове: воно дорівнює g і напрямлене вертикально вниз. Сила тяжіння продовжує діяти на тіло, тому прискорення не зникає.

Симетрія руху вгору й униз

Рух тіла, кинутого вертикально вгору, симетричний відносно верхньої точки. Це означає:

• на тій самій висоті швидкості під час підйому й спуску однакові за модулем

• час підйому до будь-якої висоти дорівнює часу спуску з тієї самої висоти

• повний час польоту до точки кидання — 2v₀/g

Тіло, кинуте вгору з висоти H

Якщо тіло кидають вертикально вгору з балкона або вежі, що перебуває на висоті H над землею, рівняння руху набуває вигляду:

$$y=H+v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}$$

Момент падіння на землю знаходять, розв'язуючи квадратне рівняння y = 0. Додатний корінь дає час польоту до землі.

Приклад 1. Максимальна висота підйому

М'яч кинули вертикально вгору зі швидкістю 15 м/с. Вважайте g = 10 м/с². Визначте максимальну висоту підйому м'яча (у метрах).

Розв'язання. Максимальна висота підйому тіла, кинутого вертикально вгору:

$$h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{15^2}{2\cdot 10}=\frac{225}{20}=11,25\text{м}$$

Відповідь: 11,25.

Типові помилки: забути поділити на 2 (тоді вийшло б 22,5) або взяти g = 9,8 (отримали б 11,48, що не збігається з умовою).

Приклад 2. Прискорення у верхній точці

М'яч кинули вертикально вгору. Яке прискорення має м'яч у верхній точці траєкторії?

Варіанти відповідей:

• 0

• g, напрямлене вгору

• g, напрямлене вниз

• менше за g, тому що швидкість дорівнює нулю

Розв'язання. У верхній точці швидкість тіла дорівнює нулю, але сила тяжіння продовжує діяти. Отже, прискорення дорівнює g і напрямлене вертикально вниз.

Відповідь: g, напрямлене вниз.

Чому інші варіанти неправильні:

• 0 — помилка: учні часто думають, що якщо тіло зупинилося, то й прискорення нульове. Насправді прискорення не залежить від швидкості.

• g, напрямлене вгору — прискорення вільного падіння завжди напрямлене вниз, до центра Землі.

• менше за g — прискорення не змінюється під час усього польоту, воно завжди дорівнює g.

Приклад 3. Шлях за останню секунду падіння

Тіло вільно падає без початкової швидкості протягом 4 с. Вважайте g = 10 м/с². Який шлях (у метрах) проходить тіло за останню секунду падіння?

Розв'язання. Повний шлях за 4 с:

$$h=\frac{g{t}^2}{2}=\frac{10\cdot 16}{2}=80\text{м}$$

Шлях за перші 3 с:

$$h_3=\frac{10\cdot 9}{2}=45\text{м}$$

Шлях за останню (4-ту) секунду:

$$h_4=80-45=35\text{м}$$

Відповідь: 35.

Типова помилка: обчислити шлях за 4 секунди (80 м) і дати його як відповідь, не зрозумівши, що запитують саме за останню секунду.

Приклад 4. Тіло, кинуте вгору з висоти

З балкона, що розташований на висоті 25 м над землею, кинули камінь вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Вважайте g = 10 м/с². Через скільки секунд камінь упаде на землю?

Розв'язання. Напрямимо вісь Oy угору, початок координат — на землі. Тоді початкова координата y₀ = 25 м, початкова швидкість v₀ = 20 м/с, прискорення a = −g = −10 м/с². Рівняння руху:

$$y=25+20t-5t^2$$

На землі y = 0. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$25+20t-5t^2=0|:(-5)$$

$$t^2-4t-5=0$$

Дискримінант: D = 16 + 20 = 36, √D = 6. Корені: t = (4 ± 6)/2. Додатний корінь: t = (4 + 6)/2 = 5 с.

Відповідь: 5.

Типова помилка: обчислити лише час підйому ($t_{\text{п}}$ = 20/10 = 2 с) і не врахувати, що камінь ще має впасти з висоти 25 м + 20 м = 45 м.

Приклад 5. Трубка Ньютона

У трубці, з якої відкачали повітря, одночасно відпускають пір'їну й дробинку. Яке твердження правильне?

• Дробинка падає швидше, бо вона важча

• Пір'їна падає швидше, бо вона легша

• Вони падають з однаковим прискоренням і досягають дна одночасно

• У вакуумі тіла не падають

Розв'язання. У вакуумі опір повітря відсутній, тому на обидва тіла діє лише сила тяжіння. Прискорення вільного падіння g не залежить від маси тіла (a = mg/m = g). Отже, пір'їна й дробинка падають з однаковим прискоренням і досягають дна одночасно.

Відповідь: Вони падають з однаковим прискоренням і досягають дна одночасно.

Чому інші варіанти неправильні:

• маса не впливає на прискорення вільного падіння — це довів ще Галілей

• легкість теж не прискорює падіння

• у вакуумі тіла падають — саме там вільне падіння відбувається без спотворень

• Вважати, що у верхній точці траєкторії прискорення дорівнює нулю. Насправді швидкість у верхній точці нульова, але прискорення залишається g і напрямлене вниз. Сила тяжіння діє постійно, тому прискорення не зникає.

• Вважати, що без опору повітря важче тіло падає швидше. Досліди Галілея й трубка Ньютона доводять: у вакуумі всі тіла падають з однаковим прискоренням g, незалежно від маси. Різницю в повітрі створює опір повітря, а не маса.

• Плутати шлях за n-ту секунду зі шляхом за n секунд. Шлях за n секунд — це повна висота h = gn²/2. Шлях за n-ту секунду — це різниця між шляхом за n секунд і шляхом за (n − 1) секунду: hₙ = g(2n − 1)/2. Наприклад, за 4 секунди тіло проходить 80 м, а за 4-ту секунду — лише 35 м.

• Губити знак g, коли вісь напрямлено вгору. Якщо вісь Oy напрямлена вгору, то прискорення g напрямлене вниз, тобто проти осі. У рівняннях v = v₀ − gt і y = v₀t − gt²/2 знак «мінус» перед g обов'язковий.

• Брати за повний час польоту тіла, кинутого вгору, лише час підйому v₀/g. Повний час польоту до точки кидання вдвічі більший: 2v₀/g. Тіло має піднятися до максимальної висоти, а потім упасти назад — обидва етапи тривають однаковий час.

• Не враховувати початкову швидкість тіла, кинутого вниз, у формулі h = gt²/2. Якщо тіло кинули вниз зі швидкістю v₀, то h = v₀t + gt²/2. Формула h = gt²/2 працює лише для падіння без початкової швидкості.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 немає окремих формул вільного падіння. Натомість там подано загальні рівняння рівноприскореного руху:

$$v=v_0+at,s=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2},v^2-v_0^2=2as$$

У задачах на вільне падіння ти підставляєш у ці формули a = g, а знак визначаєш напрямом осі. Також у довідці немає таблиці фізичних сталих, тому значення g дають в умові задачі (наприклад, 10 м/с² або 9,8 м/с²) — використовуй саме його.

Програма НМТ

Тема «Рух тіла під дією сили тяжіння» (тема 1.2 програми) передбачає, що ти вмієш:

• розв'язувати задачі на рух під дією постійної сили тяжіння (вільне падіння)

• пояснювати досліди Галілея, які доводять незалежність прискорення вільного падіння від маси

Формати завдань

На НМТ завдання з вільного падіння можуть мати дві форми:

• Якісні запитання — вибір однієї відповіді з чотирьох (завдання № 1–14, 1 бал). Наприклад: «Яке прискорення має тіло у верхній точці траєкторії?» або «Що доводить дослід із трубкою Ньютона?».

• Розрахункові задачі — коротка відповідь (завдання № 17–22, 0 або 2 бали). Потрібно обчислити час падіння, висоту, швидкість. Відповідь записують числом, наприклад 11,25.

Стратегія

Перед розв'язуванням уважно прочитай умову: яке значення g дано, чи є початкова швидкість, куди вона напрямлена. Визнач напрям осі й розстав знаки. Якщо задача на коротку відповідь, перевір, чи правильно округлив результат і чи записав його у потрібних одиницях.

• Вільне падіння — рівноприскорений рух з прискоренням g, напрямленим вертикально вниз.

• Основні формули для падіння без початкової швидкості: h = gt²/2, v = gt, v = √(2gh), t = √(2h/g).

• Тіло, кинуте вертикально вгору: максимальна висота hmax = v₀²/(2g), час підйому $t_{\text{п}}$ = v₀/g, повний час польоту до точки кидання 2v₀/g.

• У верхній точці траєкторії швидкість v = 0, а прискорення a = g, напрямлене вниз.

• У вакуумі всі тіла падають з однаковим прискоренням g незалежно від маси (досліди Галілея, трубка Ньютона).

• Шляхи за послідовні секунди від початку падіння відносяться як 1 : 3 : 5 : 7 : … .

• Шлях за n-ту секунду: hₙ = g(2n − 1)/2. Шлях за останню секунду: h − g(t − 1)²/2.