Відсоткове відношення: на скільки відсотків змінилася величина

Відсоткове відношення двох чисел — це їхнє відношення, виражене у відсотках. Щоб дізнатися, скільки відсотків число $a$ становить від числа $b$, треба поділити $a$ на $b$ і помножити на 100 %:

$$\frac{a}{b}\cdot 100\%$$

Число $b$ тут — база: те, що беремо за 100 %. У формулюванні задачі база стоїть після слова «від»: «скільки відсотків 18 становить від 24» — база 24. Тоді $\frac{18}{24}\cdot 100\%=0,75\cdot 100\%=75\%$.

Кілька типових ситуацій:

• учень набрав 27 балів з 32 можливих: $\frac{27}{32}\cdot 100\%=84,375\%$;

• у 300 г розчину міститься 12 г солі: $\frac{12}{300}\cdot 100\%=4\%$ — це відсотковий вміст солі;

• на олімпіаду зголосилися 14 учнів із 40: $\frac{14}{40}\cdot 100\%=35\%$;

• число 45 від числа 30: $\frac{45}{30}\cdot 100\%=150\%$ — більше за 100 %, бо $a>b$.

Відсоткове відношення завершує трійку основних задач на відсотки. Усі вони описують одну рівність «частина = ціле · відсоток», а відрізняються тим, що в ній невідоме:

У завданнях з таблицею чи діаграмою базою часто є сума всіх значень. Якщо в понеділок продали 36 квитків, у вівторок — 54, а в середу — 90, то понеділок дає $\frac{36}{180}\cdot 100\%=20\%$ продажів за три дні, а не $\frac{36}{90}$ чи $\frac{36}{54}$. Спершу знайди ціле, потім діли на нього.

Не забувай множити на 100: $\frac{18}{24}=0,75$ — це частка, а відповідь «скільки відсотків» — 75 %. Відповідь 0,75 % означала б у сто разів менше. А якщо в задачі дано звичайний дріб, переводь його так само: $\frac{3}{8}=0,375=37,5\%$.

Коли величина змінилася з початкового значення $A$ до нового значення $B$, зміну у відсотках рахують так:

$$\frac{B-A}{A}\cdot 100\%$$

База — завжди початкове значення $A$: зміну порівнюють з тим, що було. Якщо результат додатний, величина зросла; якщо від’ємний — зменшилася.

Розглянемо ціну, яка зросла з 80 до 100 грн, а потім повернулася зі 100 до 80 грн:

• подорожчання: $\frac{100-80}{80}\cdot 100\%=\frac{20}{80}\cdot 100\%=25\%$;

• здешевлення: $\frac{80-100}{100}\cdot 100\%=-\frac{20}{100}\cdot 100\%=-20\%$, тобто на 20 %.

Різниця та сама — 20 грн, а відсотки різні, бо змінилася база: першого разу 20 грн порівнювали з 80, другого — зі 100. Тому зростання на 25 % «скасовується» зниженням лише на 20 %, а не на 25 %.

Той самий результат через множник. Поділи нове значення на початкове: $\frac{B}{A}$. Якщо вийшло 1,25, нове значення становить 125 % початкового, тобто величина зросла на 25 %. Якщо 0,8 — нове становить 80 %, тобто величина зменшилася на 20 %.

Зверни увагу на рядок з утричі: «більше в 3 рази» означає «більше на 200 %», а не на 300 %. Питання «на скільки відсотків змінилася» і «скільки відсотків становить нове значення» — різні, і відповіді на обидва можуть стояти поруч серед варіантів.

Порівнюючи два числа, база — те число, з яким порівнюють. У мові задачі воно стоїть після слова «за» чи «ніж»: «на скільки відсотків 60 більше за 48» — база 48.

$$\frac{60-48}{48}\cdot 100\%=\frac{12}{48}\cdot 100\%=25\%$$

А «на скільки відсотків 48 менше за 60» — база 60:

$$\frac{60-48}{60}\cdot 100\%=\frac{12}{60}\cdot 100\%=20\%$$

Одна різниця, 12, але дві різні відповіді. Тому питання «на скільки відсотків дешевший» і «на скільки відсотків дорожчий» для тих самих двох товарів мають різні відповіді.

Корисне загальне правило: якщо $a$ більше за $b$ на $p\%$, то $b$ менше за $a$ на $\frac{p}{100+p}\cdot 100\%$. Для $p=25$ це 20 %, для $p=50$ це $33\frac{1}{3}\%$, для $p=100$ це 50 %: якщо одне число вдвічі більше за інше, то друге лише вдвічі менше, тобто на 50 %, а не на 100 %.

Щоб не запам’ятовувати формулу, користуйся множниками: «$a$ на 25 % більше за $b$» означає $a=1,25b$. Тоді $\frac{b}{a}=\frac{1}{1,25}=0,8$, тобто $b$ становить 80 % від $a$ і менше за нього на 20 %.

Та сама логіка діє в задачах про ціни в різних магазинах, зарплати чи результати спортсменів. «Ціна в першому магазині на 10 % вища, ніж у другому» означає, що база — ціна в другому магазині: $P_1=1,1\cdot P_2$. Звідси $P_2=\frac{P_1}{1,1}\approx 0,909\cdot P_1$, тобто в другому магазині дешевше приблизно на 9,1 %, а не на 10 %. Коли треба відновити одне число за іншим, спершу запиши множник, а потім поділи чи помнож на нього — це надійніше, ніж «додати чи відняти відсотки» навмання.

Окрема пастка виникає, коли сама величина вимірюється у відсотках: відсоткова ставка, частка учнів, що склали тест, концентрація розчину, результат на виборах. Тоді зміну можна виразити двома способами.

• Відсоткові пункти (в. п.) — звичайна різниця двох відсоткових значень. Ставка зросла з 12 % до 15 %, тобто на 3 відсоткові пункти.

• Відсотки — відносна зміна за формулою з попереднього розділу: $\frac{15-12}{12}\cdot 100\%=25\%$. Ставка зросла на 25 %.

Обидва твердження правильні, але відповідають на різні питання. Якщо в задачі питають «на скільки відсотків зросла ставка», рахуй відносну зміну: базою є старе значення ставки. Відповідь «на 3 %» тут неправильна — це різниця у відсоткових пунктах.

Відсотки від різних цілих не порівнюють напряму. Нехай у класі з 30 учнів відмінників 20 %, а в класі з 40 учнів — 15 %. Відсоток у першому класі більший, але відмінників однаково: $30\cdot 0,2=6$ і $40\cdot 0,15=6$. Так само на діаграмах: частки у відсотках від різних загальних кількостей спершу переводь у числа, а вже потім порівнюй.

Нарешті, про концентрацію: якщо вміст солі впав з 15 % до 12 %, розчин став «слабшим» на 3 відсоткові пункти, але на $\frac{3}{15}\cdot 100\%=20\%$ відносно початкового вмісту.

Чотири задачі, у яких головне — правильно вибрати базу.

Приклад 1. Подорожчання й здешевлення

Ціна товару зросла з 80 до 100 грн, а згодом знизилася зі 100 до 80 грн. На скільки відсотків ціна зросла і на скільки знизилася?

1. Зростання: база — 80 грн. $\frac{20}{80}\cdot 100\%=25\%$.

2. Зниження: база — 100 грн. $\frac{20}{100}\cdot 100\%=20\%$.

Відповідь: зросла на 25 %, знизилася на 20 %. Хибна «симетрична» відповідь «на 25 % і на 25 %» ігнорує зміну бази. Відповідь «на 20 % і на 20 %» отримує той, хто в першому випадку ділить різницю на нову ціну.

Приклад 2. Зростання зарплати

Зарплата зросла з 18 000 до 20 700 грн. На скільки відсотків зросла зарплата?

1. Різниця: $20700-18000=2700$ грн.

2. База — початкова зарплата: $\frac{2700}{18000}\cdot 100\%=15\%$.

3. Перевірка множником: $\frac{20700}{18000}=1,15$, тобто 115 % — зросла на 15 %.

Відповідь: на 15 %. Якщо поділити на нову зарплату, вийде $\frac{2700}{20700}\cdot 100\%\approx 13\%$ — це найчастіша помилка. Відповідь 115 % — це відсоткове відношення нової зарплати до старої, а не зміна.

Приклад 3. Дешевший чи дорожчий

Навушники коштують 240 грн, а колонка — 300 грн. На скільки відсотків навушники дешевші за колонку? На скільки відсотків колонка дорожча за навушники?

1. «Навушники дешевші за колонку» — база 300: $\frac{60}{300}\cdot 100\%=20\%$.

2. «Колонка дорожча за навушники» — база 240: $\frac{60}{240}\cdot 100\%=25\%$.

Відповідь: на 20 % і на 25 %. Перевірка множниками: $240=0,8\cdot 300$ і $300=1,25\cdot 240$.

Приклад 4. Відсотки й відсоткові пункти

Частка учнів, які успішно склали пробний тест, зросла з 60 % до 75 %. На скільки відсотків зросла ця частка?

1. Різниця у відсоткових пунктах: $75-60=15$ в. п.

2. Відносна зміна: база — 60 %. $\frac{15}{60}\cdot 100\%=25\%$.

Відповідь: на 25 %. Відповідь «на 15 %» — це зміна у відсоткових пунктах, а не у відсотках. Відповідь «на 20 %» ($\frac{15}{75}$) — ділення на нове значення.

Ось помилки, які найчастіше коштують балів у задачах на відсоткове відношення:

• Поділили на нове значення, а не на початкове. Ціна зросла з 40 до 50 грн, і рахують $\frac{10}{50}=20\%$. Правильно: база — те, що було, $\frac{10}{40}=25\%$.

• Переплутали базу в порівнянні. «На скільки відсотків 48 менше за 60» рахують як $\frac{12}{48}$. Правильно: база — число після «за», тобто $\frac{12}{60}=20\%$.

• Дали відсоткове відношення замість зміни. Нове значення становить 125 % старого, а у відповіді пишуть «зросло на 125 %». Правильно: зросло на $125\%-100\%=25\%$. «Утричі більше» — це «на 200 % більше».

• Вважали зміни симетричними. Думають, що після зростання на 25 % зниження на 25 % поверне початкове значення. Правильно: $1,25\cdot 0,75=0,9375$, тобто вийде на 6,25 % менше; повертає зниження на 20 %.

• Сплутали відсотки з відсотковими пунктами. Ставка з 16 % до 20 % «зросла на 4 %». Правильно: на 4 відсоткові пункти, або на $\frac{4}{16}=25\%$.

• Забули помножити на 100. Пишуть $\frac{18}{72}=0,25\%$. Правильно: частка 0,25 — це 25 %.

Відсоткове відношення й відсоткова зміна — частина теми 1.2 програми («знаходити відношення чисел у вигляді відсотка»). За оглядом тестів НМТ 2023–2024 років ця тема дає від 0 до 2 завдань на тест, у середньому близько одного.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–15, 1 бал). «На скільки відсотків подорожчав товар», «скільки відсотків учнів…» — сюжети «життєвих» задач, які зазвичай стоять на перших позиціях. У демоваріанті НМТ-2026 завдання 7 — текстова задача на відсотки, а завдання 1 — читання стовпчастої діаграми: у задачах з діаграмами відсоткове відношення теж буває потрібне. Відповідь для ділення на нове значення чи для відсоткового відношення замість зміни цілком може бути серед п’яти варіантів. Орієнтир — 1–2 хвилини на завдання.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 19–22, 2 бали). У демоваріанті 2026 і розібраних тестах ці позиції займали прогресія чи похідна, комбінаторика або статистика, стереометрія й параметр, тож окремої задачі на відсоткову зміну тут не чекай. Якщо ж відповідь — відсотки, у поле вписують лише число десятковим дробом, без «%». Часткових балів немає.

Алгоритм на тесті:

1. Підкресли в умові слово, що визначає базу: «було», «від», «за», «ніж».

2. Обчисли різницю й поділи її на базу, помнож на 100 %.

3. Перевір множником: нове значення має дорівнювати базі, помноженій на $1\pm \frac{p}{100}$.

Формули відсоткової зміни в довідкових матеріалах НМТ немає. Сигнальні слова «на скільки відсотків» варто помічати одразу: це реальний швидкий бал, якщо не помилитися з базою. Такі бали найшвидше наближають до порогу — 5 тестових балів з 32.

• Відсоткове відношення $a$ до $b$: $\frac{a}{b}\cdot 100\%$; база $b$ стоїть після слова «від».

• Зміна у відсотках: $\frac{B-A}{A}\cdot 100\%$, де $A$ — початкове значення; база — завжди те, що було.

• Зростання з 80 до 100 — це +25 %, а зниження зі 100 до 80 — це −20 %: база різна.

• У порівнянні «на скільки відсотків більше чи менше за…» база — число після «за».

• Нове значення становить 125 % старого означає зростання на 25 %; утричі більше — на 200 % більше.

• Різниця двох відсоткових значень — це відсоткові пункти, а не відсотки.

• Перевіряй відповідь множником $\frac{B}{A}$.