Вага тіла і невагомість

У повсякденному мовленні слова «вага» і «сила тяжіння» часто вживають як синоніми. У фізиці ж це дві різні сили, і плутанина між ними — типова помилка в задачах на вагу тіла. Розберімося, чим вони відрізняються.

Що таке вага тіла?

Вага тіла P⃗ — це сила, з якою тіло внаслідок притягання до Землі тисне на опору або розтягує підвіс. Ключове: вага прикладена до опори чи підвісу, а не до самого тіла. За своєю природою вага — це сила пружності, що виникає в деформованій опорі або підвісі.

Сила тяжіння mg⃗ — це сила, з якою Земля притягує тіло. Вона прикладена до тіла й діє з боку Землі. На відміну від ваги, сила тяжіння не зникає, навіть коли тіло не має опори (наприклад, під час вільного падіння).

Зв'язок ваги і сили реакції опори

За третім законом Ньютона, сила, з якою тіло тисне на опору (вага P⃗), дорівнює за модулем і протилежна за напрямом силі, з якою опора діє на тіло (силі реакції опори N⃗): P⃗ = −N⃗. Тому вагу завжди зручно знаходити через силу реакції опори: спочатку записуємо другий закон Ньютона для тіла, знаходимо N, а потім за третім законом P = N за модулем.

Коли вага дорівнює силі тяжіння?

Вага дорівнює силі тяжіння за модулем лише тоді, коли тіло разом з горизонтальною опорою (або підвісом) перебуває в стані спокою або рухається рівномірно й прямолінійно. У цьому випадку прискорення тіла дорівнює нулю, сила реакції опори врівноважує силу тяжіння, і P = mg. В усіх інших випадках вага відрізняється від mg.

Одиниці вимірювання

Вага — сила, тому її вимірюють у ньютонах (Н). Побутове «моя вага 60 кг» — це насправді маса. Вага людини масою 60 кг на нерухомій підлозі становить приблизно P = 60 · 10 = 600 Н (якщо g = 10 м/с²).

Пружинні ваги й важільні терези

Пружинні ваги (динамометр) вимірюють саме вагу — силу, з якою тіло розтягує пружину. Важільні терези порівнюють маси: на них кладуть тіло й гирі, і в стані рівноваги маси однакові. У ліфті, що рухається з прискоренням, пружинні ваги покажуть змінену вагу, а важільні терези залишаться в рівновазі, бо маса тіла не змінюється.

Найкласичніша задача на вагу — ліфт, що рухається з прискоренням. Щоб знайти вагу, треба записати другий закон Ньютона для тіла, а потім скористатися третім законом.

Виведення формули

Розгляньмо тіло масою m у ліфті. На нього діють дві сили:

• сила тяжіння mg — напрямлена вертикально вниз;

• сила реакції опори N (підлоги ліфта) — напрямлена вертикально вгору.

Спрямуймо вісь OY угору. Тоді другий закон Ньютона у проєкції на цю вісь:

$$N-mg=ma$$

Звідси N = m(g + a). За третім законом Ньютона вага P = N за модулем. Отже:

$$P=m(g+a)$$

Якщо прискорення напрямлене вниз, то у проєкції на вісь угору a буде від'ємним, і формула набуває вигляду:

$$P=m(g-a)$$

Як визначити напрям прискорення?

На вагу впливає напрям прискорення, а не швидкості. Запам'ятай:

Зверни увагу: коли ліфт гальмує, рухаючись униз, його прискорення напрямлене вгору (швидкість зменшується, але напрямлена вниз). У цьому випадку вага більша за mg — ми відчуваємо себе важчими.

Приклад

Людина масою 70 кг стоїть на вагах у ліфті, що гальмує під час руху вниз з прискоренням 2 м/с². g = 10 м/с².

Гальмування вниз означає прискорення вгору. Отже:

$$P=m(g+a)=70\cdot (10+2)=70\cdot 12=840\text{Н}$$

Якщо ваги проградуйовані в кілограмах (побутові ваги), вони покажуть 84 кг — це не маса, а показ, що відповідає вазі 840 Н.

Автомобіль, що проїжджає міст, теж змінює свою вагу — і це не пов'язано з ліфтом, а з рухом по колу. Розгляньмо два характерні випадки.

Опуклий міст (найвища точка)

У найвищій точці опуклого мосту автомобіль рухається по дузі кола радіусом R. Доцентрове прискорення v²/R напрямлене вниз — до центра кола. За другим законом Ньютона:

$$mg-N=m\frac{v^2}{R}$$

Звідси сила реакції опори:

$$N=m\left(g-\frac{v^2}{R}\right)$$

Вага автомобіля дорівнює N за модулем:

$$P=m\left(g-\frac{v^2}{R}\right)$$

Вага менша за mg — автомобіль «легшає». Якщо швидкість досягне значення v = √(gR), то P = 0 — автомобіль на мить утрачає контакт з мостом.

Увігнутий міст (найнижча точка)

У найнижчій точці увігнутого мосту (западини) доцентрове прискорення напрямлене вгору. Рівняння другого закону:

$$N-mg=m\frac{v^2}{R}$$

Звідси:

$$P=N=m\left(g+\frac{v^2}{R}\right)$$

Вага більша за mg — автомобіль «важчає».

Приклад

Автомобіль масою 1000 кг рухається зі швидкістю 10 м/с. Радіус мосту 40 м, g = 10 м/с².

Спочатку обчислимо v²/R = 100/40 = 2,5 м/с².

Невагомість — стан, у якому вага тіла дорівнює нулю. Це не означає, що зникла сила тяжіння! Тіло просто перестає тиснути на опору або розтягувати підвіс.

Умова невагомості

Невагомість настає, коли тіло й опора рухаються лише під дією сили тяжіння з однаковим прискоренням g. Підставимо a = g у формулу ваги для прискорення вниз:

$$P=m(g-g)=0$$

Вага зникає, хоча сила тяжіння mg продовжує діяти на тіло.

Приклади невагомості

• Ліфт з обірваним тросом — ліфт і людина всередині падають з однаковим прискоренням g. Людина перестає тиснути на підлогу.

• Політ після відштовхування від батута — у верхній точці траєкторії тіло рухається лише під дією сили тяжіння.

• Космонавти на орбітальній станції — станція й космонавти «падають» на Землю, але через велику горизонтальну швидкість постійно «пролітають повз».

Чи діє сила тяжіння на орбіті?

Так! На орбітальній станції на висоті приблизно 400 км прискорення вільного падіння становить близько 8,7 м/с² — лише трохи менше, ніж на поверхні Землі (9,8 м/с²). Сила тяжіння діє, але вага дорівнює нулю, бо станція й космонавт рухаються з однаковим прискоренням.

Наслідки невагомості

• Рідина збирається в краплі-кулі (її форму визначає лише поверхневий натяг).

• Предмети «плавають» у кабіні — їх ніщо не притискає до опори.

• Пружинні ваги показують нуль — тіло не розтягує пружину.

• Важільні терези непридатні: ні тіло, ні гирі не тиснуть на шальки, тож коромисло залишається в будь-якому положенні. Маса тіла при цьому не змінюється.

Запам'ятай: невагомість ≠ відсутність сили тяжіння. Сила тяжіння діє завжди, а вага зникає, коли тіло й опора вільно падають разом.

Нижче розібрано п'ять типових завдань НМТ на тему ваги тіла й невагомості. Уважно стеж за ходом розв'язання.

Приклад 1. Вага в ліфті (коротка відповідь)

Людина масою 60 кг стоїть на вагах у ліфті, що рухається вниз і гальмує з прискоренням 1,5 м/с². g = 10 м/с². Знайди вагу людини в ньютонах.

Розв'язання:

• Ліфт рухається вниз і гальмує — прискорення напрямлене вгору.

• Використовуємо формулу P = m(g + a).

• P = 60 · (10 + 1,5) = 60 · 11,5 = 690 Н

Відповідь: 690 Н.

Чому не P = m(g − a)? Бо гальмування вниз — це прискорення вгору. Якби ліфт рушав униз (прискорення вниз), тоді P = m(g − a).

Приклад 2. Коли вага менша за силу тяжіння? (вибір однієї відповіді)

У якому випадку вага тіла в ліфті менша за силу тяжіння?

• А) ліфт рушає з місця вгору

• Б) ліфт рушає з місця вниз

• В) ліфт рівномірно рухається вниз

• Г) ліфт гальмує, рухаючись униз

Розв'язання: вага менша за mg тоді, коли прискорення напрямлене вниз. Ліфт рушає вниз — прискорення вниз, P = m(g − a) < mg. Варіант А: рушає вгору — прискорення вгору, P > mg. Варіант В: рівномірний рух — a = 0, P = mg. Варіант Г: гальмує, рухаючись униз — прискорення вгору, P > mg.

Відповідь: ліфт рушає з місця вниз (Б).

Приклад 3. Вага на опуклому мості (коротка відповідь)

Автомобіль масою 1,2 т проїжджає найвищу точку опуклого мосту радіусом 90 м зі швидкістю 15 м/с. g = 10 м/с². Знайди вагу автомобіля в кілоньютонах.

Розв'язання:

• Маса: m = 1,2 т = 1200 кг

• Доцентрове прискорення: v²/R = 225/90 = 2,5 м/с²

• Формула для опуклого мосту: P = m(g − v²/R)

• P = 1200 · (10 − 2,5) = 1200 · 7,5 = 9000 Н = 9 кН

Відповідь: 9 кН.

Поширена помилка: додати v²/R замість відняти. На опуклому мості вага завжди менша за mg.

Приклад 4. Чому космонавти невагомі? (вибір однієї відповіді)

Космонавт на орбітальній станції перебуває в стані невагомості, бо:

• А) на орбіті сила тяжіння не діє

• Б) станція перебуває поза атмосферою

• В) станція й космонавт рухаються з однаковим прискоренням лише під дією сили тяжіння

• Г) сила тяжіння зрівноважена силою реакції крісла

Розв'язання: невагомість настає, коли тіло й опора рухаються лише під дією сили тяжіння з однаковим прискоренням g. Саме це відбувається на орбітальній станції — вона разом із космонавтом «падає» на Землю, але через велику горизонтальну швидкість постійно пролітає повз. Варіант А хибний: сила тяжіння на орбіті діє (g ≈ 8,7 м/с²). Варіант Б не пояснює невагомість. Варіант Г хибний: крісло не створює реакції, космонавт «плаває».

Відповідь: В.

Приклад 5. Швидкість для невагомості на мості (коротка відповідь)

З якою швидкістю (м/с) автомобіль має проїхати найвищу точку опуклого мосту радіусом 40 м, щоб на мить опинитися в стані невагомості? g = 10 м/с².

Розв'язання:

• Умова невагомості на опуклому мості: P = 0.

• Формула: P = m(g − v²/R) = 0 → g − v²/R = 0

• Звідси v² = gR → v = √(gR)

• v = √(10 · 40) = √400 = 20 м/с

Відповідь: 20 м/с.

За такої швидкості автомобіль на мить утрачає контакт з мостом — його вага дорівнює нулю.

Нижче зібрано типові помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на вагу тіла. Уникай їх!

• Ототожнювати вагу із силою тяжіння в усіх ситуаціях. Вага — сила пружності, прикладена до опори, а сила тяжіння — гравітаційна сила, прикладена до тіла. Вони збігаються за модулем лише за нульового прискорення.

• Визначати знак у формулі ваги за напрямом швидкості ліфта, а не прискорення. Наприклад, ліфт гальмує, рухаючись униз — швидкість униз, але прискорення вгору, тому P = m(g + a).

• Вважати, що в невагомості на тіло не діє сила тяжіння. Сила тяжіння діє завжди. На орбіті g ≈ 8,7 м/с² — лише трохи менше, ніж на Землі. Зникає вага, а не сила тяжіння.

• Вимірювати вагу в кілограмах. Вага — сила, її одиниця — ньютон (Н). Побутове «вага 60 кг» — це маса. Вага людини масою 60 кг ≈ 600 Н.

• Вважати, що вага прикладена до тіла. Вага прикладена до опори або підвісу. До тіла прикладена сила реакції опори N⃗ (або сила натягу підвісу).

• На опуклому мості додавати v²/R замість віднімати. На опуклому мості доцентрове прискорення напрямлене вниз, тому P = m(g − v²/R). На увігнутому — навпаки, P = m(g + v²/R).

Ось що треба знати про формат і стратегію виконання завдань на вагу тіла на НМТ-2027.

Довідкові матеріали

Формули ваги тіла в ліфті P = m(g ± a) у довідкових матеріалах НМТ-2026 немає. Її треба виводити з другого закону Ньютона. У довідці є рівнодійна сила, другий закон F = ma і третій закон Ньютона — цього достатньо.

Програма НМТ

Тема 1.2 «Основи динаміки» включає пункт «Вага тіла. Невагомість». Завдання можуть бути як якісними (пояснити стан невагомості), так і розрахунковими (обчислити вагу в ліфті або на мості).

Форми завдань

• Якісні запитання про вагу й невагомість — вибір однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14), 1 бал.

• Розрахунок ваги — коротка відповідь (№ 17–22), 0 або 2 бали. Відповідь — число в одиниці, зазначеній в умові (Н або кН).

Стратегія розв'язання

1. Намалюй сили, що діють на тіло: сила тяжіння mg⃗ униз і сила реакції опори N⃗ угору (або в напрямку, перпендикулярному до поверхні).

2. Спрямуй вісь OY уздовж прискорення тіла.

3. Запиши другий закон Ньютона в проєкції на цю вісь.

4. Знайди N з рівняння.

5. За третім законом Ньютона вага P = N за модулем.

Увага! Не плутай напрям прискорення з напрямом швидкості. Якщо ліфт гальмує під час руху вниз — прискорення напрямлене вгору, і вага більша за mg.

• Вага — сила дії тіла на опору чи підвіс; прикладена до опори, а не до тіла.

• P = mg лише за нульового прискорення (спокій або рівномірний прямолінійний рух).

• Прискорення вгору: P = m(g + a); прискорення вниз: P = m(g − a); вільне падіння: P = 0.

• Опуклий міст: P = m(g − v²/R); увігнутий міст: P = m(g + v²/R).

• У невагомості сила тяжіння діє, зникає лише вага.

• Знак у формулі ваги визначає напрям прискорення, а не швидкості.