Типові завдання НМТ: планіметрія

Більшість задач планіметрії на НМТ пов'язана з кутами — між прямими, у трикутниках, многокутниках, а також із колом. Почнімо з бази: прямі, січні, суми кутів.

Паралельні прямі й січна

Коли дві паралельні прямі перетинає січна, утворюються три види пар кутів:

• відповідні кути — рівні між собою;

• внутрішні різносторонні кути — рівні між собою;

• внутрішні односторонні кути — у сумі дають 180°.

Ці властивості — єдиний спосіб знайти невідомий кут на рисунку, де є паралельні прямі.

Сума кутів трикутника й многокутника

Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°. Для опуклого многокутника з n сторонами сума кутів дорівнює $180°(n-2)$. Наприклад, для чотирикутника (n = 4) сума кутів — $180°\cdot 2=360°$, для п'ятикутника — $180°\cdot 3=540°$.

Вписаний і центральний кути

Центральний кут — це кут із вершиною в центрі кола. Його градусна міра дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається.

Вписаний кут — це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло. Він дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.

Важливо: вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий (90°).

Наприклад, якщо центральний кут AOC дорівнює 80°, то будь-який вписаний кут ABC, що спирається на ту саму дугу AC, дорівнює 40°.

На НМТ 2026 (демоваріант, № 15) саме це правило перевіряли в комбінації з довжиною дуги.

Довжина кола, дуги, площа круга й сектора

Формул довжини дуги й площі сектора НЕМАЄ в довідці НМТ — їх треба вивчити напам'ять! Однак довідка містить L = 2πR і S = πR², тож можна вивести пропорцією: дуга α° — це α/360 від довжини кола, а сектор — α/360 від площі круга.

Дотична до кола

Дотична до кола має дві важливі властивості:

• дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику;

• відрізки дотичних, проведених з однієї точки до одного кола, рівні між собою.

Ці властивості часто допомагають знайти невідомі відрізки або кути в задачах із дотичними.

Трикутники — найчастіша фігура в планіметричних задачах НМТ. Розберемо всі ключові інструменти для роботи з ними.

Прямокутний трикутник

Для прямокутного трикутника з катетами a, b і гіпотенузою c:

• теорема Піфагора: $c^2=a^2+b^2$;

• синус гострого кута: $\sin \alpha =\frac{a}{c}$ (протилежний катет / гіпотенуза);

• косинус гострого кута: $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ (прилеглий катет / гіпотенуза);

• тангенс гострого кута: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$ (протилежний / прилеглий).

Радіуси вписаного й описаного кіл прямокутного трикутника

Це одне з найважливіших розрізнень, яке перевіряють на НМТ:

• радіус описаного кола $R=\frac{c}{2}$ — центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи;

• радіус вписаного кола $r=\frac{a+b-c}{2}$.

Запам'ятай: описане — навколо трикутника (R велике), вписане — всередині (r мале). Для прямокутного трикутника R завжди більше за r.

Теорема синусів і теорема косинусів

Для довільного трикутника зі сторонами a, b, c і протилежними кутами α, β, γ:

• теорема синусів: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$ — відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола;

• теорема косинусів: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$ — узагальнення теореми Піфагора на будь-який трикутник.

Приклад: a = 5, b = 8, кут між ними γ = 60°. За теоремою косинусів: $c^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60°=89-80\cdot 0,5=89-40=49$, отже c = 7.

Теореми синусів і косинусів є в довідці НМТ, тому їх не обов'язково пам'ятати, але треба вміти застосовувати.

Правильний трикутник

Для правильного (рівностороннього) трикутника зі стороною a:

Властивості медіан

Медіани трикутника перетинаються в одній точці (центрі мас) і діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 10 перевіряло властивості медіани у форматі тверджень І–ІІІ: медіана ділить сторону навпіл і розбиває трикутник на два рівновеликі, але не обов'язково ділить кут навпіл. Запам'ятай: менша частина медіани (від точки перетину до сторони) в 2 рази менша за більшу частину (від вершини до точки перетину).

Площі фігур — одна з найпоширеніших груп задач. Усі формули площ із довідки НМТ — розберемо, коли яку застосовувати й, що не менш важливо, до якої сторони брати висоту.

Формули площ із довідки НМТ

Висота — до тієї сторони, що у формулі

Це типова помилка: у формулі $S=ah$ висота h має бути проведена саме до сторони a, а не до будь-якої іншої.

Розгляньмо паралелограм зі сторонами 10 і 6. Висота, проведена до сторони 10, дорівнює 4. Тоді площа $S=10\cdot 4=40$. А тепер знайдемо висоту до сторони 6: $40=6\cdot h_2\Rightarrow h_2=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}$. Як бачиш, висоти різні, і брати «першу-ліпшу» — помилка.

Квадрат і прямокутник

Квадрат зі стороною a:

• діагональ $d=a\sqrt{2}$;

• радіус описаного кола $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (половина діагоналі);

• радіус вписаного кола $r=\frac{a}{2}$ (половина сторони).

Прямокутник вписаний у коло: діаметр кола дорівнює діагоналі прямокутника. Тобто $R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.

Вписані й описані чотирикутники

Дві ключові властивості, які часто дають змогу знайти невідомий кут або сторону:

• у чотирикутнику, вписаному в коло, сума протилежних кутів дорівнює 180°;

• у чотирикутнику, описаному навколо кола, суми довжин протилежних сторін рівні.

Наприклад, якщо в трапеції суми протилежних сторін рівні, то в неї можна вписати коло.

Координатний метод дає змогу перетворити геометричну задачу на алгебраїчну. Розберемо найважливіші формули для площини.

Відстань між точками й середина відрізка

Для точок $A(x_1;y_1)$ і $B(x_2;y_2)$ на площині:

• відстань $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$;

• середина відрізка $\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

У довідці НМТ ці формули записані для простору (з координатою z). Для площини просто ігноруй z — відкинь її.

Рівняння кола

Коло з центром у точці $(a;b)$ і радіусом R задається рівнянням:

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Наприклад, коло $x^2+(y+3{)}^2=16$ має центр у точці $(0;-3)$ і радіус 4. Зверни увагу: знак мінус уже «вбудовано» в рівняння — $(y+3{)}^2$ означає $y-(-3)$, тому b = -3.

Вектори на площині

Вектор — це напрямлений відрізок. Для точок $A(x_1;y_1)$ і $B(x_2;y_2)$:

• координати вектора $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1)$;

• довжина вектора $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2}$ (де x, y — координати вектора);

• скалярний добуток $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$;

• вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює 0.

Звичка: рисунок у системі координат

Навіть якщо задача здається «просто формульною», завжди роби схематичний рисунок у системі координат. Познач усі точки з координатами. Це допоможе:

• не переплутати, яку координату від якої віднімати;

• побачити, чи справді вектор має той напрям, який ти обчислюєш;

• перевірити реалістичність результату (наприклад, чи не вийшла від'ємна довжина).

Розв'яжемо чотири типові задачі НМТ з планіметрії — по одній на кожну основну форму завдань.

Приклад 1. Вписаний і центральний кути (вибір однієї з п'яти)

Умова: Точки A, B, C лежать на колі з центром O, ∠AOC = 130°. Знайдіть кут ABC, якщо точка B не лежить на меншій дузі AC.

Розв'язання: Кут AOC — центральний, він дорівнює 130° і спирається на дугу AC. Кут ABC — вписаний, він спирається на ту саму дугу AC, оскільки точка B лежить на колі. За властивістю вписаного кута: ∠ABC = 130° : 2 = 65°. Умова «точка B не лежить на меншій дузі AC» означає, що B лежить на більшій дузі, тому вписаний кут спирається саме на меншу дугу AC (центральний кут ∠AOC = 130° менший за 180°, отже менша дуга AC відповідає центральному куту 130°). Відповідь: 65°.

Розбір дистракторів: 130° — це значення центрального кута, а не вписаного (помилка — вважати їх рівними). 115° — кут, що спирається на більшу дугу (360° − 130° = 230°, половина — 115°), але за умовою B не лежить на меншій дузі, а кут ABC спирається на меншу, бо вершина B на більшій дузі. 50° і 25° — випадкові значення без логічного обґрунтування.

Приклад 2. Площа ромба через діагоналі (вибір однієї з п'яти)

Умова: Периметр ромба дорівнює 40, одна з діагоналей дорівнює 12. Знайдіть площу ромба.

Розв'язання: У ромба всі сторони рівні, тому сторона a = 40 : 4 = 10. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і в точці перетину діляться навпіл. Половина відомої діагоналі дорівнює 12 : 2 = 6. За теоремою Піфагора в одному з чотирьох прямокутних трикутників: половина другої діагоналі дорівнює √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8. Отже, друга діагональ d₂ = 2 · 8 = 16. Площа ромба S = (d₁ · d₂) : 2 = (12 · 16) : 2 = 192 : 2 = 96.

Розбір дистракторів: 192 — це добуток діагоналей без ділення на 2 (забули формулу). 120 — добуток сторони на діагональ (10 · 12) — неправильна формула. 48 — половина 96, можливо помилка в обчисленні половини другої діагоналі. 100 — квадрат сторони.

Приклад 3. Відповідність: прямокутний трикутник (логічні пари)

Умова: Дано прямокутний трикутник з катетами 9 і 12. Установіть відповідність між величиною (1–3) та її числовим значенням (А–Д).

Варіанти для встановлення відповідності: А) 7,5; Б) 3; В) 7,2; Г) 15; Д) 6.

Розв'язання: Знайдемо гіпотенузу за теоремою Піфагора: c = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

• 1. Радіус описаного кола: R = c/2 = 15/2 = 7,5. Відповідь: А.

• 2. Радіус вписаного кола: r = (a + b − c)/2 = (9 + 12 − 15)/2 = 6/2 = 3. Відповідь: Б.

• 3. Висота до гіпотенузи: площа через катети S = (9 · 12)/2 = 54, а також S = (c · h)/2, звідки h = 2S/c = 108/15 = 7,2. Відповідь: В.

Розбір: Г = 15 — це гіпотенуза, а не радіус (типова плутанина). Д = 6 — це діаметр вписаного кола (2r), а не його радіус.

Приклад 4. Довжина вектора (коротка відповідь)

Умова: Знайдіть довжину вектора AB, якщо A(−2; 5), B(4; −3).

Розв'язання: Знаходимо координати вектора AB: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) = (4 − (−2); −3 − 5) = (6; −8). Довжина вектора: |AB| = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Пастка: якщо помилково додати координати точок замість віднімання: (4 + (−2); −3 + 5) = (2; 2), довжина √(4 + 4) = √8 ≈ 2,83 — це неправильна відповідь, бо вона не відповідає відстані між заданими точками.

На НМТ планіметричні задачі «збивають» не складністю, а дрібними неточностями. Ось найпоширеніші пастки.

• Брати висоту не до тієї сторони. У формулі площі S = ah висота h має бути проведена саме до сторони a. Якщо в паралелограмі дано висоту до сторони 10, то площа = 10 · h, а не 6 · h. Перевіряй, до якої сторони проведено висоту.

• Плутати r і R. У прямокутному трикутнику R = c/2 (описане коло, центр на середині гіпотенузи), а r = (a + b − c)/2 (вписане коло). Запам'ятай: R велике (описане навколо), r мале (вписане всередину).

• Застосовувати формулу площі ромба через діагоналі до паралелограма. Формула S = d₁d₂/2 працює ТІЛЬКИ для ромба, де діагоналі перпендикулярні. Для звичайного паралелограма її застосовувати не можна.

• Вважати вписаний кут рівним центральному. Вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу, а не дорівнює йому. Наприклад, при центральному куті 130° вписаний буде 65°, а не 130°.

• Забувати ділити на 2 у формулах площі. Площа трикутника — ah/2, а не ah. Площа ромба — d₁d₂/2, а не d₁d₂. Поширена помилка — не поставити двійку в знаменнику.

• Обчислювати без рисунка. Без рисунка легко переплутати, яка сторона лежить проти якого кута, особливо в теоремі синусів або косинусів. Завжди роби хоча б схематичний малюнок і підписуй дані.

• Підставляти кут у радіанах у формулу довжини дуги. Формула ℓ = πRα/180° працює з градусами. Якщо кут дано в радіанах, спочатку переведи в градуси (α° = αрад · 180°/π) або скористайся формулою ℓ = Rαрад.

Планіметрія — один з обов'язкових розділів тесту. Ось як вона виглядає на НМТ.

Кількість завдань і бали

У демоваріанті НМТ 2026 з математики планіметрія представлена чотирма завданнями, які дають 6 балів:

• № 2 — кути прямокутного трикутника на практичному рисунку (вибір однієї з п'яти, 1 бал);

• № 10 — властивості медіани трикутника у форматі тверджень І–ІІІ (вибір однієї з п'яти, 1 бал);

• № 15 — вписаний кут, довжина дуги й кола (вибір однієї з п'яти, 1 бал);

• № 18 — відповідність про відрізки в прямокутній трапеції (3 пари, до 3 балів).

За аналізом вибірки тестів 2023–2024 років, тема «Планіметрія» стабільно давала по 4 завдання в кожному варіанті. Найбільшу вагу за кількістю завдань мають тема 5.3 (трикутники — близько 1,25 завдання в середньому) і тема 5.4 (чотирикутники — близько 1,5 завдання).

Що є в довідці НМТ

Під час тесту ти можеш користуватися довідкою. У ній є:

• теореми синусів і косинусів;

• формула Герона;

• площі трикутника, паралелограма, ромба й трапеції;

• довжина кола L = 2πR і площа круга S = πR²;

• рівняння кола (x − a)² + (y − b)² = R².

Чого в довідці НЕМАЄ (треба знати напам'ять):

• довжина дуги ℓ = πRα/180°;

• площа сектора Sсек = πR²α/360°;

• властивості вписаних кутів (вписаний = половина центрального);

• властивості дотичної (перпендикулярна до радіуса);

• формула r = S/p для радіуса вписаного кола.

Форми завдань

Планіметричні задачі трапляються у двох формах:

• вибір однієї правильної відповіді з п'яти (завдання 1–15) — 0 або 1 бал;

• відповідність «логічні пари» (завдання 16–18) — до 3 балів, по 1 балу за кожну правильно встановлену пару.

Тип «коротка відповідь» (число, завдання 19–22) зазвичай не стосується планіметрії, але може трапитися задача на координати або вектори, яку оформлюють числовою відповіддю.

Тут зібрано відповіді на питання, які найчастіше виникають під час підготовки до планіметричних задач НМТ.

Зберимо всі ключові тези уроку в одному місці — для швидкого повторення перед тестом.

• Рисунок і підписані дані — до обчислень. Навіть якщо рисунок є в умові, зроби свій — з позначеними кутами, сторонами й висотами.

• Висота — до тієї сторони, що у формулі. У S = ah висота h має бути проведена саме до сторони a.

• Прямокутний трикутник: R = c/2 (описане коло), r = (a + b − c)/2 (вписане коло).

• Вписаний кут — половина центрального, що спирається на ту саму дугу. Кут, що спирається на діаметр, — прямий (90°).

• Довжину дуги й площу сектора знай напам'ять: ℓ = πRα/180°, Sсек = πR²α/360° — цих формул немає в довідці.

• Формули відстані й середини на площині — з просторових без z. У довідці вони записані з координатою z; для площини просто відкидаємо z.

• Теорема синусів і косинусів — у довідці, але треба вміти їх застосовувати. Теорема косинусів: c² = a² + b² − 2ab cos γ.

• Площі ромба й трикутника — не забудь поділити на 2. Sромба = d₁d₂/2, Sтрикутника = ah/2.

• Для правильного трикутника: h = a√3/2, S = a²√3/4, R = a√3/3, r = a√3/6 = R/2.

• Вектори: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁), довжина √(x² + y²), перпендикулярність ⇔ скалярний добуток = 0.