Сила Лоренца і рух зарядженої частинки в магнітному полі

Сила Лоренца — це сила, з якою магнітне поле діє на заряджену частинку, що рухається. Названа на честь нідерландського фізика Гендріка Лоренца. Це фундаментальне поняття електродинаміки: саме завдяки силі Лоренца заряджені частинки відхиляються в магнітному полі Землі, працюють мас-спектрометри й прискорювачі, а також виникає сила Ампера в провіднику зі струмом.

Модуль сили Лоренца обчислюють за формулою:

$$F=|q|vB\sin \alpha$$

де q — заряд частинки (беруть за модулем: формула дає модуль сили, а напрям сили визначають окремо за правилом лівої руки), v — модуль швидкості частинки, B — модуль магнітної індукції поля, а α — кут між вектором швидкості v⃗ і вектором магнітної індукції B⃗.

Зверни увагу на граничні випадки:

• Якщо частинка нерухома (v = 0), сила Лоренца дорівнює нулю — магнітне поле діє лише на рухомі заряди.

• Якщо частинка рухається вздовж ліній індукції (α = 0° або α = 180°), sin α = 0, і сила також дорівнює нулю.

• Максимальної величини сила досягає, коли частинка рухається перпендикулярно до ліній поля (α = 90°), тоді F_max = |q|vB.

Сила Лоренца тісно пов'язана із силою Ампера. Сила Ампера, що діє на провідник зі струмом у магнітному полі, — це макроскопічний прояв суми сил Лоренца, які діють на всі вільні носії заряду (електрони або йони), що впорядковано рухаються в цьому провіднику. Тому напрям сили Ампера визначають за тим самим правилом лівої руки, що й напрям сили Лоренца.

Правило лівої руки для напряму сили Лоренца

Щоб визначити, у який бік магнітне поле відхиляє заряджену частинку, застосовують правило лівої руки:

Якщо розташувати ліву долоню так, щоб лінії магнітної індукції входили в долоню, чотири витягнуті пальці напрямити за рухом додатного заряду (тобто за напрямом струму), то відставлений великий палець покаже напрям сили Лоренца.

Для від'ємного заряду (наприклад, електрона) є два еквівалентні способи:

• Напрямити чотири пальці лівої руки проти швидкості частинки (бо струм тече в бік, протилежний рухові електронів), а далі правило працює як звичайно.

• Або спочатку знайти напрям сили для додатного заряду з тією самою швидкістю, а потім змінити його на протилежний.

Обидва способи дають однаковий результат. Головне — ніколи не забувати, що електрон має від'ємний заряд, тому напрям сили для нього протилежний до напряму для протона з тією самою швидкістю.

Числовий приклад

Електрон (|q| = 1,6·10⁻¹⁹ Кл) влітає в однорідне магнітне поле з індукцією B = 0,01 Тл перпендикулярно до ліній поля. Швидкість електрона v = 2·10⁶ м/с. Обчислимо модуль сили Лоренца:

$$F=|q|vB=1,6\cdot 10^{-19}\cdot 2\cdot 10^6\cdot 0,01=3,2\cdot 10^{-15}\text{Н}$$

Це дуже мала сила в масштабах макросвіту, але для частинки з масою 9,1·10⁻³¹ кг вона створює величезне прискорення і змушує електрон рухатися по колу.

Сила Лоренца має унікальну властивість: вона завжди перпендикулярна до швидкості частинки. Це означає, що сила Лоренца не виконує механічної роботи, адже робота A = F·s·cos θ, а кут між силою й переміщенням (напрямом швидкості) становить 90°, тому cos 90° = 0. Отже, сила Лоренца змінює лише напрям швидкості частинки, а її модуль і кінетична енергія залишаються сталими.

Це кардинально відрізняє магнітне поле від електричного: електричне поле (сила Кулона) може розганяти або гальмувати заряджену частинку, змінюючи її кінетичну енергію, тоді як магнітне поле лише повертає частинку.

Рух перпендикулярно до ліній поля

Коли заряджена частинка влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній індукції (α = 90°), сила Лоренца стає доцентровою силою. Вона змушує частинку рухатися по колу. Прирівняємо силу Лоренца до доцентрової сили:

$$|q|vB=\frac{m{v}^2}{R}$$

Звідси отримуємо формулу для радіуса кола:

$$R=\frac{mv}{|q|B}$$

Радіус пропорційний масі частинки та її швидкості й обернено пропорційний заряду й індукції поля. Що більша швидкість або маса, то більше коло описує частинка; що сильніше поле або більший заряд, то коло тісніше.

Період обертання

Період обертання — це час, за який частинка робить один повний оберт по колу. Його знаходять як довжину кола, поділену на швидкість:

$$T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi }{v}\cdot \frac{mv}{|q|B}=\frac{2\pi m}{|q|B}$$

Це надзвичайно важливий результат: період обертання не залежить від швидкості частинки та радіуса кола. Якщо частинка рухається швидше, вона описує більше коло, але проходить його за той самий час. Частота обертання (кількість обертів за секунду) дорівнює:

$$\nu =\frac{1}{T}=\frac{|q|B}{2\pi m}$$

Цю частоту називають циклотронною частотою — вона використовується в циклотронах (прискорювачах заряджених частинок).

Як змінюються величини

Числовий приклад

Протон (m = 1,6·10⁻²⁷ кг, q = 1,6·10⁻¹⁹ Кл) влітає зі швидкістю v = 10⁶ м/с в однорідне магнітне поле з індукцією B = 0,1 Тл перпендикулярно до ліній. Знайдемо радіус кола:

$$R=\frac{mv}{|q|B}=\frac{1,6\cdot 10^{-27}\cdot 10^6}{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 0,1}=\frac{1,6\cdot 10^{-21}}{1,6\cdot 10^{-20}}=0,1\text{м}$$

Період обертання:

$$T=\frac{2\pi m}{|q|B}=\frac{2\cdot 3,14\cdot 1,6\cdot 10^{-27}}{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 0,1}\approx 6,28\cdot 10^{-7}\text{с}$$

Гвинтова траєкторія

Якщо частинка влітає в магнітне поле під гострим кутом до ліній індукції (α не дорівнює ні 0°, ні 90°), її швидкість можна розкласти на дві складові:

• Складова вздовж ліній поля v_∥ = v·cos α — лишається сталою, оскільки сила Лоренца вздовж ліній не діє.

• Складова перпендикулярно до ліній v_⊥ = v·sin α — дає рух по колу, як описано вище.

У результаті частинка одночасно рухається рівномірно вздовж ліній поля й по колу в площині, перпендикулярній до них. Траєкторія має вигляд гвинтової лінії (спіралі). Крок гвинта (відстань, яку частинка проходить уздовж поля за один оберт) дорівнює h = v_∥·T = v·cos α·T.

Радіус кола, по якому рухається заряджена частинка в однорідному магнітному полі, визначається формулою R = mv/(|q|B). За однакових значень швидкості v та індукції B радіус пропорційний відношенню маси до модуля заряду m/|q|. Це дає змогу порівнювати траєкторії різних частинок.

Альфа-частинка vs протон

Альфа-частинка (ядро гелію) має масу приблизно m_α ≈ 4mₚ і заряд q_α = +2e. Протон має масу mₚ і заряд qₚ = +e. Якщо обидві частинки влітають у поле з однаковою швидкістю, то:

$$\frac{R_{\alpha }}{R_p}=\frac{m_{\alpha }/|q_{\alpha }|}{m_p/|q_p|}=\frac{4m_p/(2e)}{m_p/e}=2$$

Отже, радіус альфа-частинки вдвічі більший, ніж у протона. Якщо ж частинки мають однакову кінетичну енергію, то радіус обчислюють за формулою R = √(2mE)/(|q|B), і співвідношення буде іншим.

Електрон vs протон

Маса електрона mₑ ≈ 9,1·10⁻³¹ кг, маса протона mₚ ≈ 1,67·10⁻²⁷ кг. Відношення мас становить приблизно 1836. За однакової швидкості радіус кола електрона буде приблизно в 1836 разів меншим, ніж у протона. Крім того, напрям обертання електрона протилежний до напряму обертання протона, оскільки їхні заряди мають протилежні знаки.

Визначення знака заряду за траєкторією

Якщо відомі напрям магнітного поля й напрям швидкості частинки, за напрямом викривлення траєкторії можна визначити знак заряду. Алгоритм:

1. Подивись, у який бік повертає частинка (напрям сили Лоренца).

2. Застосуй правило лівої руки: лінії поля входять у долоню, чотири пальці — за напрямом швидкості.

3. Якщо великий палець збігається з напрямом викривлення — заряд додатний.

4. Якщо не збігається — заряд від'ємний.

Саме так у камерах Вільсона визначають, яка частинка залишила трек: позитрон викривляється в один бік, електрон — у протилежний.

Важливе застереження

Перед тим як порівнювати радіуси двох частинок, завжди з'ясуй, яка фізична величина в них однакова: швидкість, імпульс чи кінетична енергія. Від цього залежить, яку формулу застосовувати:

Розгляньмо кілька типових завдань на силу Лоренца та рух заряджених частинок у магнітному полі. Кожне завдання супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповідей неправильні.

Приклад 1. Траєкторія електрона в магнітному полі

Електрон влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній індукції. Якою буде його траєкторія і як змінюватиметься модуль швидкості?

Варіанти відповідей:

• А: парабола, модуль швидкості зростає

• Б: пряма лінія, модуль швидкості зростає

• В: коло, модуль швидкості не змінюється

• Г: коло, модуль швидкості зменшується

Розв'язання. Сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона не виконує роботи й не змінює модуль швидкості. Оскільки частинка влітає перпендикулярно до ліній поля (α = 90°), сила Лоренца стає доцентровою силою, і траєкторія — коло. Отже, правильна відповідь — В.

Чому інші варіанти неправильні:

• А: парабола була б у випадку однорідного електричного поля, а не магнітного; крім того, модуль швидкості не зростає.

• Б: пряма лінія можлива, якщо частинка рухається вздовж ліній поля (α = 0°), але в умові сказано «перпендикулярно»; зростання швидкості неможливе.

• Г: коло — правильна траєкторія, але модуль швидкості не зменшується, бо сила Лоренца роботи не виконує.

Приклад 2. Порівняння радіусів протона й альфа-частинки

Протон і альфа-частинка влітають в однорідне магнітне поле з однаковою швидкістю перпендикулярно до ліній індукції. У скільки разів радіус кола альфа-частинки більший за радіус кола протона?

Варіанти відповідей:

• А: у 4 рази

• Б: у 2 рази

• В: у 8 разів

• Г: однакові

Розв'язання. Радіус кола: R = mv/(|q|B). За однакових v і B радіус пропорційний m/|q|. Для альфа-частинки m_α ≈ 4mₚ, |q_α| = 2e. Отже:

$$\frac{R_{\alpha }}{R_p}=\frac{4m_p/(2e)}{m_p/e}=2$$

Правильна відповідь — Б (у 2 рази).

Чому інші варіанти неправильні:

• А (у 4 рази): так було б, якби заряди були однакові, а маса відрізнялася в 4 рази, але заряд альфа-частинки вдвічі більший.

• В (у 8 разів): помилка виникає, якщо взяти відношення мас (4) і помножити на відношення зарядів (2), не розуміючи, що заряд у знаменнику.

• Г (однакові): так було б за однакової кінетичної енергії, а не швидкості.

Приклад 3. Обчислення радіуса (коротка відповідь)

Заряджена частинка з зарядом q = 3,2·10⁻¹⁹ Кл і масою m = 6,4·10⁻²⁷ кг влітає зі швидкістю v = 5·10⁵ м/с перпендикулярно до ліній однорідного магнітного поля з індукцією B = 0,5 Тл. Знайди радіус кола, по якому рухатиметься частинка. Відповідь запиши в сантиметрах.

Розв'язання. Використовуємо формулу R = mv/(|q|B):

$$R=\frac{6,4\cdot 10^{-27}\cdot 5\cdot 10^5}{3,2\cdot 10^{-19}\cdot 0,5}=\frac{32\cdot 10^{-22}}{1,6\cdot 10^{-19}}=20\cdot 10^{-3}=0,02\text{м}$$

Переводимо в сантиметри: 0,02 м = 2 см.

Відповідь: 2.

Зверни увагу: степені 10⁻²⁷ і 10⁻¹⁹ скоротилися, даючи 10⁻⁸, а 10⁵ дає 10⁻³ в чисельнику. Без калькулятора такі обчислення цілком реальні, якщо акуратно працювати зі степенями.

Приклад 4. Залежність періоду від швидкості

Заряджена частинка описує коло в однорідному магнітному полі за період T. Яким стане період обертання, якщо швидкість частинки збільшити втричі?

Варіанти відповідей:

• А: зросте втричі

• Б: зменшиться втричі

• В: не зміниться

• Г: зросте в дев'ять разів

Розв'язання. Період обертання T = 2πm/(|q|B) не залежить від швидкості. У цій формулі взагалі немає v. Коли швидкість зростає, радіус кола пропорційно збільшується, але частинка проходить більше коло за той самий час. Правильна відповідь — В (не зміниться).

Чому інші варіанти неправильні:

• А (зросте втричі): помилка виникає, якщо вважати, що період пропорційний радіусу (R зростає втричі), і забути, що швидкість теж зростає втричі.

• Б (зменшиться втричі): так було б, якби радіус лишався сталим, але він зростає пропорційно швидкості.

• Г (зросте в дев'ять разів): помилка множення залежностей, коли не враховано, що T взагалі не залежить від v.

Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні в задачах на силу Лоренца. Уникаючи їх, ти значно підвищиш свої шанси на правильну відповідь на НМТ.

• Не змінювати напрям сили для електрона. Найчастіша помилка — застосовувати правило лівої руки так само, як для додатного заряду, не враховуючи знак. Електрон має від'ємний заряд, тому напрям сили для нього протилежний до напряму для протона з тією самою швидкістю. Завжди питай себе: «Який знак заряду?»

• Вважати, що сила Лоренца збільшує кінетичну енергію. Сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона не виконує роботи. Модуль швидкості й кінетична енергія частинки в магнітному полі лишаються сталими. Змінюється лише напрям руху.

• Вважати період залежним від швидкості. Формула T = 2πm/(|q|B) не містить швидкості. Інтуїція підказує: «швидша частинка швидше обертається», але насправді швидша частинка описує більше коло, і час оберту лишається тим самим.

• Брати заряд без модуля у формулі радіуса. У формулі R = mv/(|q|B) заряд стоїть під знаком модуля. Якщо підставити від'ємне значення заряду, отримаєш від'ємний радіус, що фізично безглуздо. Модуль заряду — це завжди додатна величина.

• Порівнювати радіуси, не з'ясувавши, що однакове. За однакової швидкості радіус пропорційний m/|q|. За однакової кінетичної енергії — √(2mE)/(|q|B). За однакового імпульсу — p/(|q|B). Результати можуть бути зовсім різними, тому спочатку прочитай умову й визнач, який параметр однаковий.

• Плутати силу Лоренца із силою Ампера. Сила Ампера F = BIl·sin α діє на провідник зі струмом, а сила Лоренца — на окрему заряджену частинку. Не застосовуй формулу сили Ампера до одиночної частинки. Зв'язок між ними: сила Ампера — це сума сил Лоренца, що діють на всі носії заряду в провіднику.

Розуміння того, як саме тему перевіряють на НМТ, допомагає правильно розподілити час і зусилля під час підготовки.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах НМТ з фізики є формула сили Лоренца: F = |q|vB·sin α. Однак формули радіуса R = mv/(|q|B) та періоду T = 2πm/(|q|B) у довідці не наведено — їх потрібно виводити самостійно, прирівнюючи силу Лоренца до доцентрової сили. Тому важливо вміти це робити швидко й безпомилково.

Правило лівої руки в довідкових матеріалах також відсутнє. Його треба знати напам'ять і вміти застосовувати для будь-якого знака заряду. На НМТ можуть дати рисунок із напрямами й попросити визначити, куди напрямлена сила або який знак має частинка.

Програмні вимоги

За програмою НМТ (тема 3.4 «Магнітне поле, електромагнітна індукція») випускник повинен вміти визначати напрям і модуль сили Лоренца. Крім того, треки заряджених частинок у магнітному полі згадуються серед умінь блоку «Квантова фізика» (тема 5.3 «Атом та атомне ядро»), де розглядають методи реєстрації іонізуючого випромінювання.

Формат завдань

Завдання на силу Лоренца можуть траплятися в різних форматах:

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–14, 1 бал): якісні питання про траєкторію, напрям сили, порівняння радіусів або періодів.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22, 0 або 2 бали): числовий розрахунок радіуса, сили або періоду. Відповідь — число в одиницях, зазначених в умові.

Стратегія розв'язування

У задачах на обчислення зверни увагу, що значення зарядів і мас частинок (10⁻¹⁹ Кл, 10⁻²⁷ кг) зазвичай підібрані так, щоб степені скорочувалися, і розрахунок можна виконати без калькулятора. Наприклад, 10⁻²⁷ / 10⁻¹⁹ = 10⁻⁸, а далі множення на 10⁵ дає 10⁻³. Акуратно працюй зі степенями десятки.

Якщо в умові дано рисунок із траєкторією, спочатку визнач, у який бік викривляється частинка, потім застосуй правило лівої руки. Пам'ятай: для від'ємного заряду напрям сили протилежний.

• Сила Лоренца: F = |q|vB·sin α. Напрям — за правилом лівої руки. Для від'ємного заряду напрям сили протилежний.

• Сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості, тому не виконує роботи: модуль швидкості й кінетична енергія частинки сталі.

• Якщо частинка влітає перпендикулярно до ліній однорідного поля, вона рухається по колу радіусом R = mv/(|q|B).

• Період обертання T = 2πm/(|q|B) не залежить від швидкості й радіуса.

• Радіус пропорційний відношенню m/|q|: альфа-частинка має вдвічі більший радіус, ніж протон із тією самою швидкістю; електрон — у 1836 разів менший, а обертається в протилежний бік.

• Якщо частинка влітає під кутом до ліній поля, її траєкторія — гвинтова лінія.