Рівняння теплового балансу

У природі теплота завжди переходить від гарячішого тіла до холоднішого, доки їхні температури не зрівняються. Якщо система теплоізольована (не обмінюється теплотою з довкіллям), то вся теплота, яку віддали гарячі тіла, повністю поглинається холоднішими тілами. Це твердження називають рівнянням теплового балансу.

У найпростішому вигляді його записують так:

$$Q_{\text{віддана}} = Q_{\text{отримана}}$$

де Q_віддана — сумарна кількість теплоти, яку віддали гарячіші тіла, а Q_отримана — сумарна кількість теплоти, яку отримали холодніші. Зручнішою є алгебраїчна форма:

$$\sum_{i=1}^{n} Q_i = 0$$

Тут кожному тілу приписують знак «+», якщо воно отримує теплоту, і «−», якщо віддає. Тоді сума всіх Q_i дорівнює нулю. Це дозволяє уникнути плутанини з тим, яке тіло гарячіше.

Калориметр

Калориметр — це теплоізольована посудина, у якій проводять досліди з теплообміну. Його стінки не пропускають теплоту назовні, тому вся теплота залишається всередині системи. Якщо в умові задачі дано теплоємність калориметра C (Дж/К), її обов'язково враховують як окреме тіло, що нагрівається або охолоджується. Для нього записують:

$$Q_{\text{кал}} = C \, (t - t_0)$$

де t — кінцева температура, t₀ — початкова температура калориметра (зазвичай збігається з температурою води в ньому).

Які тіла можуть брати участь у балансі

У рівнянні теплового балансу можуть фігурувати:

• вода різної температури — Q = cmΔt;

• металеві тіла, занурені у воду — Q = c₁m₁Δt;

• лід при температурі плавлення — Q = λm (плавлення);

• лід, холодніший за 0 °C — спершу Q = c_льоду·m·Δt до 0 °C, потім λm;

• пара при 100 °C — Q = rm (конденсація);

• калориметр — Q = CΔt.

Для кожного тіла записують відповідну формулу залежно від того, чи змінюється його температура, чи відбувається фазовий перехід.

Властивість кінцевої температури

Якщо в системі не відбуваються фазові переходи (плавлення, кипіння, конденсація), кінцева температура суміші завжди лежить між найменшою і найбільшою початковими температурами. Це випливає з того, що теплота не може самовільно перейти від холоднішого тіла до гарячішого. Наприклад, змішавши воду при 20 °C і 80 °C, кінцева температура буде десь між 20 °C і 80 °C.

Найпростіший випадок теплового балансу — змішування двох порцій однієї й тієї самої рідини (наприклад, води) без фазових переходів. Оскільки питома теплоємність однакова, рівняння спрощується.

Дві порції однакової рідини

Нехай є маса m₁ води при температурі t₁ і маса m₂ води при температурі t₂, причому t₁ < t₂. Холодна вода отримує теплоту, гаряча — віддає. Рівняння теплового балансу:

$$c m_1 (t - t_1) = c m_2 (t_2 - t)$$

Скорочуючи c, отримуємо:

$$m_1 (t - t_1) = m_2 (t_2 - t)$$

Звідси кінцева температура:

$$t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$$

Це середнє зважене значення: чим більша маса, тим ближче кінцева температура до її початкової температури.

Приклад

Змішали 2 кг води при 20 °C і 3 кг води при 70 °C. Кінцева температура:

$$t = \frac{2 \cdot 20 + 3 \cdot 70}{2 + 3} = \frac{40 + 210}{5} = \frac{250}{5} = 50 \,^\circ\text{C}$$

Як бачиш, 50 °C справді лежить між 20 °C і 70 °C, причому ближче до 70 °C, бо маса гарячої води більша.

Різні речовини

Якщо в рідині опиняється тіло з іншої речовини (наприклад, нагріта металева кулька, занурена у воду), питомі теплоємності різні. Рівняння набуває вигляду:

$$c_1 m_1 (t_1 - t) = c_2 m_2 (t - t_2)$$

Тут ліворуч — теплота, яку віддає гаряче тіло (c₁, m₁, t₁), праворуч — теплота, яку отримує холодна вода (c₂, m₂, t₂). З цього рівняння можна знайти невідому величину: кінцеву температуру t, масу m₁, питому теплоємність c₁ або початкову температуру.

Врахування калориметра

Якщо дослід проводять у калориметрі з теплоємністю C, то до правої частини (отримана теплота) додають доданок C(t − t₂), де t₂ — початкова температура калориметра (зазвичай дорівнює температурі води в ньому):

$$c_1 m_1 (t_1 - t) = c_2 m_2 (t - t_2) + C (t - t_2)$$

Калориметр «забирає» частину теплоти на своє нагрівання, тому кінцева температура буде нижчою, ніж без нього.

Зворотні задачі

Рівняння теплового балансу дає змогу знаходити не лише кінцеву температуру, а й інші невідомі величини. Наприклад, якщо відома температура суміші, можна обчислити питому теплоємність невідомої речовини, масу одного з тіл або його початкову температуру. Для цього досить підставити відомі числа в те саме рівняння й розв'язати його відносно невідомої.

Коли в системі є лід або пара, перед розв'язуванням рівняння теплового балансу треба обов'язково перевірити, чи вистачить теплоти для повного фазового переходу. Без цього кінцева температура може виявитися неправильною.

Алгоритм перевірки фазового стану

Розгляньмо систему, де є вода при температурі t_в > 0 °C і лід при 0 °C. Щоб зрозуміти, що відбудеться, порівнюють дві величини:

• Q_від — кількість теплоти, яку може віддати вода, охолонувши до 0 °C: Q_від = c_в · m_в · (t_в − 0).

• Q_пл — кількість теплоти, потрібна для плавлення всього льоду: Q_пл = λ · m_л.

Залежно від співвідношення Q_від і Q_пл можливі три випадки:

Якщо лід був холодніший за 0 °C (наприклад, −10 °C), спершу його треба нагріти до 0 °C: Q_нагр = c_л · m_л · (0 − t_л). Після цього порівнюють залишок теплоти води з Q_пл. Можливий навіть варіант, коли вода охолоне до 0 °C і почне замерзати — тоді частина води перетвориться на лід.

Приклад з льодом

У калориметрі є 1 кг льоду при 0 °C і 2 кг води при 40 °C. Питома теплоємність води c = 4200 Дж/(кг·К), питома теплота плавлення льоду λ = 3,3·10⁵ Дж/кг.

Крок 1. Вода, охолонувши до 0 °C, віддасть:

$$Q_{\text{від}} = 4200 \cdot 2 \cdot 40 = 336\,000\ \text{Дж} = 336\ \text{кДж}$$

Крок 2. Для плавлення всього льоду потрібно:

$$Q_{\text{пл}} = 3{,}3 \cdot 10^5 \cdot 1 = 330\,000\ \text{Дж} = 330\ \text{кДж}$$

Крок 3. Порівнюємо: 336 кДж > 330 кДж — весь лід розтане, і залишок 6 кДж піде на нагрівання утвореної води.

Крок 4. Загальна маса води після плавлення: 2 + 1 = 3 кг. Нагрівання на Δt:

$$\Delta t = \frac{6000}{4200 \cdot 3} \approx 0{,}48\,^\circ\text{C}$$

Отже, кінцева температура ≈ 0,5 °C.

Система з парою

Якщо в систему додають пару при 100 °C, вона спершу конденсується, віддаючи Q = rm, а потім утворена вода охолоджується до кінцевої температури. У рівнянні теплового балансу це виглядає так:

$$r m_{\text{пари}} + c m_{\text{пари}} (100 - t) = c m_{\text{води}} (t - t_{\text{води}})$$

Тут ліворуч — теплота, яку віддає пара (конденсація + охолодження), праворуч — теплота, яку отримує холодна вода. Аналогічно перевіряють, чи вистачить теплоти пари, щоб нагріти воду до потрібної температури, чи, навпаки, вся пара сконденсується.

Паливо (спирт, гас, дрова, природний газ) під час згоряння виділяє теплоту. Кількість теплоти, яку можна отримати від повного згоряння палива, обчислюють за формулою:

$$Q = q \cdot m$$

де q — питома теплота згоряння палива (Дж/кг), m — маса палива (кг). Значення q завжди дають в умові задачі. Для орієнтування:

ККД нагрівника

Не вся теплота згоряння палива йде на корисне нагрівання: частина втрачається (нагріває навколишнє повітря, стінки посудини тощо). Коефіцієнт корисної дії (ККД) нагрівника показує, яка частка повної теплоти перетворилася на корисну:

$$\eta = \frac{Q_{\text{кор}}}{Q_{\text{повн}}}$$

де Q_кор — корисна теплота (наприклад, на нагрівання води: Q_кор = cmΔt), Q_повн — повна теплота згоряння палива (Q_повн = qm). ККД часто подають у відсотках: η% = η · 100 %.

Приклад

На спиртівці спалили 20 г спирту (q = 2,7·10⁷ Дж/кг). ККД спиртівки 40 %. На скільки градусів нагріється 1 кг води?

Крок 1. Повна теплота згоряння:

$$Q_{\text{повн}} = 2{,}7 \cdot 10^7 \cdot 0{,}020 = 540\,000\ \text{Дж} = 540\ \text{кДж}$$

Крок 2. Корисна теплота:

$$Q_{\text{кор}} = \eta \cdot Q_{\text{повн}} = 0{,}40 \cdot 540\,000 = 216\,000\ \text{Дж}$$

Крок 3. Нагрівання води:

$$\Delta t = \frac{Q_{\text{кор}}}{c m} = \frac{216\,000}{4200 \cdot 1} \approx 51{,}4\,^\circ\text{C}$$

Отже, вода нагріється приблизно на 51 °C.

Потужність нагрівника

Якщо в задачі дано потужність нагрівника P (Вт) і час t (с), повну теплоту можна знайти як:

$$Q_{\text{повн}} = P \cdot t$$

Це зручно, коли нагрівник електричний. Далі ККД застосовують так само: Q_кор = η · P · t.

Приклад 1. Змішування води без фазових переходів

Завдання (коротка відповідь). 3 кг води при температурі 80 °C змішали з 2 кг води при температурі 20 °C. Визнач температуру суміші в °C. Теплообміном з довкіллям знехтуй.

Розв'язання. Оскільки обидві порції — вода, питома теплоємність однакова. Запишемо рівняння теплового балансу:

$$c \cdot 2 \cdot (t - 20) = c \cdot 3 \cdot (80 - t)$$

Скорочуємо c:

$$2(t - 20) = 3(80 - t)$$

$$2t - 40 = 240 - 3t$$

$$5t = 280$$

$$t = 56 \,^\circ\text{C}$$

Відповідь: 56 °C.

Поширена помилка: дехто бере середнє арифметичне (80 + 20)/2 = 50 °C, не враховуючи різницю мас. Насправді кінцева температура — середнє зважене, і вона ближча до температури більшої маси (80 °C), тому 56 °C — правдоподібний результат.

Приклад 2. Лід у воді — весь лід тане

Завдання (коротка відповідь). 0,5 кг льоду при температурі 0 °C кинули в 1 кг води при температурі 60 °C. Питома теплоємність води c = 4200 Дж/(кг·К), питома теплота плавлення льоду λ = 3,3·10⁵ Дж/кг. Визнач температуру суміші в °C, округливши до цілих. Теплообміном з довкіллям знехтуй.

Розв'язання. Крок 1 — перевірка фазового стану. Вода, охолонувши до 0 °C, віддасть:

$$Q_{\text{від}} = 4200 \cdot 1 \cdot 60 = 252\,000\ \text{Дж}$$

Для плавлення всього льоду потрібно:

$$Q_{\text{пл}} = 3{,}3 \cdot 10^5 \cdot 0{,}5 = 165\,000\ \text{Дж}$$

252 000 Дж > 165 000 Дж — весь лід розтане, і залишок теплоти піде на нагрівання суміші.

Крок 2. Залишок теплоти після плавлення:

$$Q_{\text{зал}} = 252\,000 - 165\,000 = 87\,000\ \text{Дж}$$

Крок 3. Загальна маса води після плавлення: 1 + 0,5 = 1,5 кг. Цей залишок нагріває воду від 0 °C до t:

$$87\,000 = 4200 \cdot 1{,}5 \cdot t$$

$$t = \frac{87\,000}{6300} \approx 13{,}8 \,^\circ\text{C}$$

Округлюємо до цілих: 14 °C.

Відповідь: 14 °C.

Поширена помилка: не перевірити фазовий стан і одразу записати рівняння балансу, припускаючи, що весь лід тане. Якби води було менше або льоду більше, могло виявитися, що лід розтане лише частково й температура залишиться 0 °C.

Приклад 3. Лід у воді — тане лише частина

Завдання (вибір однієї відповіді). 1 кг льоду при температурі 0 °C додали до 0,5 кг води при температурі 20 °C. Питома теплоємність води c = 4200 Дж/(кг·К), питома теплота плавлення льоду λ = 3,3·10⁵ Дж/кг. Якою буде кінцева температура суміші і скільки льоду розтане?

Розв'язання. Вода, охолонувши до 0 °C, віддасть:

$$Q_{\text{від}} = 4200 \cdot 0{,}5 \cdot 20 = 42\,000\ \text{Дж}$$

Для плавлення всього льоду потрібно:

$$Q_{\text{пл}} = 3{,}3 \cdot 10^5 \cdot 1 = 330\,000\ \text{Дж}$$

42 000 Дж < 330 000 Дж — теплоти води не вистачає, щоб розплавити весь лід. Розтане лише частина льоду, а температура суміші залишиться 0 °C.

Маса льоду, що розтане:

$$m_{\text{розт}} = \frac{42\,000}{3{,}3 \cdot 10^5} \approx 0{,}127\ \text{кг} = 127\ \text{г}$$

Відповідь: кінцева температура 0 °C, розтане лише частина льоду (близько 127 г).

Поширена помилка: припустити, що вся вода охолоне нижче 0 °C або що лід почне нагріватися вище 0 °C, поки ще є нерозталий лід. Поки в системі є лід, температура залишається 0 °C.

Приклад 4. Теплота згоряння палива та ККД

Завдання (коротка відповідь). На спиртівці спалили 14 г спирту. Питома теплота згоряння спирту q = 2,7·10⁷ Дж/кг, ККД спиртівки 50 %. На скільки градусів нагріється 1 кг води? Питома теплоємність води c = 4200 Дж/(кг·К).

Розв'язання. Крок 1. Повна теплота згоряння:

$$Q_{\text{повн}} = 2{,}7 \cdot 10^7 \cdot 0{,}014 = 378\,000\ \text{Дж}$$

Крок 2. Корисна теплота (з урахуванням ККД):

$$Q_{\text{кор}} = 0{,}50 \cdot 378\,000 = 189\,000\ \text{Дж}$$

Крок 3. Нагрівання води:

$$\Delta t = \frac{189\,000}{4200 \cdot 1} = 45 \,^\circ\text{C}$$

Відповідь: 45 °C.

Поширена помилка: взяти Q_повн за корисну теплоту й не помножити на ККД. Тоді Δt = 378 000 / 4200 ≈ 90 °C, що вдвічі більше за правильну відповідь.

• Знаходити кінцеву температуру, не перевіривши фазовий стан суміші. Наприклад, якщо в системі є лід, спершу треба з'ясувати, чи вистачить теплоти води, щоб розплавити весь лід. Без цієї перевірки можна отримати від'ємну температуру або температуру нижче 0 °C, що суперечить фізиці: поки є лід, температура суміші дорівнює 0 °C.

• Змішувати знаки: записувати Q_віддана як від'ємну й ту саму частину ще й ставити у праву частину. Якщо ти використовуєш форму Q_віддана = Q_отримана, то всі доданки в лівій частині мають бути додатними (модулі теплоти). Якщо використовуєш алгебраїчну форму ΣQᵢ = 0, то теплоту, яку тіло віддає, записують зі знаком «−». Не роби обидва варіанти одночасно.

• Не враховувати теплоємність калориметра, хоч вона дана в умові. Калориметр — частина системи, він теж нагрівається або охолоджується. Якщо в умові дано C (Дж/К), обов'язково додай доданок C·Δt до отриманої теплоти.

• У задачі зі льодом забувати про нагрівання талої води від 0 °C до кінцевої температури. Після того як лід розтанув, утворена вода має температуру 0 °C. Якщо залишилася теплота, вона нагріває всю воду (і початкову, і талу) вище 0 °C. Не забудь додати масу талої води до загальної маси води.

• Брати повну теплоту згоряння за корисну, забувши про ККД. Q_повн = qm — це вся теплота, що виділилася під час згоряння. Корисна теплота Q_кор = η·Q_повн. Якщо ККД менший за 100 %, частина теплоти втрачається. Завжди перевіряй, чи враховано ККД.

Рівняння теплового балансу та формули Q = cmΔt, Q = λm, Q = rm, Q = qm входять до довідкових матеріалів, якими можна користуватися під час НМТ. Питомі теплоємності речовин, теплоти плавлення, пароутворення та згоряння завжди наводяться в умові задачі — запам'ятовувати їх не потрібно.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання на рівняння теплового балансу було подане як завдання № 19 (тема 2.3 з допоміжною темою 2.2, коротка відповідь, оцінювання — 0 або 2 бали). У ньому потрібно було застосувати рівняння теплового балансу під час змішування.

Стратегія розв'язування

Щоб успішно впоратися із завданням на НМТ, дотримуйся такого алгоритму:

1. Випиши всі тіла, що беруть участь у теплообміні. Познач, які з них віддають теплоту (гарячіші), а які отримують (холодніші).

2. Якщо в системі є лід або пара, спершу перевір фазовий стан: порівняй теплоту, яку може віддати вода (або пара), з теплотою, потрібною для плавлення всього льоду (або конденсації всієї пари).

3. Запиши рівняння теплового балансу у формі Q_віддана = Q_отримана або ΣQᵢ = 0. Для кожного тіла використай відповідну формулу: cmΔt, λm, rm або qm.

4. Розв'яжи отримане рівняння відносно невідомої величини (кінцевої температури, маси, питомої теплоємності тощо).

5. Запиши відповідь у вигляді числа в указаній одиниці вимірювання. Якщо потрібно округлити — зроби це за правилами округлення.

Пам'ятай: у НМТ відповідь на завдання з короткою відповіддю — це число. Жодних одиниць вимірювання у поле відповіді писати не треба, якщо про це не сказано окремо.

• Q_віддана = Q_отримана в теплоізольованій системі; алгебраїчна форма: ΣQᵢ = 0.

• Перевірити, чи весь лід розтане (або чи вся пара сконденсується), перш ніж шукати кінцеву температуру.

• Калориметр: додати C(t − t₀) до отриманої теплоти.

• Q = qm — теплота згоряння палива; η = Q_кор / Q_повн — ККД нагрівника.

• Кінцева температура суміші без фазових переходів лежить між початковими температурами.