Постулати теорії відносності і релятивістське додавання швидкостей

1905 року Альберт Ейнштейн опублікував статтю «До електродинаміки рухомих тіл», у якій сформулював спеціальну теорію відносності (СТВ). Ця теорія описує простір, час і рух для інерціальних систем відліку, коли швидкості тіл порівнянні зі швидкістю світла. В основі СТВ лежать два постулати — твердження, які не доводять, а приймають як вихідні, і які підтверджені всіма наступними експериментами.

Перший постулат — принцип відносності

Усі фізичні явища — механічні, електромагнітні, оптичні — відбуваються однаково в усіх інерціальних системах відліку. Жодним дослідом, проведеним усередині замкненої інерціальної системи, не можна виявити, рухається вона рівномірно прямолінійно чи перебуває в стані спокою. Іншими словами, не існує «абсолютно нерухомої» системи відліку — усі інерціальні системи рівноправні.

Цей принцип Ейнштейн поширив на всі фізичні закони, а не лише на механіку, як це було в класичному принципі відносності Галілея. Наприклад, закони електродинаміки (рівняння Максвелла) мають однакову форму в усіх інерціальних системах — і це не було очевидним до Ейнштейна.

Другий постулат — сталість швидкості світла

Швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку й не залежить ні від руху джерела, ні від руху приймача. Її позначають літерою c, і вона становить приблизно $3\cdot 10^8$ м/с.

Цей постулат суперечить класичному додаванню швидкостей. Уявімо ліхтар, який рухається зі швидкістю $0,5c$ відносно Землі й випромінює світло вперед. За класичною логікою, швидкість променя відносно Землі мала б дорівнювати $0,5c+c=1,5c$. Однак другий постулат стверджує: швидкість променя відносно Землі — $c$, і відносно самого ліхтаря — теж $c$. Світло не «прискорюється» від руху джерела.

З другого постулату випливає, що швидкість світла — максимально можлива швидкість передавання інформації та енергії в природі. Жодне тіло з масою спокою не може досягти $c$, а тим більше перевищити її.

Спеціальна теорія відносності та класична механіка

СТВ не заперечує класичну механіку Ньютона, а визначає межі її застосовності. Коли швидкості тіл набагато менші за $c$ (наприклад, $v<0,1c$), релятивістські ефекти стають мізерними, і формули СТВ переходять у звичні класичні. Тому класична механіка — це граничний випадок теорії відносності для малих швидкостей.

Якщо другий постулат Ейнштейна стверджує, що швидкість світла однакова в усіх системах, то класичне додавання швидкостей $v=v_1+v_2$ для світла не працює. Ейнштейн вивів новий — релятивістський — закон додавання швидкостей, який узгоджується з обома постулатами.

Формула та позначення

Релятивістський закон додавання швидкостей має вигляд:

$$v=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1{v}_2}{c^2}}$$

де $v_1$ — швидкість рухомої системи відліку відносно нерухомої, $v_2$ — швидкість тіла відносно рухомої системи, а $v$ — швидкість тіла відносно нерухомої системи. Ця формула є в довідкових матеріалах НМТ, тому запам’ятовувати її не обов’язково — важливо вміти нею користуватися.

Порядок розв'язання задач

Найзручніше працювати зі швидкостями, вираженими в частках від $c$. Наприклад, якщо в умові дано $0,6c$, ви підставляєте у формулу число $0,6$ замість $v_1/c$ і $v_2/c$. Знаменник тоді стає $1+v_1{v}_2/c^2$, де добуток $v_1{v}_2$ ділиться на $c^2$.

Знаки швидкостей визначають відносно обраної осі: напрямок уздовж осі вважають додатним, а протилежний — від’ємним. Головне — правильно визначити, що таке $v_1$ і $v_2$: $v_1$ — швидкість рухомої системи відносно нерухомої, $v_2$ — швидкість тіла відносно рухомої системи. Якщо тіла рухаються назустріч і шукають швидкість одного відносно другого, нерухому систему пов’язують з одним із тіл — тоді обидві швидкості у формулі напрямлені в один бік і мають однаковий знак.

Покроковий приклад

Розглянемо дві частинки, які летять назустріч одна одній зі швидкостями $0,6c$ кожна відносно Землі. Яка швидкість однієї частинки відносно другої?

Пов’яжемо нерухому систему відліку з першою частинкою. Відносно неї Земля рухається зі швидкістю $v_1=0,6c$ — у той самий бік, куди летить друга частинка. Друга частинка рухається відносно Землі зі швидкістю $v_2=0,6c$ у тому ж напрямку. Обидві швидкості напрямлені однаково, тому беремо їх з однаковим знаком.

Підставляємо:

$$v=\frac{0,6c+0,6c}{1+\frac{0,6c\cdot 0,6c}{c^2}}=\frac{1,2c}{1,36}\approx 0,88c$$

Отже, швидкість другої частинки відносно першої дорівнює $0,88c$, а не $1,2c$, як дало б класичне додавання.

Висновки з формули

З релятивістського закону додавання швидкостей випливають два важливі наслідки:

• Результат ніколи не перевищує $c$. Навіть якщо додавати $0,9c+0,9c$, отримаємо $v=1,8c/(1+0,81)\approx 0,994c<c$.

• Якщо $v_2=c$ (тіло — світло), то $v=c$ за будь-якого $v_1$. Це і є математичний вираз другого постулату: швидкість світла однакова в усіх інерціальних системах.

Релятивістський закон додавання швидкостей — це узагальнення класичного закону. За певних умов він зводиться до звичної формули $v=v_1+v_2$, яку ви знаєте з механіки Ньютона. Розберімося, коли який закон застосовувати.

Граничний перехід: коли релятивістська формула стає класичною

Якщо швидкості тіл набагато менші за швидкість світла ($v_1\ll c$ і $v_2\ll c$), то добуток $v_1{v}_2$ у знаменнику стає мізерним порівняно з $c^2$. Величина $v_1{v}_2/c^2$ прямує до нуля, тому знаменник $1+v_1{v}_2/c^2\approx 1$. Формула набуває вигляду $v\approx v_1+v_2$ — класичного закону додавання швидкостей.

Наприклад, автомобіль їде зі швидкістю $30$ м/с ($108$ км/год), а з нього вперед кидають м’яч зі швидкістю $10$ м/с. Класичне додавання дає $40$ м/с. Релятивістська поправка: $v_1{v}_2/c^2=30\cdot 10/(9\cdot 10^{16})\approx 3,3\cdot 10^{-15}$ — це настільки мала величина, що жоден вимірювальний прилад її не зафіксує. Тому для звичайних тіл класичний закон цілком достатній.

Як обрати закон у задачі

Факти, що підтверджують теорію відносності

Теорія відносності — не абстрактна гіпотеза, а теорія, багаторазово підтверджена експериментами. Ось основні факти:

• Сталість швидкості світла. Досліди Майкельсона — Морлі (1887) та їхні пізніші повторення показали, що швидкість світла не залежить від напрямку руху Землі. Якби світло підкорялося класичному додаванню, то виміряна швидкість уздовж руху Землі й упоперек відрізнялася б. Різниці не виявили.

• Неможливість розігнати частинку до швидкості світла. У прискорювачах (наприклад, у Великому адронному колайдері) протони розганяють до швидкостей $0,99999999c$, але ніколи не до $c$. Скільки б енергії не витрачали, швидкість лише наближається до $c$, але не досягає її.

• Зв’язок енергії та маси. Енергетичний вихід ядерних реакцій точно відповідає формулі $\Delta E=\Delta m\cdot c^2$. Дефект маси (різниця між масою ядра та сумою мас нуклонів) перетворюється на енергію. Докладно цю тему розглянемо в наступному юніті «Взаємозв’язок маси та енергії».

• Уповільнення часу в рухомих системах. Експерименти з мюонами — нестабільними частинками, що народжуються у верхніх шарах атмосфери, — показують: їхній час життя збільшується відповідно до релятивістських формул, завдяки чому вони долітають до поверхні Землі.

Запам’ятай: теорія відносності — це не припущення, а перевірена дослідами фізична теорія. Її висновки є надійною основою для сучасної фізики.

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ на тему постулатів теорії відносності та релятивістського додавання швидкостей. Кожне завдання має формат вибору однієї правильної відповіді з чотирьох.

Приклад 1. Якісне завдання на другий постулат

Умова: Ліхтар, закріплений на космічному кораблі, випромінює промінь світла вперед за напрямком руху корабля. Корабель рухається відносно Землі зі швидкістю $0,6c$. Якою є швидкість цього променя відносно Землі?

Варіанти відповіді:

• $1,6c$ (класична сума $0,6c+c$)

• $0,4c$ (різниця $c-0,6c$)

• $c$ (швидкість світла у вакуумі)

• Залежить від швидкості приймача на Землі

Розв'язання: Згідно з другим постулатом Ейнштейна, швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку й не залежить від руху джерела. Тому швидкість променя відносно Землі дорівнює $c$, незалежно від того, з якою швидкістю рухається корабель.

Відповідь: $c$.

Чому інші варіанти неправильні: $1,6c$ — це класичне додавання швидкостей, яке суперечить другому постулату; $0,4c$ — хибна логіка «віднімання» швидкості джерела; «залежить від приймача» — суперечить постулату про незалежність $c$ від руху приймача.

Приклад 2. Розрахункове завдання на релятивістське додавання

Умова: Два космічні кораблі летять назустріч один одному. Швидкість кожного корабля відносно космічної станції дорівнює $0,5c$. Визначте швидкість першого корабля відносно другого.

Варіанти відповіді:

• $c$

• $0,5c$

• $0,8c$

• $1,25c$

Розв'язання: Пов’яжемо нерухому систему відліку з другим кораблем. Відносно нього станція рухається зі швидкістю $v_1=0,5c$ — у той самий бік, куди летить перший корабель. Перший корабель рухається відносно станції зі швидкістю $v_2=0,5c$ у тому ж напрямку. Обидві швидкості напрямлені однаково, тому беремо їх з однаковим знаком і підставляємо в релятивістську формулу:

$$v=\frac{0,5c+0,5c}{1+\frac{0,5c\cdot 0,5c}{c^2}}=\frac{c}{1,25}=0,8c$$

Відповідь: $0,8c$.

Чому інші варіанти неправильні: $c$ — швидкість світла, а не швидкість корабля; $0,5c$ — це швидкість одного корабля відносно станції, а не відносно другого корабля; $1,25c$ — чисельник $c$ помножили на знаменник $1,25$ замість ділення, і результат перевищує $c$, чого за релятивістським додаванням бути не може.

Приклад 3. Знайти помилку в розв'язанні

Умова: Учень розв'язав задачу: «Ракета рухається зі швидкістю $0,7c$ відносно Землі. Вона випускає світловий сигнал уперед. Швидкість сигналу відносно Землі дорівнює $0,7c+c=1,7c$». Якому твердженню суперечить це розв'язання?

Варіанти відповіді:

• Принципу відносності Галілея

• Постулату про сталість швидкості світла

• Закону збереження імпульсу

• Другому закону Ньютона

Розв'язання: Учень застосував класичне додавання швидкостей до світлового сигналу й отримав $1,7c$, що перевищує швидкість світла. Це суперечить другому постулату Ейнштейна, який стверджує, що швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах і дорівнює $c$, незалежно від швидкості джерела.

Відповідь: Постулату про сталість швидкості світла.

Чому інші варіанти неправильні: принцип відносності Галілея стосується механічних явищ і не забороняє швидкостей понад $c$; закон збереження імпульсу та другий закон Ньютона не порушуються в цьому прикладі.

Приклад 4. Коли застосовувати класичний закон

Умова: За якої умови релятивістський закон додавання швидкостей можна замінити класичним $v=v_1+v_2$ без помітної похибки?

Варіанти відповіді:

• Коли обидві швидкості напрямлені в один бік

• Коли швидкості набагато менші за швидкість світла

• Коли одна зі швидкостей дорівнює нулю

• Коли тіла рухаються назустріч

Розв'язання: Релятивістський закон переходить у класичний, коли $v_1{v}_2/c^2\approx 0$, тобто коли обидві швидкості набагато менші за швидкість світла ($v_1\ll c$ і $v_2\ll c$). У цьому випадку знаменник $1+v_1{v}_2/c^2\approx 1$, і формула набуває вигляду $v\approx v_1+v_2$.

Відповідь: Коли швидкості набагато менші за швидкість світла.

Чому інші варіанти неправильні: напрямок руху не впливає на необхідність релятивістської поправки; якщо одна швидкість нульова, обидві формули дають однаковий результат, але це окремий випадок, а не загальна умова; зустрічний рух вимагає релятивістської формули, якщо швидкості великі.

• Додавати швидкості класично й отримувати значення, більше за c. Найпоширеніша помилка — застосувати формулу $v=v_1+v_2$ до швидкостей, порівнянних зі швидкістю світла. Наприклад, дві частинки летять назустріч з $0,6c$ кожна, і учень пише $1,2c$. Правильно: використовувати релятивістську формулу, яка дасть $0,88c$.

• Не розділити добуток швидкостей на c² у знаменнику. У формулі $v=(v_1+v_2)/(1+v_1{v}_2/c^2)$ знаменник містить ділення на $c^2$. Якщо підставити швидкості в м/с, забувши поділити добуток на $c^2$, знаменник стане величезним, а результат — неправильним. Найзручніше працювати з частками $c$: тоді $c^2$ у знаменнику скорочується.

• Вважати, що швидкість світла залежить від швидкості джерела. Типове інтуїтивне міркування: «ліхтар рухається вперед, тому світло від нього летить швидше». Другий постулат Ейнштейна прямо заперечує це: швидкість світла у вакуумі однакова в усіх системах і не залежить від руху джерела.

• Вважати, що з теорії відносності випливає неправильність класичної механіки. Класична механіка не «помилкова» — вона є граничним випадком теорії відносності для швидкостей, набагато менших за $c$. Для автомобілів, літаків і планет вона працює чудово. Теорія відносності розширює межі застосовності фізики, а не скасовує стару.

• Плутати, що означають $v_1$ і $v_2$ у формулі. $v_1$ — швидкість рухомої системи відносно нерухомої, $v_2$ — швидкість тіла відносно рухомої системи. Якщо два тіла летять назустріч зі швидкостями $0,6c$ відносно Землі й підставити у формулу $0,6c$ та $-0,6c$, вийде $0$ — безглуздий результат. Треба пов’язати нерухому систему з одним із тіл: тоді Земля й друге тіло рухаються відносно неї в один бік, і обидві швидкості мають однаковий знак.

• Вважати, що принцип відносності стосується лише механічних явищ. Ейнштейн поширив принцип відносності на всі фізичні явища — механічні, електромагнітні, оптичні. Саме це стало революційним кроком порівняно з принципом відносності Галілея.

Тема 5.1 «Елементи теорії відносності» входить до програми НМТ з фізики. Вона охоплює принципи Ейнштейна, релятивістський закон додавання швидкостей і взаємозв’язок маси та енергії. Від тебе вимагається застосовувати закон додавання швидкостей і наводити факти, що підтверджують висновки теорії.

У демоваріанті НМТ 2026 року тему 5.1 представлено завданням № 13 з вибором однієї відповіді з чотирьох (взаємозв’язок маси й енергії, потужність випромінювання). Таке завдання оцінюється в 0 або 1 бал.

Релятивістський закон додавання швидкостей є в довідкових матеріалах НМТ, тому запам’ятовувати його не обов’язково — важливо вміти ним користуватися. Однак словесні формулювання постулатів у довідці відсутні — їх треба знати напам’ять.

Стратегія розв'язання

Коли бачиш задачу на додавання швидкостей:

1. Визнач, які швидкості дано в умові й відносно яких систем відліку.

2. Запиши швидкості як частки $c$ (наприклад, $0,6c$ замість $1,8\cdot 10^8$ м/с).

3. Підстав у релятивістську формулу з довідкових матеріалів.

4. Перевір, що отриманий результат менший за $c$ — якщо ні, ти помилився.

5. Якщо швидкості набагато менші за $c$ (звичайні тіла), сміливо застосовуй класичне додавання.

Важливо: уважно читай умову — чи запитують швидкість відносно нерухомої системи, чи відносно рухомої. Від цього залежить, яку величину треба знайти.

• Постулат 1 (принцип відносності): усі фізичні явища відбуваються однаково в усіх інерціальних системах відліку. Жодним дослідом усередині системи не можна виявити її рівномірний прямолінійний рух.

• Постулат 2 (сталість швидкості світла): швидкість світла у вакуумі $c\approx 3\cdot 10^8$ м/с однакова в усіх інерціальних системах і не залежить від руху джерела чи приймача.

• Релятивістський закон додавання швидкостей: $v=(v_1+v_2)/(1+v_1{v}_2/c^2)$. Для тіл результат завжди менший за $c$. Якщо $v_2=c$ (світло), то $v=c$ за будь-якого $v_1$.

• Граничний перехід: за швидкостей, набагато менших за $c$ ($v_1\ll c$, $v_2\ll c$), релятивістський закон переходить у класичне додавання $v\approx v_1+v_2$.

• Підтвердження теорії: сталість швидкості світла (дослід Майкельсона — Морлі), неможливість розігнати частинку до $c$ у прискорювачах, зв’язок енергії та маси $\Delta E=\Delta m\cdot c^2$ у ядерних реакціях.