Підстановка й відсіювання варіантів відповіді

Коли у варіантах відповіді подано числа, пари чисел або набори коренів, ти можеш знайти правильну відповідь простою підстановкою — без повного розв’язування рівняння чи нерівності. На НМТ це економить час і зменшує ризик арифметичних помилок.

Суть методу: ти береш кожен варіант по черзі, підставляєш його в умову замість змінної (або пари (x; y) в обидва рівняння системи) і дивишся, чи виконується рівність чи нерівність. Якщо умова не виконується — варіант неправильний.

Рівняння з одним коренем

Розгляньмо рівняння √(x + 3) = x − 3 з варіантами: 1; 6; «1 і 6»; −1; 3.

Підставляємо x = 6: √(6 + 3) = √9 = 3, а права частина 6 − 3 = 3. Отже, 3 = 3 — рівність виконується. x = 6 підходить.

Підставляємо x = 1: √(1 + 3) = √4 = 2, а права частина 1 − 3 = −2. 2 ≠ −2 — не підходить, хоча обидві частини визначені. Це сторонній корінь.

Варіант «1 і 6» відпадає, бо 1 не задовольняє рівняння. Варіанти −1 і 3 перевіряємо: √(−1 + 3) = √2 ≈ 1,41, а −1 − 3 = −4 — не підходить; √(3 + 3) = √6 ≈ 2,45, а 3 − 3 = 0 — не підходить. Ключ — 6.

Набір коренів: правило повної перевірки

Якщо варіант — набір чисел (наприклад, «−2 і 2»), такий варіант правильний лише тоді, коли кожне число набору задовольняє рівняння. Навіть одне «зайве» число робить варіант хибним. Пам’ятай: квадратне рівняння має не більше ніж два корені, тому набір із трьох чисел не може бути множиною всіх коренів.

Нерівності: перевірка пробними точками

Коли варіанти — проміжки, ти не можеш підставити всі числа. Натомість обираєш пробні точки — по одному числу з кожного проміжку варіантів. Особливо важливо перевірити:

• число, що належить одному варіанту, але не належить іншому (наприклад, x = 0, x = 10)

• межу проміжку (наприклад, x = 2), щоб визначити, чи входить вона: кругла дужка означає, що межа не входить, квадратна — що входить

Наприклад, для нерівності x² − 2x − 8 ≤ 0 варіанти: [−2; 4], (−2; 4), (−∞; −2] ∪ [4; +∞), [−4; 2], [2; 4]. Підставляємо x = 0: 0 − 0 − 8 = −8 ≤ 0 — 0 є розв’язком, тому варіанти, які не містять 0 ( (−∞; −2] ∪ [4; +∞) ), відпадають. Перевіряємо x = −3: 9 + 6 − 8 = 7 ≤ 0 — не виконується, тому [−4; 2] відпадає. Перевіряємо x = 4 (межа): 16 − 8 − 8 = 0 ≤ 0 — виконується, тому (−2; 4) (де 4 не входить) відпадає. Залишається [−2; 4].

Системи рівнянь

Для системи пару (x; y) підставляють в обидва рівняння. Якщо пара задовольняє перше рівняння, але не задовольняє друге — її відкидають. Правильна пара має виконувати обидва рівняння одночасно.

Пам’ятай: перевіряй усі п’ять варіантів! Іноді перший-ліпший підходить, а правильним є інший. Ніколи не зупиняйся на одному збігу.

Коли варіанти відповіді — це не числа, а вирази зі змінною (наприклад, спрощені алгебраїчні або тригонометричні вирази), підставити їх у рівняння не вийде. Тут працює метод частинних значень: обчисли значення вихідного виразу та кожного варіанта при одному зручному числовому значенні змінної. Варіант, який дає інше число, — точно неправильний.

Як вибрати частинне значення

Число має належати області допустимих значень (ОДЗ). Наприклад, для виразу з x у знаменнику не можна брати x = 0. Найкраще брати прості числа: 1, 2, 3 або для тригонометрії — стандартні кути з таблиці (π/6, π/4, π/3), значення яких є в довідкових матеріалах НМТ.

Приклад: раціональний вираз

Розгляньмо вираз (x² − 4)/(x² + 2x). Спробуймо визначити, який із варіантів йому тотожний.

Беремо x = 1 (ОДЗ: знаменник x² + 2x = 1 + 2 = 3 ≠ 0):

• умова: (1 − 4)/(1 + 2) = (−3)/3 = −1

• варіант (x − 2)/x: (1 − 2)/1 = −1

• варіант (x − 2): 1 − 2 = −1

Обидва варіанти дали −1. Один збіг — це ще не доказ. Беремо друге значення, x = 3:

• умова: (9 − 4)/(9 + 6) = 5/15 = 1/3

• варіант (x − 2)/x: (3 − 2)/3 = 1/3

• варіант (x − 2): 3 − 2 = 1

Тепер видно, що (x − 2) дає 1, а не 1/3 — відпадає. Ключ — (x − 2)/x.

Тригонометрія й логарифми

Для тригонометричних виразів використовуй табличні значення з довідкових матеріалів НМТ. Наприклад, спростимо sin 2α/(2 cos α). Беремо α = π/6:

• sin(2 · π/6) = sin(π/3) = √3/2

• cos(π/6) = √3/2

• умова: (√3/2) / (2 · √3/2) = (√3/2) / √3 = 1/2

• а sin(π/6) = 1/2 — збіг

Якби лишилося кілька варіантів, перевірили б α = π/4 або α = π/3.

Запам’ятай: збіг при одному частинному значенні не доводить тотожності варіанта. Якщо після першої перевірки лишилося більше одного варіанта, обов’язково візьми друге значення з тієї самої ОДЗ.

Деякі варіанти можна відкинути ще до того, як почати підстановку. Це зветься відсіюванням. Ти перевіряєш очевидні властивості шуканої відповіді й викреслюєш варіанти, які їм суперечать.

Відсіювання за ОДЗ

Кожне рівняння має область допустимих значень. Якщо варіант не входить в ОДЗ, він не може бути коренем — навіть якщо формально «підходить» після підстановки.

Наприклад, у рівнянні log₂(x − 3) = 5 корінь не може дорівнювати 2 чи 3, бо тоді x − 3 ≤ 0 і логарифм не визначений.

Відсіювання за знаком

Певні математичні об'єкти завжди мають фіксований знак:

• √a ≥ 0 — квадратний корінь невід'ємний

• 2ˣ > 0 — показникова функція завжди додатна

• довжина, площа, об'єм, кількість — додатні числа

• ймовірність події — від 0 до 1 включно

Якщо у відповіді має бути додатне число, а варіант містить від'ємне — відкидай його без обчислень.

Відсіювання за подільністю й парністю

Іноді властивості цілих чисел допомагають швидко відсіяти варіанти:

• сума двох непарних чисел — парна

• добуток двох послідовних цілих чисел завжди парний

• число, кратне 9, має суму цифр, кратну 9

• остання цифра квадрата числа збігається з останньою цифрою квадрата його останньої цифри

Відсіювання за порядком величини

Ти можеш швидко оцінити результат приблизно, без точного обчислення.

• $49,7\cdot 0,21\approx 50\cdot 0,2=10${}. Варіанти 1,0437 і 104,37 лежать далеко від 10 — відкидаємо.

• $\sqrt{130}${}: 11² = 121, 12² = 144, отже 121 < 130 < 144, тому √130 лежить між 11 і 12.

• 2ˣ = 10: 2³ = 8, 2⁴ = 16, тому корінь між 3 і 4.

Штрафу немає — відповідь вибирай завжди

На НМТ неправильна відповідь і відсутня відповідь оцінюються однаково — 0 балів. Тому після того, як ти відсіяв два чи три варіанти, шанс угадати зростає з 1/5 до 1/3 або навіть 1/2. Завжди обирай один із варіантів, що лишилися.

Коли підстановка громіздка (довгі дроби, п'ять варіантів-виразів), звичайне розв'язання може бути швидшим. Оцінюй час: якщо підстановка забирає більше ніж 2 хвилини — розв'яжи рівняння напряму.

Приклад 1. Логарифмічне рівняння

Завдання: «Розв’яжіть рівняння log₃(x + 1) + log₃(x − 1) = 1».

Варіанти відповіді: А) −2 і 2 Б) 2 В) −2 Г) 4 Д) коренів немає

Розв’язання підстановкою. Перевіряємо x = 2: log₃(2 + 1) + log₃(2 − 1) = log₃3 + log₃1 = 1 + 0 = 1 — підходить. Перевіряємо x = −2: log₃(−2 + 1) = log₃(−1) — логарифм від від’ємного числа не існує, тому x = −2 не входить в ОДЗ. Перевіряємо x = 4: log₃(4 + 1) + log₃(4 − 1) = log₃5 + log₃3 — це більше за 1 (логічно, без точного обчислення).

Варіант «−2 і 2» — пастка: −2 не входить в ОДЗ. Хоча −2 «підходить» за формою після потенціювання, він не є коренем.

Відповідь: 2 (варіант Б)

Приклад 2. Квадратна нерівність

Завдання: «Розв’яжіть нерівність x² − 2x − 8 ≤ 0».

Варіанти відповіді: А) [−2; 4] Б) (−2; 4) В) (−∞; −2] ∪ [4; +∞) Г) [−4; 2] Д) [2; 4]

Крок 1. Беремо пробну точку x = 0. Підставляємо: 0 − 0 − 8 = −8 ≤ 0 — виконується. Отже, 0 має належати проміжку-відповіді. Варіант В ((−∞; −2] ∪ [4; +∞)) не містить 0 — відпадає.

Крок 2. Беремо x = −3. Підставляємо: 9 + 6 − 8 = 7 ≤ 0 — не виконується. Варіант Г ([−4; 2]) містить −3 — відпадає.

Крок 3. Беремо межу проміжку x = 4. Підставляємо: 16 − 8 − 8 = 0 ≤ 0 — виконується. Отже, межа 4 входить до відповіді. Варіант Б ((−2; 4)) має круглу дужку біля 4 — відпадає.

Крок 4. Залишилися [−2; 4] і [2; 4]. Перевіряємо межу x = −2: 4 + 4 − 8 = 0 ≤ 0 — виконується. Отже, −2 входить. Варіант Д ([2; 4]) не містить −2 — відпадає.

Відповідь: [−2; 4] (варіант А)

Приклад 3. Оцінка кореня показникового рівняння

Завдання: «Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння 2ˣ = 10».

Варіанти відповіді: А) (0; 1) Б) (1; 2) В) (2; 3) Г) (3; 4) Д) (4; 5)

Розв’язання. Не треба обчислювати логарифм. Оцінюємо степені двійки: 2³ = 8, 2⁴ = 16. Оскільки 8 < 10 < 16, корінь рівняння лежить між 3 і 4. Це проміжок (3; 4).

Відповідь: (3; 4) (варіант Г)

Приклад 4. Тотожне перетворення тригонометричного виразу

Завдання: «Спростіть вираз (1 − cos²α)/(sin α · cos α)».

Варіанти відповіді: А) tg α Б) ctg α В) sin α Г) cos α Д) 1

Крок 1. Беремо α = π/4 (45°). sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2. Умова: (1 − 1/2) / ((√2/2) · (√2/2)) = (1/2) / (1/2) = 1. Тепер перевіряємо варіанти: tg(π/4) = 1, ctg(π/4) = 1, 1 = 1. Три варіанти збігаються!

Крок 2. Беремо α = π/6 (30°). sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2. Умова: (1 − 3/4) / ((1/2) · (√3/2)) = (1/4) / (√3/4) = 1/√3. Тепер tg(π/6) = 1/√3, ctg(π/6) = √3, 1 = 1. Лише tg(π/6) дає 1/√3.

Відповідь: tg α (варіант А)

Розберімо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час підстановки й відсіювання варіантів. Знаючи про них наперед, ти зможеш їх уникнути.

• Перевірити лише перший варіант, що підійшов. Ти знайшов число, яке задовольняє рівняння, і одразу його записав. Але серед варіантів може бути інше число, яке теж підходить, або ж той самий корінь подано в різному записі. Завжди перевіряй усі п'ять варіантів.

• Вибрати варіант-набір коренів, у якому підходить лише частина чисел. Наприклад, варіант «−2 і 2» для рівняння, де −2 не входить в ОДЗ. Пам'ятай: набір правильний, лише коли кожне число в ньому є коренем.

• Перевіряти тотожність одним значенням, при якому кілька варіантів збігаються. Якщо при x = 1 три варіанти дають однакове число, це не означає, що всі вони правильні. Зроби другу перевірку при іншому значенні з ОДЗ.

• Узяти частинне значення поза ОДЗ. Наприклад, x = 0 для виразу з x у знаменнику неприпустимий. Ти отримаєш ділення на нуль — «результат» буде безглуздим, а будь-який висновок — хибним.

• У нерівності перевірити лише внутрішню точку й не перевірити межу проміжку. Без перевірки межі ти не дізнаєшся, чи вона входить у відповідь. А межа — це різниця між круглою та квадратною дужкою.

• Лишити завдання без відповіді після відсіювання двох варіантів. Ти відсіяв два явно неправильні варіанти, але не вибрав серед трьох, що лишилися, — і отримав 0 балів. Штрафу за неправильну відповідь немає, тому завжди обирай один із варіантів.

Найнебезпечніша пастка: вирази (x − 2)/x і (x − 2) можуть дати однакове значення при x = 1 (обидва дорівнюють −1). Учень, який зупинився на одній перевірці, помилково вибере x − 2 замість правильного (x − 2)/x.

Ось що тобі варто знати про те, як саме на НМТ перевіряють завдання, де можна застосувати підстановку й відсіювання.

Формат завдань № 1–15

• Тип: вибір однієї правильної відповіді з п'яти (А–Д)

• Оцінювання: 0 або 1 бал за кожне завдання

• Перевірка: оцінюють лише вибраний і збережений варіант. Жодне розв'язання з чернетки не перевіряють і не враховують.

• Штраф: відсутній. Неправильна відповідь і відсутня відповідь дають однаково 0 балів.

Які завдання підходять для підстановки

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 року з математики є кілька завдань, де підстановка або частинне значення працюють ідеально:

Довідкові матеріали тобі в допомогу

На НМТ ти отримаєш довідкові матеріали. У них є:

• таблиця квадратів чисел від 10 до 49 — пришвидшує оцінку порядку величини (наприклад, √130 ≈ 11,4)

• таблиця значень sin, cos, tg для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90° — зручна для частинної перевірки тригонометричних виразів

Поширена стратегія: спочатку відсій очевидно неправильні варіанти (ОДЗ, знак, порядок), потім підстав решту. Якщо лишився лише один варіант — це твоя відповідь.

• Варіанти-числа підставляй в умову — і перевір усі п'ять варіантів, не зупиняйся на першому збігу.

• Набір коренів правильний, лише якщо підходять усі числа й інших коренів немає. Якщо одне число з набору не підходить — набір неправильний.

• Тотожність перевіряй частинними значеннями. Збіг двох варіантів при одному значенні — привід для другої перевірки.

• Частинне значення має належати ОДЗ. Не бери x = 0, якщо у виразі є ділення на x.

• Відсіюй за ОДЗ, знаком, подільністю й порядком величини. Це прибирає варіанти без єдиного обчислення.

• Штрафу немає — відповідь вибирай завжди. Навіть якщо лишилося два чи три варіанти, обери один — нічого не втратиш, а шанс на бал матимеш.