Фотон: енергія та імпульс

Наприкінці XIX століття фізика опинилася перед кризою: класична теорія не могла пояснити спектр випромінювання абсолютно чорного тіла. 1900 року німецький фізик Макс Планк висунув революційну гіпотезу: світло випромінюється й поглинається не безперервно, а окремими порціями — квантами. Енергія кожного кванта прямо пропорційна частоті випромінювання:

$$E=h\nu$$де $$h\approx 6,63\cdot 10^{-34}\text{Дж}\cdot \text{с}$$ — стала Планка, а $$\nu$$ — частота світла.

Квант світла згодом назвали фотоном. Фотон — це елементарна частинка, яка існує лише під час руху зі швидкістю світла $$c$$. Його маса спокою дорівнює нулю, тому він не може перебувати в стані спокою.

Зв'язок енергії з довжиною хвилі

Оскільки частота й довжина хвилі пов'язані співвідношенням $$\lambda =c/\nu$$, енергію фотона можна виразити через довжину хвилі:

$$E=\frac{hc}{\lambda }$$

З цієї формули видно: чим менша довжина хвилі, тим більша енергія фотона. Наприклад, ультрафіолетовий фотон ($$\lambda \approx 100$$ нм) має набагато більшу енергію, ніж червоний фотон ($$\lambda \approx 700$$ нм).

Приклад порівняння енергій

У скільки разів енергія фотона з довжиною хвилі 200 нм більша за енергію фотона з довжиною хвилі 800 нм?

Оскільки $$E\propto 1/\lambda$$, маємо:

$$\frac{E_1}{E_2}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{800\text{нм}}{200\text{нм}}=4$$

Відповідь: у 4 рази. Зверни увагу: для такого порівняння не потрібно знати ні сталу Планка, ні швидкість світла — достатньо оберненої пропорційності.

Електронвольт — зручна одиниця енергії

Енергія фотонів у джоулях — це дуже малі числа (порядку $$10^{-19}$$). Тому в атомній і квантовій фізиці часто використовують позасистемну одиницю — електронвольт (еВ):

$$1\text{еВ}=1,6\cdot 10^{-19}\text{Дж}$$

Щоб перевести енергію з електронвольтів у джоулі, множать на $$1,6\cdot 10^{-19}$$. Наприклад, фотон з енергією 2 еВ має енергію $$2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}=3,2\cdot 10^{-19}$$ Дж. Зворотне перетворення — ділення на $$1,6\cdot 10^{-19}$$.

Хоча фотон не має маси спокою, він має імпульс. Це випливає з релятивістського співвідношення між енергією та імпульсом для частинок з нульовою масою спокою: $$E=pc$$. Звідси імпульс фотона:

$$p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu }{c}=\frac{h}{\lambda }$$

Напрям імпульсу фотона збігається з напрямом поширення світлового променя. Що коротша довжина хвилі, то більший імпульс фотона.

Як виникає тиск світла

Коли фотони падають на поверхню, вони передають їй свій імпульс. Це спричиняє силу тиску, а отже — тиск світла. Уперше тиск світла експериментально виміряв російський фізик Петро Лебедєв у 1899–1900 роках. Його дослід підтвердив, що світло справді має імпульс.

Чорна й дзеркальна поверхні

Величина тиску залежить від того, що відбувається з фотонами після зіткнення з поверхнею:

За нормального падіння світла на дзеркальну поверхню зміна імпульсу фотона вдвічі більша, ніж на чорну, тому й тиск на дзеркальну поверхню вдвічі більший.

Де тиск світла має значення

У побуті тиск світла мізерний — сонячне світло тисне на долоню з силою порядку $$10^{-8}$$ Н (тиск ≈ 5·10⁻⁶ Па). Однак у космосі цей ефект стає помітним: сонячне світло відхиляє хвости комет від Сонця, а в майбутньому сонячні вітрила зможуть розганяти космічні апарати без витрати палива.

Світло поводиться і як хвиля, і як потік частинок — це називають корпускулярно-хвильовим дуалізмом. У різних дослідах проявляється різний бік природи світла, і це не суперечність, а фундаментальна двоїстість.

Хвильові властивості світла

Хвильову природу світла підтверджують явища:

• інтерференція (дослід Юнга, кільця Ньютона);

• дифракція (огинання перешкод, дифракційна ґратка);

• поляризація (світло — поперечна електромагнітна хвиля).

Корпускулярні властивості світла

Корпускулярну (частинкову) природу світла доводять:

• фотоефект — вибивання електронів із речовини під дією світла;

• тиск світла — передача імпульсу фотонів поверхні;

• хімічна дія світла (фотосинтез, фотографія) — світло поглинається окремими квантами.

Хвильові властивості частинок речовини

Дуалізм притаманний не лише світлу. 1924 року Луї де Бройль висунув гіпотезу, що будь-яка частинка має хвильові властивості з довжиною хвилі:

$$\lambda =\frac{h}{p}$$

де $$p$$ — імпульс частинки. Експериментально це підтвердили, спостерігаючи дифракцію електронів на кристалічній ґратці (дослід Девіссона і Джермера, 1927).

Як енергія визначає, які властивості виразніші

Чим більша енергія фотонів (тобто чим коротша довжина хвилі), тим яскравіше проявляються корпускулярні властивості. Рентгенівське та гамма-випромінювання поводиться переважно як потік частинок. Натомість довгохвильове випромінювання (радіохвилі) виявляє майже суто хвильові властивості.

Формула $$E=h\nu$$ — ключовий місток між двома картинами: вона пов'язує корпускулярну характеристику (енергію фотона $$E$$) із хвильовою (частоту $$\nu$$).

Приклад 1. Порівняння енергій фотонів

У скільки разів енергія фотона з довжиною хвилі 300 нм більша за енергію фотона з довжиною хвилі 900 нм?

Розв'язання. Енергія фотона обернено пропорційна довжині хвилі: $$E=hc/\lambda$$. Тому відношення енергій дорівнює оберненому відношенню довжин хвиль:

$$\frac{E_1}{E_2}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{900\text{нм}}{300\text{нм}}=3$$

Відповідь: у 3 рази.

Чому інші варіанти неправильні: «у 9 разів» — це квадрат відношення довжин хвиль (помилка: множать, а не ділять); «у 1/3 разу» — переплутали, яку довжину хвилі ставити в чисельник; «у √3 разу» — плутанина з коренем.

Приклад 2. Обчислення імпульсу фотона

Визнач імпульс фотона з довжиною хвилі 500 нм. Стала Планка h = 6,6·10⁻³⁴ Дж·с. Відповідь запиши у 10⁻²⁷ кг·м/с, округливши до десятих.

Розв'язання. Переведемо довжину хвилі в метри: λ = 500 нм = 500·10⁻⁹ м = 5·10⁻⁷ м. Імпульс фотона:

$$p=\frac{h}{\lambda }=\frac{6,6\cdot 10^{-34}}{5\cdot 10^{-7}}=1,32\cdot 10^{-27}\text{кг}\cdot \text{м/с}$$

Округлюємо до десятих: 1,3·10⁻²⁷ кг·м/с.

Відповідь: 1,3.

Зверни увагу: довжину хвилі обов'язково переводять у метри. Нанометри (1 нм = 10⁻⁹ м) — поширена одиниця в задачах, і саме тут найчастіше помиляються.

Приклад 3. Тиск світла на різні поверхні

Фотони падають на дзеркальну й чорну поверхні однакової площі за однакового потоку. Як співвідносяться тиски світла на ці поверхні?

Розв'язання. На чорну поверхню фотон передає імпульс p (від p до 0). На дзеркальну поверхню фотон передає імпульс 2p (від p до -p). Оскільки кількість фотонів однакова, тиск на дзеркальну поверхню вдвічі більший.

Відповідь: на дзеркальну поверхню тиск удвічі більший, ніж на чорну.

Приклад 4. Хвильові властивості електронів

Який дослід підтверджує хвильові властивості електронів?

Розв'язання. Хвильові властивості електронів підтверджує дифракція електронів на кристалічній ґратці (дослід Девіссона і Джермера, 1927).

Чому інші варіанти неправильні: фотоефект — це корпускулярна властивість світла, а не електронів; тиск світла — також корпускулярна властивість світла; спектр випромінювання атома — це квантовий ефект, але не доказ хвильової природи електронів.

• Плутати порядок степеня, переводячи еВ у Дж: 1 еВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж, а не 1,6·10⁻¹⁶. Запам'ятай: 10⁻¹⁹, а не 10⁻¹⁶.

• Вважати, що енергія фотона пропорційна довжині хвилі. Насправді E = hc/λ — енергія обернено пропорційна довжині хвилі. Чим більша λ, тим менша E.

• Вважати, що фотон не має імпульсу, бо його маса спокою нуль. Імпульс фотона p = h/λ = E/c існує завдяки його енергії, хоча маса спокою дорівнює нулю.

• Плутати тиск на чорну й дзеркальну поверхні. На чорну (поглинальну) поверхню тиск удвічі менший, ніж на дзеркальну (відбивальну), бо зміна імпульсу фотона на дзеркалі вдвічі більша.

• Підставляти довжину хвилі в нанометрах без переведення в метри. Завжди перевіряй: 1 нм = 10⁻⁹ м. Якщо λ = 500 нм, то в метрах це 5·10⁻⁷ м.

• Вважати, що світло є або хвилею, або частинкою, а не виявляє обидві властивості. Корпускулярно-хвильовий дуалізм означає, що світло має і хвильові, і корпускулярні властивості залежно від умов досліду.

Тема «Світлові кванти» програми НМТ передбачає, що ти вмієш обчислювати енергію й імпульс фотона, а також пояснювати досліди Столєтова (фотоефект) і Лебедєва (тиск світла) та корпускулярно-хвильовий дуалізм. У демонстраційному варіанті 2026 року цю тему не представлено, але вона залишається в програмі.

Що можна використовувати

Формули енергії та імпульсу фотона є в довідкових матеріалах, які учасник НМТ бачить на екрані під час тесту. Сталу Планка h і швидкість світла c зазвичай наводять в умові задачі.

Формати завдань

Стратегія розв'язування

У задачах на кшталт «у скільки разів» не поспішай підставляти числа в формули. Спершу склади відношення:

$$\frac{E_1}{E_2}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}$$

Це дає змогу знайти відповідь без обчислення абсолютних значень і зменшує ризик помилки в степенях.

• Енергія фотона: $$E=h\nu =hc/\lambda$$. Чим менша довжина хвилі, тим більша енергія фотона.

• Імпульс фотона: $$p=h/\lambda =E/c$$. Маса спокою фотона дорівнює нулю.

• Тиск світла на дзеркальну поверхню вдвічі більший, ніж на чорну, бо зміна імпульсу фотона при відбиванні вдвічі більша.

• Світло має і хвильові (інтерференція, дифракція, поляризація), і корпускулярні (фотоефект, тиск світла) властивості. Хвильові властивості мають також частинки речовини (дифракція електронів).

• 1 еВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж. Для переведення енергії з еВ у Дж множать на 1,6·10⁻¹⁹.