ЕРС і закон Ома для повного кола

Щоб у колі протікав постійний струм, потрібне джерело, яке підтримує різницю потенціалів на своїх затискачах. Усередині джерела струму діють так звані сторонні сили — це сили не електричного походження. У гальванічному елементі сторонніми є хімічні сили, у генераторі — магнітні, у фотоелементі — дія світла (енергія поглинутих фотонів розділяє заряди внаслідок фотоефекту). Сторонні сили розділяють заряди: вони переносять позитивні заряди до одного полюса, а негативні — до іншого, виконуючи роботу проти електричного поля, яке намагається з'єднати заряди.

Фізична величина, що характеризує здатність джерела виконувати роботу з розділення зарядів, називається електрорушійною силою (ЕРС). Позначають її літерою ℰ (або ε). ЕРС чисельно дорівнює роботі сторонніх сил з переміщення одиничного позитивного заряду всередині джерела:

$$ℰ = \frac{A_{\text{стор}}}{q}$$

Одиниця ЕРС — вольт (В). Важливо: ЕРС є характеристикою самого джерела, вона не залежить від того, яке зовнішнє коло під'єднано. Якщо джерело не замкнене (коло розімкнене), струм у ньому не тече, і напруга на затискачах дорівнює ЕРС. Саме тому, вимірюючи напругу на полюсах розімкненого джерела вольтметром, ми визначаємо його ЕРС.

Крім ЕРС, кожне реальне джерело має внутрішній опір r. Це опір тих частин джерела, якими проходить струм: електроліту в акумуляторі, електродів, обмоток генератора. Внутрішній опір завжди є, навіть у нового акумулятора він становить частки ома. Коли через джерело тече струм I, на внутрішньому опорі виникає падіння напруги U_r = I·r. Через це напруга на затискачах джерела під навантаженням завжди менша за ЕРС.

Повне електричне коло складається з двох частин: внутрішньої (саме джерело з ЕРС ℰ і внутрішнім опором r) і зовнішньої (резистор або будь-яке навантаження з опором R). Струм, що тече в колі, проходить і через зовнішній опір, і через внутрішній — вони з'єднані послідовно. Тому повний опір кола дорівнює R + r.

Закон Ома для повного кола пов'язує силу струму в колі з ЕРС джерела та повним опором кола. Оскільки зовнішній опір R і внутрішній опір r з'єднані послідовно, загальний опір кола дорівнює R + r. Сила струму в колі визначається за формулою:

$$I = \frac{ℰ}{R + r}$$

Це і є закон Ома для повного кола: сила струму в замкненому колі дорівнює відношенню ЕРС джерела до суми зовнішнього й внутрішнього опорів.

З цього закону випливає кілька важливих співвідношень. По-перше, ЕРС джерела можна записати як суму падінь напруги на зовнішній і внутрішній ділянках:

$$ℰ = I \cdot R + I \cdot r$$

Напруга на зовнішній ділянці кола (вона ж напруга на затискачах джерела) дорівнює:

$$U = I \cdot R = ℰ - I \cdot r$$

Величина I·r — це падіння напруги на внутрішньому опорі джерела. Саме через нього напруга на затискачах завжди менша за ЕРС, коли в колі тече струм.

Числовий приклад

Нехай джерело має ЕРС ℰ = 12 В і внутрішній опір r = 1 Ом. До нього під'єднали резистор опором R = 5 Ом. Тоді:

• сила струму в колі: I = 12 / (5 + 1) = 12 / 6 = 2 А

• напруга на резисторі (на затискачах): U = 2 · 5 = 10 В

• падіння напруги всередині джерела: U_r = 2 · 1 = 2 В

Перевірка: ℰ = U + U_r = 10 В + 2 В = 12 В. Як бачиш, напруга на навантаженні (10 В) менша за ЕРС (12 В) на величину падіння напруги на внутрішньому опорі.

Чим менший внутрішній опір джерела порівняно із зовнішнім, тим ближча напруга на навантаженні до ЕРС. В ідеального джерела r = 0, і тоді U = ℰ за будь-якого струму. У реальних джерелах, особливо хімічних (батарейках, акумуляторах), внутрішній опір зростає зі старінням, тому напруга на затискачах під навантаженням падає.

Залежно від того, який зовнішній опір під'єднано до джерела, розрізняють три характерні режими роботи.

Розімкнене коло (режим холостого ходу)

Коли зовнішнє коло розімкнене, опір зовнішньої ділянки прямує до нескінченності (R → ∞). Струм у колі відсутній (I = 0), тому падіння напруги на внутрішньому опорі дорівнює нулю (I·r = 0). Напруга на затискачах джерела в цьому режимі дорівнює ЕРС:

$$U = ℰ - I \cdot r = ℰ - 0 = ℰ$$

Саме тому, якщо під'єднати вольтметр безпосередньо до затискачів розімкненого джерела, він покаже ЕРС. Це найпростіший спосіб виміряти ЕРС джерела.

Коротке замикання

Якщо зовнішній опір зробити дуже малим (R → 0), настає режим короткого замикання. У цьому випадку струм у колі обмежений лише внутрішнім опором джерела:

$$I_{\text{кз}} = \frac{ℰ}{r}$$

Оскільки внутрішній опір реальних джерел дуже малий (для акумулятора — соті або навіть тисячні частки ома), струм короткого замикання може сягати десятків або сотень ампер. Це надзвичайно небезпечно: величезний струм спричиняє швидке нагрівання проводів, джерела, може розплавити ізоляцію, спричинити пожежу. Саме тому в електричних колах обов'язково використовують запобіжники (плавкі або автоматичні), які розривають коло при перевищенні допустимого струму.

Вольт-амперна характеристика (ВАХ) джерела

Залежність напруги на затискачах джерела від сили струму, що через нього тече, називають вольт-амперною характеристикою джерела. Вона описується рівнянням:

$$U = ℰ - I \cdot r$$

Це рівняння спадної прямої. Її графік дає змогу визначити ключові параметри джерела:

• перетин з віссю напруги (U) — це ЕРС джерела ℰ (при I = 0)

• перетин з віссю струму (I) — це струм короткого замикання I_кз (при U = 0)

• модуль нахилу прямої дорівнює внутрішньому опору r

На практиці ЕРС і внутрішній опір джерела часто невідомі, але їх можна визначити експериментально. Для цього достатньо провести два вимірювання за різних зовнішніх опорів.

Метод двох вимірювань струму

Нехай при під'єднанні резистора опором R₁ амперметр показує силу струму I₁, а при резисторі R₂ — силу струму I₂. Для обох випадків закон Ома для повного кола дає:

$$ℰ = I_1(R_1 + r)$$

$$ℰ = I_2(R_2 + r)$$

Прирівнюємо праві частини:

$$I_1(R_1 + r) = I_2(R_2 + r)$$

Розкриваємо дужки:

$$I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$$

Групуємо члени з r:

$$I_1 r - I_2 r = I_2 R_2 - I_1 R_1$$

$$r(I_1 - I_2) = I_2 R_2 - I_1 R_1$$

Звідси внутрішній опір:

$$r = \frac{I_1 R_1 - I_2 R_2}{I_2 - I_1}$$

Після знаходження r ЕРС обчислюють за будь-яким із рівнянь: ℰ = I₁(R₁ + r) або ℰ = I₂(R₂ + r).

Числовий приклад

Умова: при зовнішньому опорі R₁ = 2 Ом сила струму I₁ = 2 А; при R₂ = 5 Ом сила струму I₂ = 1 А. Знайти внутрішній опір та ЕРС джерела.

Підставляємо у формулу для r:

$$r = \frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 5}{1 - 2} = \frac{4 - 5}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1\ \text{Ом}$$

Тепер обчислюємо ЕРС:

$$ℰ = I_1(R_1 + r) = 2 \cdot (2 + 1) = 6\ \text{В}$$

Перевірка за другим вимірюванням: ℰ = 1 · (5 + 1) = 6 В. Збігається.

Метод двох вимірювань напруги

Якщо відомі напруги на затискачах U₁ і U₂ при струмах I₁ і I₂, внутрішній опір можна знайти простіше. Оскільки U = ℰ − I·r, то:

$$U_1 = ℰ - I_1 r$$

$$U_2 = ℰ - I_2 r$$

Віднімаємо друге рівняння від першого:

$$U_1 - U_2 = (ℰ - I_1 r) - (ℰ - I_2 r) = -I_1 r + I_2 r = r(I_2 - I_1)$$

Звідси:

$$r = \frac{U_1 - U_2}{I_2 - I_1}$$

Пам'ятай: ℰ завжди більша за напругу на затискачах U за будь-якого струму I > 0. Вона збігається з U лише в розімкненому колі (I = 0). Це природно, адже саме внутрішній опір «забирає» частину напруги.

Розгляньмо типові задачі, які можуть трапитися на НМТ. Кожну розв'яжемо покроково.

Приклад 1. Напруга на затискачах джерела

Джерело струму має ЕРС 12 В і внутрішній опір 1 Ом. До нього під'єднали резистор опором 5 Ом. Визнач напругу на затискачах джерела (у вольтах).

Розв'язання. За законом Ома для повного кола сила струму:

$$I = \frac{ℰ}{R + r} = \frac{12}{5 + 1} = \frac{12}{6} = 2\ \text{А}$$

Напруга на затискачах (на зовнішньому резисторі):

$$U = I \cdot R = 2 \cdot 5 = 10\ \text{В}$$

Або через ЕРС: U = ℰ − I·r = 12 − 2·1 = 10 В.

Відповідь: 10 В.

Типова помилка: учень записує U = ℰ = 12 В, забуваючи про падіння напруги на внутрішньому опорі. Або обчислює струм як I = ℰ / R = 12 / 5 = 2,4 А, ігноруючи r.

Приклад 2. Струм короткого замикання

Джерело з ЕРС 9 В дає струм короткого замикання 18 А. Знайди внутрішній опір джерела (в омах).

Розв'язання. У режимі короткого замикання зовнішній опір R = 0, тому:

$$I_{\text{кз}} = \frac{ℰ}{r}$$

Звідси:

$$r = \frac{ℰ}{I_{\text{кз}}} = \frac{9}{18} = 0{,}5\ \text{Ом}$$

Відповідь: 0,5 Ом.

Типова помилка: учень перевертає дріб і обчислює r = I_кз / ℰ = 18 / 9 = 2 (замість 0,5 Ом), або записує I_кз = ℰ / R, що не має сенсу, бо при КЗ R = 0.

Приклад 3. Визначення внутрішнього опору за двома вимірюваннями

При зовнішньому опорі R₁ = 2 Ом сила струму в колі I₁ = 2 А, а при R₂ = 5 Ом сила струму I₂ = 1 А. Знайди внутрішній опір джерела (в омах).

Розв'язання. Складаємо систему рівнянь:

$$ℰ = I_1(R_1 + r) = 2(2 + r)$$

$$ℰ = I_2(R_2 + r) = 1(5 + r)$$

Прирівнюємо: 2(2 + r) = 1(5 + r). Розкриваємо дужки: 4 + 2r = 5 + r. Звідси 2r − r = 5 − 4, тобто r = 1 Ом.

Можна скористатися готовою формулою:

$$r = \frac{I_1 R_1 - I_2 R_2}{I_2 - I_1} = \frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 5}{1 - 2} = \frac{4 - 5}{-1} = 1\ \text{Ом}$$

Відповідь: 1 Ом.

Типова помилка: неправильне віднімання в знаменнику, що дає від'ємний опір. Перевіряй порядок: у знаменнику I₂ − I₁.

Приклад 4. Якісна залежність напруги від опору

Як змінюється напруга на затискачах джерела, якщо зовнішній опір R зменшувати?

Розв'язання. Напруга на затискачах: U = ℰ − I·r. Коли R зменшується, сила струму I = ℰ / (R + r) зростає. Відповідно зростає падіння напруги на внутрішньому опорі I·r. Оскільки ЕРС ℰ не змінюється, напруга U = ℰ − I·r зменшується.

Відповідь: напруга на затискачах зменшується, бо зростає падіння напруги на внутрішньому опорі.

Типова помилка: учень вважає, що напруга на затискачах завжди дорівнює ЕРС, і не враховує внутрішнього опору. Насправді U = ℰ лише в розімкненому колі (I = 0).

• Забувати про внутрішній опір джерела в законі Ома для повного кола. На НМТ у завданні на повне коло обов'язково треба додавати r до R у знаменнику: I = ℰ / (R + r), а не I = ℰ / R.

• Вважати, що напруга на затискачах завжди дорівнює ЕРС. Насправді U = ℰ − I·r, тому U < ℰ за будь-якого струму I > 0. Рівність U = ℰ виконується лише в розімкненому колі.

• Плутати ЕРС і напругу. ЕРС — це робота сторонніх сил на одиницю заряду всередині джерела, а напруга на затискачах — це різниця потенціалів на зовнішніх полюсах джерела. Вони збігаються лише за відсутності струму.

• У системі двох рівнянь неправильно віднімати й отримувати від'ємний внутрішній опір. Формула r = (I₁R₁ − I₂R₂) / (I₂ − I₁). Якщо I₂ < I₁, знаменник від'ємний — це нормально, результат має бути додатним. Перевіряй обчислення.

• Вважати, що струм короткого замикання I_кз = ℰ / R, а не ℰ / r. При короткому замиканні зовнішній опір R = 0, тому струм обмежений лише внутрішнім опором: I_кз = ℰ / r.

Тема «ЕРС і закон Ома для повного кола» входить до розділу 3.2 програми НМТ з фізики. Довідкові матеріали, які надають на тестуванні, містять формули закону Ома для повного кола та ЕРС, тому їх не треба запам'ятовувати — важливо вміти ними користуватися.

У демоваріанті 2026 року завдання № 8 (тема 3.2) перевіряло, як зміна опору провідника впливає на теплову дію струму за сталої ЕРС (якісне завдання «як зміниться»). Це означає, що задачі на закон Ома для повного кола можуть комбінуватися з іншими темами — наприклад, із послідовним або паралельним з'єднанням провідників.

Формат завдань:

• Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22 у тесті). Ти отримуєш 0 або 2 бали за кожне. Відповідь — число в указаній одиниці (вольти, ампери, оми). Якщо задача на два вимірювання, доведеться розв'язувати систему двох рівнянь.

• Завдання з вибором однієї правильної відповіді (одна з чотирьох, 1 бал). Тут можуть перевіряти якісне розуміння: як змінюється напруга на затискачах при зміні зовнішнього опору, що показує вольтметр на розімкненому джерелі, чи небезпечне коротке замикання.

Стратегія: уважно читай умову — чи дано ЕРС, чи треба її знайти. Не забувай про внутрішній опір. Якщо в задачі два режими (два різних R або два різних струми), складай систему рівнянь і розв'язуй її. Перевіряй, чи отриманий опір додатний.

• Закон Ома для повного кола: I = ℰ / (R + r). Сила струму дорівнює ЕРС, поділеній на суму зовнішнього й внутрішнього опорів.

• Напруга на затискачах джерела: U = ℰ − I·r. Вона завжди менша за ЕРС, коли в колі тече струм.

• Розімкнене коло (I = 0): напруга на затискачах дорівнює ЕРС. Вольтметр на розімкненому джерелі показує ЕРС.

• Коротке замикання (R = 0): струм I_кз = ℰ / r. Величезний струм — небезпека перегрівання й пожежі.

• Вольт-амперна характеристика джерела U = ℰ − I·r — спадна пряма. Перетин з віссю U дає ℰ, з віссю I — I_кз, модуль нахилу дорівнює r.

• ЕРС і внутрішній опір знаходять із двох вимірювань: r = (I₁R₁ − I₂R₂) / (I₂ − I₁), потім ℰ = I₁(R₁ + r).