Закон всесвітнього тяжіння і сила тяжіння

Усі тіла у Всесвіті притягуються одне до одного. Це твердження — суть закону всесвітнього тяжіння, відкритого Ісааком Ньютоном у XVII столітті. Ньютон узагальнив спостереження за рухом Місяця, планет і падінням яблука, дійшовши висновку, що сила, яка змушує яблуко падати, і сила, яка втримує Місяць на орбіті навколо Землі, мають одну природу — гравітацію.

Формулювання закону

Два тіла притягуються одне до одного із силою, прямо пропорційною добутку їхніх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

де F — модуль сили гравітаційного притягання (Н), m₁ і m₂ — маси тіл (кг), r — відстань між центрами мас тіл (м), G — гравітаційна стала.

Межі застосування

Закон всесвітнього тяжіння в наведеному вигляді справедливий для:

• матеріальних точок — тіл, розмірами яких можна знехтувати порівняно з відстанню між ними;

• однорідних куль (або куль із сферично-симетричним розподілом маси) — тоді r — відстань між центрами куль;

• кулястого тіла й маленького тіла поблизу його поверхні — наприклад, Землі та тіла на її поверхні.

Якщо тіла мають неправильну форму й перебувають на малих відстанях, закон у простій формі F = Gm₁m₂/r² не застосовують — потрібно розбивати тіла на елементарні маси й підсумовувати сили.

Властивості гравітаційних сил

• Гравітаційні сили — завжди сили притягання (на відміну від електричних, які можуть бути як притяганням, так і відштовхуванням).

• Сили, з якими два тіла притягують одне одного, рівні за модулем і протилежні за напрямком — це вияв третього закону Ньютона: F₁₂ = F₂₁.

Гравітаційна стала

Гравітаційна стала G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м²/кг² — фундаментальна фізична стала. Вона чисельно дорівнює силі притягання двох тіл масою по 1 кг, розташованих на відстані 1 м одне від одного. Через надзвичайно мале значення G гравітаційне притягання між побутовими тілами непомітне. Наприклад, двоє людей масою по 60 кг на відстані 1 м притягуються із силою:

$$F=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{60\cdot 60}{1^2}\approx 2,4\cdot 10^{-7}\text{Н}$$

Це приблизно в 2,5 мільярда разів менше за вагу однієї людини, тому ми не помічаємо такого притягання.

Пропорційні міркування

Оскільки сила обернено пропорційна квадрату відстані, зміна відстані сильно впливає на силу:

Ці міркування — основа для задач, де питають «у скільки разів зміниться сила». Жодних обчислень не потрібно: достатньо застосувати пропорційність.

У 1798 році англійський фізик Генрі Кавендиш уперше виміряв гравітаційне притягання тіл у лабораторії за допомогою крутильних терезів. Його дослід став одним із найважливіших експериментів у фізиці, оскільки дозволив визначити гравітаційну сталу G, а через неї — масу Землі.

Будова крутильних терезів

Прилад складався з легкого коромисла, підвішеного на тонкій пружній нитці. На кінцях коромисла були закріплені дві маленькі свинцеві кульки. До цих кульок збоку підносили дві великі свинцеві кулі.

Під дією гравітаційного притягання між маленькими й великими кулями коромисло починало повертатися, закручуючи пружну нитку. За кутом закручування нитки, знаючи її пружні властивості, можна було визначити силу притягання між кулями.

Визначення гравітаційної сталої

Знаючи маси куль, відстань між їхніми центрами й виміряну силу притягання, Кавендиш обчислив значення гравітаційної сталої:

$$G=\frac{F{r}^2}{m_1{m}_2}\approx 6,67\cdot 10^{-11}\frac{\text{Н}\cdot {\text{м}}^2}{{\text{кг}}^2}$$

«Зважування Землі»

Найважливіший наслідок досліду Кавендиша — можливість обчислити масу Землі. Якщо прирівняти силу тяжіння, що діє на тіло масою m на поверхні Землі, до гравітаційної сили за законом всесвітнього тяжіння:

$$mg=G\frac{Mm}{R^2}$$

звідки маса Землі:

$$M=\frac{g{R}^2}{G}\approx \frac{9,8\cdot (6,4\cdot 10^6{)}^2}{6,67\cdot 10^{-11}}\approx 6\cdot 10^{24}\text{кг}$$

Саме тому дослід Кавендиша часто називають «зважуванням Землі» — уперше вдалося точно визначити масу нашої планети, не піднімаючи її на терези.

Сила тяжіння — це сила, з якою Земля (або інша планета) притягує тіло. Вона напрямлена до центра планети й прикладена до самого тіла. Поблизу поверхні Землі силу тяжіння обчислюють за формулою Fт = mg, де g — прискорення вільного падіння.

Зв'язок сили тяжіння із законом всесвітнього тяжіння

Сила тяжіння — це окремий випадок гравітаційної сили. Якщо тіло масою m перебуває на поверхні Землі масою M і радіусом R, то:

$$mg=G\frac{Mm}{R^2}$$

Скорочуючи на m, отримуємо формулу для прискорення вільного падіння на поверхні планети:

$$g=\frac{GM}{R^2}$$

Зверни увагу: прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла. Саме тому всі тіла поблизу поверхні Землі падають з однаковим прискоренням g ≈ 9,8 м/с² (R ≈ 6400 км, M ≈ 6 · 10²⁴ кг).

Прискорення вільного падіння на висоті h

Якщо тіло перебуває на висоті h над поверхнею планети, відстань від центра планети становить R + h. Тоді:

$$g_h=\frac{GM}{(R+h{)}^2}=g_0\frac{R^2}{(R+h{)}^2}$$

де g₀ — прискорення вільного падіння на поверхні. Відстань завжди вимірюють від центра планети, а не від поверхні!

На висоті h = R (тобто на відстані 2R від центра) сила тяжіння зменшується в 4 рази, а g = g₀/4. На висоті h = 2R (відстань 3R) — у 9 разів менша.

Висота, на якій сила тяжіння менша в n разів

Якщо сила тяжіння на висоті h менша, ніж на поверхні, у n разів, то:

$$\frac{R+h}{R}=\sqrt{n}\Rightarrow h=R(\sqrt{n}-1)$$

Наприклад, для n = 4: h = R(√4 − 1) = R(2 − 1) = R ≈ 6400 км. Для n = 9: h = R(√9 − 1) = R(3 − 1) = 2R ≈ 12800 км.

Прискорення вільного падіння на іншій планеті

Щоб знайти прискорення вільного падіння на іншій планеті, порівнюють її масу й радіус із земними:

$$g_{\text{пл}}=g_{\text{З}}\cdot \frac{M_{\text{пл}}}{M_{\text{З}}}\cdot {\left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{пл}}}\right)}^2$$

Наприклад, якщо маса планети вдвічі більша за земну, а радіус також удвічі більший, то gпл = gЗ · 2 · (1/2)² = gЗ · 2 · 1/4 = gЗ/2 — прискорення вдвічі менше, ніж на Землі.

Чи змінюється g на невеликих висотах?

На висоті кількох кілометрів (гори, літак) прискорення вільного падіння майже не змінюється, бо h значно менше за радіус Землі R ≈ 6400 км. Наприклад, на висоті 10 км g зменшується лише на 0,3 %.

Розгляньмо типові задачі на закон всесвітнього тяжіння та силу тяжіння, які трапляються в НМТ.

Приклад 1. Зміна сили притягання з відстанню

Завдання: Як зміниться сила гравітаційного притягання між двома однорідними кулями, якщо відстань між їхніми центрами збільшити втричі?

Розв'язання: Згідно із законом всесвітнього тяжіння, сила обернено пропорційна квадрату відстані: F ∝ 1/r². Якщо r збільшити в 3 рази, то r² збільшиться в 9 разів, отже, сила зменшиться в 9 разів.

Відповідь: зменшиться в 9 разів.

Чому інші варіанти неправильні:

• «зменшиться в 3 рази» — помилка: забули піднести до квадрата;

• «збільшиться в 9 разів» — помилка: переплутали напрям зміни (сила зменшується, а не зростає);

• «зменшиться в √3 раза» — помилка: застосували корінь замість квадрата.

Приклад 2. Висота, на якій сила тяжіння менша в 9 разів

Завдання: На якій висоті над поверхнею Землі (у км) сила тяжіння, що діє на тіло, у 9 разів менша, ніж на поверхні? Радіус Землі 6400 км.

Розв'язання: Сила тяжіння на висоті h: F = GMm/(R + h)². На поверхні: F₀ = GMm/R². За умовою F₀/F = 9, тобто (R + h)²/R² = 9. Звідси (R + h)/R = √9 = 3, отже R + h = 3R, h = 2R = 2 · 6400 = 12800 км.

Відповідь: 12800 км.

Приклад 3. Прискорення вільного падіння на іншій планеті

Завдання: Маса планети в 4 рази більша за масу Землі, а радіус — удвічі більший. Знайди прискорення вільного падіння на її поверхні в м/с², якщо на Землі g = 10 м/с².

Розв'язання: Використаємо формулу gпл = gЗ · (Mпл/MЗ) · (RЗ/Rпл)². Підставляємо: Mпл/MЗ = 4, Rпл/RЗ = 2, отже RЗ/Rпл = 1/2. Тоді gпл = 10 · 4 · (1/2)² = 10 · 4 · 1/4 = 10 м/с².

Відповідь: 10 м/с².

Приклад 4. Прискорення вільного падіння на висоті R

Завдання: Чому дорівнює прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює радіусу Землі, якщо на поверхні g₀ = 10 м/с²?

Розв'язання: На висоті h = R відстань від центра Землі становить R + h = 2R. Тоді g = g₀ · R²/(2R)² = g₀ · R²/(4R²) = g₀/4 = 10/4 = 2,5 м/с².

Відповідь: 2,5 м/с².

Чому інші варіанти неправильні:

• «5 м/с²» — помилка: забули піднести до квадрата (взяли R/(2R) = 1/2 замість (R/(2R))² = 1/4);

• «10 м/с²» — помилка: вважають, що g не залежить від висоти;

• «0» — помилка: вважають, що на висоті тяжіння зникає.

Приклад 5. Сила притягання двох куль

Завдання: Дві однакові кулі масою по 100 кг розташовані на відстані 1 м між центрами. Гравітаційна стала G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м²/кг². Знайди силу притягання в мікроньютонах, округливши до десятих.

Розв'язання: F = G · m₁m₂/r² = 6,67 · 10⁻¹¹ · 100 · 100 / 1² = 6,67 · 10⁻¹¹ · 10⁴ = 6,67 · 10⁻⁷ Н. Переводимо в мікроньютони: 1 мкН = 10⁻⁶ Н, тому F = 6,67 · 10⁻⁷ / 10⁻⁶ = 0,667 мкН ≈ 0,7 мкН.

Відповідь: 0,7 мкН.

• Забувати підносити до квадрата відношення відстаней. Якщо відстань збільшили в 3 рази, сила зменшується в 3² = 9 разів, а не в 3 рази.

• Вимірювати відстань від поверхні планети, а не від центра. На висоті h відстань між центрами дорівнює R + h, а не просто h.

• Вважати, що прискорення вільного падіння залежить від маси тіла. Насправді g = GM/R² — залежить тільки від маси й радіуса планети.

• Вважати, що на великій висоті чи на орбіті сила тяжіння дорівнює нулю. На орбіті сила тяжіння діє, але космонавти перебувають у стані невагомості через вільне падіння.

• Плутати гравітаційну сталу G (≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м²/кг²) з прискоренням вільного падіння g (≈ 9,8 м/с²). Це різні величини.

• Застосовувати F = Gm₁m₂/r² до тіл неправильної форми на малих відстанях. Закон справедливий для матеріальних точок і однорідних куль.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 є закон всесвітнього тяжіння й сила тяжіння. Формули прискорення вільного падіння на висоті в довідці немає — її виводять з рівності mg = GMm/(R + h)².

Таблиці фізичних сталих у довідці немає: G, радіус і масу планети дають в умові завдання.

Програма НМТ (тема 1.2) включає гравітаційні сили, закон всесвітнього тяжіння, силу тяжіння. Вимоги — застосовувати закон всесвітнього тяжіння й пояснювати дослід Кавендиша.

Форми завдань:

• «У скільки разів зміниться сила» — вибір однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14, 1 бал);

• Висота чи g на планеті — коротка відповідь (№ 17–22, 0 або 2 бали).

• F = Gm₁m₂/r², r — відстань між центрами; G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м²/кг²

• Сила обернено пропорційна r²: відстань утричі більша — сила в 9 разів менша

• g = GM/R²; на висоті h: g = GM/(R + h)²; при h = R — учетверо менше

• g не залежить від маси тіла

• Гравітаційну взаємодію виміряв Кавендиш крутильними терезами