Взаємозв’язок маси та енергії

Найвідоміше рівняння фізики — E₀ = mc² — стверджує, що будь-яке тіло, навіть нерухоме, має енергію, пропорційну його масі. Коефіцієнт пропорційності — квадрат швидкості світла у вакуумі c² ≈ 9·10¹⁶ м²/с². Це величезне число: маса всього 1 кг відповідає енергії 9·10¹⁶ Дж. Такої енергії вистачило б, аби забезпечувати електроенергією велике місто протягом багатьох років.

Маса тіла — це міра його енергії. Коли ти бачиш масу спокою m у кілограмах, то можеш одразу обчислити енергію спокою E₀ в джоулях за формулою:

$$E_0=m{c}^2$$

Наприклад, енергія спокою 1 г речовини:

$$E_0=10^{-3}\text{кг}\cdot 9\cdot 10^{16}{\text{м}}^2/{\text{с}}^2=9\cdot 10^{13}\text{Дж}$$

Це приблизно стільки, скільки виробляє велика теплова електростанція за кілька годин безперервної роботи. Саме тому ядерні реакції, у яких виділяється навіть невелика частка цієї енергії, дають колосальну потужність.

Електронвольт — зручна одиниця енергії в мікросвіті

У фізиці елементарних частинок і ядерних реакцій джоуль — надто велика одиниця. Тому використовують електронвольт (еВ): це енергія, яку набуває заряд e (елементарний електричний заряд), пройшовши різницю потенціалів 1 В.

$$1\text{еВ}=1,6\cdot 10^{-19}\text{Дж}$$

Похідні одиниці:

• 1 кеВ (кілоелектронвольт) = 10³ еВ

• 1 МеВ (мегаелектронвольт) = 10⁶ еВ = 1,6·10⁻¹³ Дж

• 1 ГеВ (гігаелектронвольт) = 10⁹ еВ

Особливо важливе співвідношення для атомної фізики: одна атомна одиниця маси (1 а. о. м. ≈ 1,66·10⁻²⁷ кг) відповідає енергії приблизно 931,5 МеВ. Це число ти побачиш у задачах на дефект мас та енергію зв'язку ядра — воно дає змогу переходити від маси ядерних частинок до енергії без проміжного обчислення в джоулях.

З рівняння Ейнштейна випливає фундаментальний висновок: будь-яка зміна енергії тіла супроводжується зміною його маси. Якщо енергія тіла зросла на ΔE, то його маса зросла на Δm = ΔE / c². І навпаки: втрата енергії означає втрату маси.

$$\Delta E=\Delta m\cdot c^2$$

Це стосується всіх процесів — не лише ядерних. Нагріте тіло має трохи більшу масу, ніж холодне, адже його внутрішня енергія зросла. Стиснута пружина має більшу масу, ніж нестиснута, бо в ній запасена потенціальна енергія пружної деформації. Однак у побутових процесах ця зміна маси настільки мізерна, що її неможливо виміряти жодними приладами.

Чому в побуті зміна маси непомітна

Розгляньмо 1 кг води, яку нагрівають від 0 °C до 100 °C. Щоб нагріти воду, їй передають енергію:

$$Q=mc\Delta t=1\text{кг}\cdot 4200\text{Дж/(кг⋅°C)}\cdot 100°\text{C}=4,2\cdot 10^5\text{Дж}$$

Зміна маси:

$$\Delta m=\frac{\Delta E}{c^2}=\frac{4,2\cdot 10^5\text{Дж}}{9\cdot 10^{16}{\text{м}}^2/{\text{с}}^2}\approx 4,7\cdot 10^{-12}\text{кг}$$

Це приблизно 5 нанограмів — у сотні мільярдів разів менше за 1 кг. Саме тому ми не помічаємо, що нагріті речі «важчають».

Де зміна маси вимірна: ядерні реакції та Сонце

У ядерних реакціях виділяється або поглинається величезна енергія, тому зміна маси стає вимірною. Класичний приклад — Сонце. Щомиті наша зоря випромінює колосальну потужність:

$$P\approx 3,8\cdot 10^{26}\text{Вт}$$

За час t = 1 с Сонце випромінює енергію ΔE = P·t = 3,8·10²⁶ Дж. Відповідна втрата маси:

$$\Delta m=\frac{P\cdot t}{c^2}=\frac{3,8\cdot 10^{26}\text{Дж}}{9\cdot 10^{16}{\text{м}}^2/{\text{с}}^2}\approx 4,2\cdot 10^9\text{кг}$$

Понад 4 мільйони тонн щосекунди! Однак за мільярди років існування Сонця його маса зменшилася лише на частку відсотка від початкової, тому цей процес триває стабільно.

Алгоритм розв'язування задач на ΔE = Δm·c²

1. Визнач, яка зміна енергії відбулася: ΔE (у джоулях). Якщо дано потужність P і час t, то ΔE = P·t.

2. Запиши формулу Δm = ΔE / c².

3. Підстав c² ≈ 9·10¹⁶ м²/с² (або точне значення 8,98755·10¹⁶, якщо дано в умові).

4. Обчисли Δm у кілограмах.

5. Якщо в умові просять відповідь в інших одиницях (грами, міліграми), виконай перетворення.

Важливо: формула ΔE = Δm·c² працює в обидва боки — якщо тіло втрачає енергію, його маса зменшується; якщо тіло отримує енергію, його маса зростає.

Коли тіло рухається зі швидкістю v, його повна енергія E більша за енергію спокою. У спеціальній теорії відносності повна енергія тіла з масою спокою m визначається за формулою:

$$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Ця формула є в довідкових матеріалах НМТ. Тут m — маса спокою тіла (інваріантна величина, яка не залежить від швидкості). Знаменник √(1 − v²/c²), який називають релятивістським множником, завжди менший за одиницю, тому повна енергія завжди більша за енергію спокою. Коли швидкість наближається до c, знаменник прямує до нуля, а повна енергія — до нескінченності. Саме тому жодне тіло з масою спокою не може досягти швидкості світла: для цього знадобилася б нескінченна енергія.

Кінетична енергія релятивістського тіла

Кінетична енергія Eк — це частина повної енергії, яка пов'язана з рухом. Її знаходять як різницю між повною енергією та енергією спокою:

$$E_{\text{к}}=E-m{c}^2=m{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)$$

Для малих швидкостей (v ≪ c) можна скористатися наближеним розкладом:

$$E_{\text{к}}\approx \frac{m{v}^2}{2}$$

Це збігається з класичною формулою кінетичної енергії. Отже, звична тобі mv²/2 — це наближення релятивістської формули, яке чудово працює для швидкостей, набагато менших за швидкість світла (автомобілі, літаки, навіть космічні ракети).

Відношення повної енергії до енергії спокою

Відношення E / E₀ залежить лише від відношення швидкості тіла до швидкості світла:

$$\frac{E}{E_0}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

Розгляньмо кілька значень:

Як бачиш, навіть за v = 0,6c повна енергія частинки в 1,25 раза більша за енергію спокою. А за v = 0,99c вона більша вже в 7 разів. Це пояснює, чому прискорювачі частинок потребують величезної енергії для розгону частинок до швидкостей, близьких до c.

Приклад 1. Зміна маси в ядерному реакторі

У ядерному реакторі за певний час виділилося 1,8·10¹³ Дж енергії. На скільки грамів зменшилася сумарна маса речовини в реакторі?

Розв'язання:

1. Записуємо зміну енергії: ΔE = 1,8·10¹³ Дж.

2. Використовуємо формулу Δm = ΔE / c².

3. c² ≈ 9·10¹⁶ м²/с², тому Δm = 1,8·10¹³ / (9·10¹⁶) = 2·10⁻⁴ кг.

4. Переводимо в грами: 2·10⁻⁴ кг = 0,2 г.

Відповідь: 0,2 г.

Типова помилка: забути поділити на c² і просто записати Δm = 1,8·10¹³ кг, що дало б абсурдний результат. Інша помилка — не перевести кілограми в грами, залишивши відповідь 2·10⁻⁴ кг замість 0,2 г.

Приклад 2. У скільки разів повна енергія більша за енергію спокою?

Частинка рухається зі швидкістю 0,6c. У скільки разів її повна енергія більша за енергію спокою?

Розв'язання:

1. Відношення E / E₀ = 1 / √(1 − v²/c²).

2. v/c = 0,6, тому v²/c² = 0,36.

3. 1 − v²/c² = 1 − 0,36 = 0,64.

4. √0,64 = 0,8.

5. E / E₀ = 1 / 0,8 = 1,25.

Відповідь: у 1,25 раза.

Типові хибні відповіді:

• 1,56 — це значення 1 / (1 − v²/c²) = 1 / 0,64 без добування кореня.

• 0,8 — це значення √(1 − v²/c²), а не обернена до нього величина.

• 0,6 — це просто v/c, без жодних обчислень.

Приклад 3. Що відбувається з тілом під час нагрівання?

Виберіть правильне твердження: коли тіло нагрівають,

• А) його енергія зростає, а маса збільшується (на мізерну величину)

• Б) його енергія зростає, а маса зменшується

• В) маса тіла не змінюється за жодних умов

• Г) швидкість світла в тілі зростає

Розв'язання: Згідно з формулою ΔE = Δm·c², будь-яке збільшення енергії тіла супроводжується збільшенням його маси. Нагрівання передає тілу теплову енергію, тому його внутрішня енергія зростає, а отже, маса теж зростає. Однак через величезне значення c² ця зміна маси настільки мала, що її неможливо виявити звичайними терезами.

Відповідь: А.

Чому інші варіанти неправильні:

• Б — маса не зменшується, а збільшується, оскільки тіло отримує енергію.

• В — маса змінюється завжди, коли змінюється енергія; це фундаментальний закон.

• Г — швидкість світла у вакуумі є фундаментальною сталою і не залежить від температури тіла.

Приклад 4. Енергія спокою частинки

Обчисліть енергію спокою частинки, маса якої дорівнює 2·10⁻²⁷ кг. Відповідь запишіть у 10⁻¹⁰ Дж, округливши до десятих.

Розв'язання:

1. Формула: E₀ = mc².

2. m = 2·10⁻²⁷ кг, c² ≈ 9·10¹⁶ м²/с².

3. E₀ = 2·10⁻²⁷ · 9·10¹⁶ = 18·10⁻¹¹ = 1,8·10⁻¹⁰ Дж.

4. Відповідь у 10⁻¹⁰ Дж: 1,8.

Відповідь: 1,8.

Типова помилка: забути піднести c до квадрата й обчислити E₀ = m·c = 2·10⁻²⁷ · 3·10⁸ = 6·10⁻¹⁹ Дж. Це дало б хибний результат 6·10⁻¹⁹, що в 3·10⁸ разів менше за правильний.

• Не підносити c до квадрата й отримувати замість енергії добуток mc. Запам'ятай: у формулі Ейнштейна фігурує c², а не c. Якщо забути квадрат, результат буде в 3·10⁸ разів меншим.

• Змішувати МеВ і джоулі, забуваючи, що 1 МеВ = 1,6·10⁻¹³ Дж. Коли в задачі дано енергію в МеВ, спершу переведи її в джоулі, а вже потім підставляй у формулу Δm = ΔE / c².

• Плутати повну енергію E з кінетичною Eк. Кінетична енергія — це різниця між повною енергією та енергією спокою: Eк = E − mc². Не плутай: повна енергія завжди більша за енергію спокою, а кінетична — це лише «надлишок» над нею.

• Вважати, що маса тіла зменшується, коли тіло нагрівають. Навпаки: нагріте тіло отримує додаткову енергію, тому його маса зростає (хоча й на мізерну величину).

• Застосовувати mv²/2 для швидкостей, порівнянних із c. Класична формула кінетичної енергії працює лише за v ≪ c. Для релятивістських швидкостей (v > 0,1c) слід використовувати повну релятивістську формулу.

• Залишати відповідь у грамах, коли просять кілограми, або навпаки. Уважно читай умову: якщо запитують «у грамах», обов'язково переведи кілограми в грами (помнож на 1000).

Пам'ятай: у таких задачах легко втратити бал через неуважність до одиниць вимірювання та пропущений квадрат швидкості світла.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 13 (тема 5.1) перевіряє взаємозв'язок маси й енергії та потужність випромінювання. Це завдання з вибором однієї відповіді з чотирьох, яке оцінюється в 0 або 1 бал.

Формули, які знадобляться:

• E₀ = mc² — енергія спокою

• E = mc²/√(1 − v²/c²) — повна енергія тіла, що рухається

• ΔE = Δm·c² — зв'язок зміни енергії та зміни маси

Усі ці формули є в довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні. Сталі величини — швидкість світла c, елементарний електричний заряд e, атомна одиниця маси — наводять в умові завдання, тому їх не треба запам'ятовувати.

Розрахункові завдання з короткою відповіддю (номери 17–22) оцінюються в 0 або 2 бали. Відповідь записують цілим числом або десятковим дробом з одиницею, указаною в умові. Наприклад, якщо в умові сказано «відповідь запишіть у грамах», то число має бути саме в грамах.

Стратегія розв'язування

1. Спершу з'ясуй, що саме просять знайти: енергію спокою, повну енергію, кінетичну енергію чи зміну маси.

2. Визнач, у яких одиницях має бути відповідь (джоулі, електронвольти, кілограми, грами тощо).

3. Вийми з довідки потрібну формулу та підстав відомі величини.

4. Перевір, чи не забув поділити на c² (якщо шукаєш Δm) або помножити на c² (якщо шукаєш E₀).

5. Запиши відповідь у потрібних одиницях, округливши, якщо це зазначено в умові.

• E₀ = mc² — енергія спокою; маса є мірою енергії.

• ΔE = Δm·c²: будь-яка зміна енергії супроводжується зміною маси.

• Повна енергія тіла, що рухається: E = mc²/√(1 − v²/c²).

• Кінетична енергія: Eк = E − mc² = mc²(1/√(1 − v²/c²) − 1).

• За v ≪ c кінетична енергія переходить у класичну формулу mv²/2.

• 1 а. о. м. ≈ 931,5 МеВ; 1 еВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж; 1 МеВ = 1,6·10⁻¹³ Дж.

• Жодне тіло з масою спокою не може досягти швидкості світла — для цього потрібна нескінченна енергія.