Вимушені коливання і резонанс

Коливання, які ти вже вивчив (гармонічні коливання пружинного й нитяного маятників), — це ідеалізована модель. У реальному світі на будь-яке тіло, що коливається, діють сили тертя й опору середовища. Тому справжні коливання майже завжди відрізняються від ідеальних. Щоб зрозуміти цю різницю, розрізняють три типи коливань: вільні, згасаючі й вимушені.

Вільні коливання

Вільними називають коливання, які відбуваються без зовнішньої періодичної дії, лише за рахунок початкового запасу енергії. Система, виведена з рівноваги й надана сама собі, коливається зі своєю власною частотою ν₀. Для пружинного маятника ν₀ = (1/2π)√(k/m), для нитяного — ν₀ = (1/2π)√(g/l). У вакуумі без тертя вільні коливання були б незгасаючими й тривали б вічно. Однак у реальності таких умов немає.

Згасаючі коливання

Згасаючі коливання — це реальні вільні коливання, на які впливають сили тертя (в'язке тертя в рідині або газі, сухе тертя в точках підвісу). Через тертя механічна енергія поступово перетворюється на внутрішню (тепло), тому амплітуда з кожним періодом зменшується. Частота згасаючих коливань дуже близька до власної частоти ν₀, але не дорівнює їй точно — за сильного тертя вона трохи менша. На графіку залежності координати від часу x(t) згасаючі коливання виглядають як «хвиля» зі спадною висотою: амплітуда поступово зменшується, аж до повної зупинки.

Вимушені коливання

Вимушені коливання відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили — вимушувальної сили. Наприклад, ти розгойдуєш гойдалку, періодично підштовхуючи її; кузов автомобіля коливається, коли колеса наїжджають на нерівності дороги.

Ключова властивість вимушених коливань: після перехідного процесу (коли система «розгойдується») вони відбуваються з частотою вимушувальної сили ν, а не з власною частотою системи ν₀. Якщо ти штовхаєш гойдалку раз на 2 секунди, вона коливатиметься з періодом 2 секунди, навіть якщо її власний період — 2,5 секунди. Амплітуда вимушених коливань залежить від трьох чинників: амплітуди вимушувальної сили, величини тертя в системі та співвідношення між частотою вимушувальної сили й власною частотою системи.

Щоб коливання не згасали, до системи потрібно періодично додавати енергію. Саме це й робить вимушувальна сила. У гойдалці енергію додає людина, в автомобілі — поштовхи від нерівностей дороги. Маятник механічного годинника, що отримує енергію від заведеної пружини через анкерний механізм у такт власним коливанням, — приклад не вимушених коливань, а автоколивань.

Коли частота вимушувальної сили наближається до власної частоти системи, амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це явище називають резонансом. Воно відіграє ключову роль як у техніці, так і в природі, і його варто розуміти, щоб передбачати небезпечні ситуації або, навпаки, використовувати з користю.

Умова резонансу

Резонанс настає, коли частота вимушувальної сили ν збігається з власною частотою системи ν₀. Формально: ν ≈ ν₀. У цьому випадку вимушувальна сила діє в такт із рухом системи: вона штовхає тіло щоразу в той бік, куди воно рухається, і в той момент, коли швидкість максимальна. Тому за кожен період система отримує більше енергії, ніж втрачає через тертя. Амплітуда зростає, доки втрати енергії за період не зрівняються з надходженням енергії від вимушувальної сили.

Резонансна крива

Резонансна крива — це графік залежності амплітуди A вимушених коливань від частоти ν вимушувальної сили. Вісь абсцис — частота вимушувальної сили, вісь ординат — амплітуда коливань. Крива має чіткий максимум (пік) на частоті, що дорівнює власній частоті системи ν₀. Зліва й справа від піка амплітуда спадає.

Форма резонансної кривої залежить від тертя:

• що менше тертя в системі, то вищий і гостріший пік; за дуже малого тертя амплітуда за резонансу може в багато разів перевищувати амплітуду за інших частот

• що більше тертя, то пік нижчий і ширший (пологіший); сильне тертя може майже повністю «згладити» резонансний пік

• за відсутності тертя (ідеальний випадок) амплітуда за резонансу зростала б необмежено, але в реальних системах вона завжди обмежена втратами енергії

Власна частота системи

Власну частоту механічної коливальної системи визначають із її параметрів:

• для пружинного маятника: ν₀ = (1/2π) · √(k/m), де k — жорсткість пружини, m — маса вантажу

• для нитяного (математичного) маятника: ν₀ = (1/2π) · √(g/l), де g — прискорення вільного падіння, l — довжина нитки

Електричний резонанс (у коливальному контурі) розглядають окремо в темі змінного струму. Там власна частота визначається за формулою Томсона: ν₀ = 1/(2π√(LC)).

Резонанс — не абстрактне фізичне явище, а реальний ефект, із яким ми стикаємося щодня. В одних випадках він корисний і його спеціально використовують, в інших — шкідливий і з ним борються.

Шкідливий резонанс

Найвідоміший приклад шкідливого резонансу — розгойдування вагонів на стиках рейок. Коли колеса вагона проїжджають стик, вони отримують поштовх. Якщо ці поштовхи надходять із частотою, що збігається з власною частотою коливань вагона на ресорах, амплітуда розгойдування різко зростає — вагон може навіть зійти з рейок.

Інший небезпечний прояв — руйнування мостів і будівель. Вітер може створювати періодичні сили, які збігаються з власною частотою споруди. Ритмічний крок солдатів, які йдуть мостом «в ногу», також може спричинити резонансні коливання, здатні зруйнувати міст. Саме тому військові колони завжди переходять міст «не в ногу» — довільним кроком.

У техніці шкідливий резонанс спричиняє вібрації кузова автомобіля, деталей верстатів, лопатей турбін. Такі вібрації пришвидшують зношування й можуть призвести до поломки.

Корисний резонанс

Найпростіший приклад — гойдалка. Щоб розгойдати її якомога сильніше, ти штовхаєш її в такт із її власними коливаннями, тобто з частотою, що дорівнює власній частоті гойдалки. Це й є резонанс.

У музичних інструментах резонанс використовують для підсилення звуку. Дека гітари, корпус скрипки, резонансна труба органа — це резонатори, які коливаються в такт із коливаннями струни чи повітряного стовпа й значно збільшують гучність звуку.

У радіотехніці резонанс дає змогу налаштовувати приймач на потрібну радіостанцію. Змінюючи ємність конденсатора в коливальному контурі, змінюють його власну частоту, і коли вона збігається з частотою радіохвилі певної станції, амплітуда сигналу різко зростає — ми чуємо саме цю станцію.

Умова резонансу для вагона на рейках

Період поштовхів на стиках рейок дорівнює часу, за який вагон проїжджає одну рейку: T = L/v, де L — довжина рейки, v — швидкість вагона. Резонанс настає, коли цей період збігається з власним періодом коливань вагона на ресорах T₀. Отже, резонансна швидкість: v = L/T₀.

Числовий приклад: рейка завдовжки 20 м, власний період коливань вагона на ресорах 0,5 с. Тоді резонансна швидкість v = 20/0,5 = 40 м/с, що дорівнює 144 км/год. Якщо швидкість поїзда наближається до цього значення, вагон почне сильно розгойдуватися.

Як послабити резонанс

Щоб уникнути небезпечного резонансу, застосовують кілька способів:

• змінюють власну частоту системи (наприклад, змінюють жорсткість ресор або масу кузова)

• збільшують тертя (демпфери, амортизатори, в'язкі рідини в гасителях коливань)

• змінюють частоту зовнішньої дії (наприклад, водій змінює швидкість, щоб уникнути резонансної)

Приклад 1. Частота вимушених коливань

Завдання. Усталені вимушені коливання механічної системи відбуваються з частотою, яка:

• А) дорівнює власній частоті системи

• Б) дорівнює частоті вимушувальної сили

• В) дорівнює середньому арифметичному власної частоти й частоти вимушувальної сили

• Г) дорівнює подвоєній власній частоті системи

Розв'язання. Після завершення перехідного процесу вимушені коливання відбуваються з частотою зовнішньої періодичної сили. Система «підлаштовується» під зовнішню дію, а не під власну частоту. Власна частота визначає, за якої умови настане резонанс, але не частоту усталених коливань.

Відповідь: Б.

Чому інші варіанти неправильні:

• А — з власною частотою відбуваються вільні коливання, а не вимушені

• В — ніякого «усереднення» частот не відбувається

• Г — подвоєння власної частоти не має фізичного сенсу в цьому контексті

Приклад 2. Відповідність: ситуація — тип коливань

Завдання. Установи відповідність між ситуацією (1–3) і типом коливань або явищем (А–Д).

Варіанти для вибору (два зайві): А — вимушені коливання; Б — вільні незгасаючі коливання; В — згасаючі коливання; Г — резонанс; Д — автоколивання.

Розв'язання. Ситуація 1: гойдалка отримала один поштовх, після чого зовнішня сила перестала діяти. Коливання відбуваються за рахунок початкового запасу енергії, але через тертя амплітуда зменшується — це згасаючі коливання (В). Ситуація 2: кузов отримує періодичні поштовхи від вибоїн і коливається з частотою цих поштовхів — це вимушені коливання (А). Ситуація 3: різке зростання амплітуди через збіг частот — це резонанс (Г).

Відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г.

Приклад 3. Зміна резонансної кривої

Завдання. На графіку залежності амплітуди вимушених коливань від частоти вимушувальної сили резонансний пік став нижчим і ширшим. Що могло змінитися в системі?

• А) Зменшилося тертя

• Б) Збільшилося тертя

• В) Збільшилася амплітуда вимушувальної сили

• Г) Збільшилася власна частота системи

Розв'язання. Форма резонансної кривої залежить від тертя. Чим більше тертя, тим більше енергії втрачає система за кожен період, тому амплітуда за резонансу менша (пік нижчий). Крім того, сильне тертя «розмиває» резонанс: помітне зростання амплітуди спостерігається в ширшому діапазоні частот (пік ширший). Зменшення тертя дало б протилежний ефект — вищий і гостріший пік. Збільшення амплітуди сили підняло б увесь графік, а не лише пік. Зміна власної частоти зсунула б пік по горизонталі, а не змінила б його висоту й ширину.

Відповідь: Б.

Приклад 4. Резонансна швидкість вагона

Завдання. Вагон із власним періодом коливань на ресорах 0,8 с рухається по рейках завдовжки 16 м кожна. Визнач швидкість вагона (у метрах за секунду), за якої настає резонанс.

Розв'язання. Період поштовхів на стиках рейок: T = L/v. Резонанс настає, коли T = T₀, тобто L/v = T₀. Звідси v = L/T₀. Підставляємо: v = 16/0,8 = 20 м/с.

Відповідь: 20 м/с.

Під час вивчення теми «Вимушені коливання і резонанс» учні часто припускаються однотипних помилок. Ось найпоширеніші з них:

• Помилка: вважати, що вимушені коливання відбуваються з власною частотою системи.

• Як правильно: усталені вимушені коливання відбуваються з частотою вимушувальної сили, а не з власною частотою. Власна частота визначає лише умову резонансу.

• Помилка: вважати, що резонанс — це збіг амплітуд, а не частот.

• Як правильно: резонанс — це збіг частоти вимушувальної сили з власною частотою системи. Збіг амплітуд — наслідок, а не причина.

• Помилка: думати, що за резонансу амплітуда зростає безмежно, навіть за наявності тертя.

• Як правильно: у реальних системах завжди є тертя, яке обмежує амплітуду. Необмежене зростання можливе лише в ідеальній системі без втрат.

• Помилка: вважати резонанс завжди шкідливим.

• Як правильно: резонанс буває як шкідливим (руйнування мостів, розгойдування вагонів), так і корисним (гойдалка, музичні інструменти, радіоприймач).

• Помилка: плутати згасаючі коливання з вимушеними.

• Як правильно: згасаючі коливання відбуваються без зовнішньої періодичної сили (лише за рахунок початкової енергії), а вимушені — під дією зовнішньої періодичної сили.

Програма НМТ з фізики (тема «Механічні коливання і хвилі») передбачає знання вимушених механічних коливань і явища резонансу. Від тебе вимагають аналізувати залежність амплітуди вимушених коливань від частоти, тобто розуміти резонансну криву.

Формати завдань

Завдання на відповідність («логічні пари») — це формат, у якому до трьох ситуацій (цифри 1–3) треба дібрати три відповідні поняття з п'яти запропонованих (букви А–Д, дві букви зайві). Таке завдання оцінюють від 0 до 3 балів. Воно добре перевіряє якісне розуміння теми: чи розрізняєш ти типи коливань, чи знаєш умову резонансу.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 завдань, безпосередньо присвячених резонансу, немає. Однак тему механічних коливань представлено завданням № 10, яке перевіряє вміння читати графік залежності координати від часу x(t) для коливань. Завдання на відповідність у цьому демоваріанті (№ 15, 16) перевіряли перший закон термодинаміки для процесів на графіку p(V) і фізичну основу дії напівпровідникових приладів.

Стратегія виконання

Якщо в завданні подано резонансну криву (графік залежності амплітуди від частоти), зверни увагу на:

• положення піка — це власна частота системи ν₀

• висоту піка — чим вищий пік, тим менше тертя в системі

• ширину піка — чим ширший пік, тим більше тертя

У розрахункових завданнях на резонанс (наприклад, вагон на рейках, гойдалка) застосовуй формулу v = L/T₀ або ν = ν₀. Завжди перевіряй, чи збігаються одиниці вимірювання.

• Вільні коливання відбуваються без зовнішньої дії, з власною частотою системи ν₀. У реальності вони завжди згасаючі через тертя.

• Згасаючі коливання: частота приблизно дорівнює ν₀, амплітуда поступово зменшується до нуля.

• Вимушені коливання відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили. Їхня частота дорівнює частоті цієї сили, а не власній частоті системи.

• Резонанс — різке зростання амплітуди вимушених коливань, коли частота вимушувальної сили збігається з власною частотою системи (ν ≈ ν₀).

• Резонансна крива — графік залежності амплітуди від частоти. Її пік припадає на ν₀. Чим менше тертя, тим пік вищий і гостріший; чим більше тертя, тим пік нижчий і ширший.

• Резонанс буває корисним (гойдалка, музичні інструменти, радіоприймач) і шкідливим (розгойдування вагонів, руйнування мостів, вібрації машин).

• Щоб уникнути шкідливого резонансу, змінюють власну частоту системи, збільшують тертя або змінюють частоту зовнішньої дії.