Внутрішня енергія і способи її зміни

Кожне тіло складається з частинок — атомів чи молекул. Ці частинки безперервно й хаотично рухаються (тепловий рух), а також взаємодіють між собою. Енергія, яку має тіло завдяки цьому внутрішньому рухові й взаємодії, називається внутрішньою енергією (позначають літерою U). Її вимірюють у джоулях (Дж).

Внутрішня енергія — це сума:

• кінетичної енергії хаотичного (теплового) руху всіх частинок тіла;

• потенціальної енергії взаємодії між цими частинками.

Від чого залежить внутрішня енергія? Вона залежить від:

• температури тіла (що вища температура, то швидше рухаються частинки, а отже, більша їхня кінетична енергія);

• маси тіла (більша маса — більше частинок — більша сумарна енергія);

• роду речовини (різні молекули мають різну будову й силу взаємодії);

• агрегатного стану (у твердому тілі відстані між частинками малі й потенціальна енергія значна, у газі — частинки далеко й потенціальною енергією часто нехтують).

Важливо: внутрішня енергія не залежить від механічного руху тіла як цілого чи від його висоти над поверхнею Землі. Куля, що летить, і та сама куля, що лежить на землі, за однакової температури мають одну й ту саму внутрішню енергію. Їхня механічна енергія різна, але внутрішня — однакова.

Для ідеального газу вважають, що потенціальна енергія взаємодії молекул дорівнює нулю (молекули не взаємодіють на відстані). Тому внутрішня енергія ідеального газу — це лише сума кінетичних енергій його молекул. Вона залежить тільки від температури й кількості речовини (числа молекул).

У реальних рідин і твердих тіл внутрішня енергія залежить також від об'єму: зі збільшенням відстані між частинками змінюється їхня потенціальна енергія. Наприклад, під час плавлення температура тіла залишається сталою, а внутрішня енергія зростає — енергія витрачається на руйнування кристалічної ґратки, тобто на збільшення потенціальної енергії частинок.

Одноатомний ідеальний газ (наприклад, гелій He, неон Ne, аргон Ar) — найпростіша модель для обчислення внутрішньої енергії. Молекула такого газу складається з одного атома, тому вона може тільки поступально рухатися — обертання й коливання для окремого атома відсутні.

Внутрішня енергія одноатомного ідеального газу виражається формулами:

$$U = \frac{3}{2} N k T = \frac{3}{2} \nu R T = \frac{3}{2} p V$$

де N — кількість молекул, k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} Дж/К — стала Больцмана, ν — кількість речовини (моль), R = 8{,}31 Дж/(моль·К) — універсальна газова стала, T — абсолютна температура (К), p — тиск, V — об'єм. Коефіцієнт 3/2 походить від того, що в тривимірному просторі кожна молекула має три степені вільності поступального руху, і на кожну припадає в середньому kT/2 енергії.

Зміна внутрішньої енергії

Оскільки внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від температури, її зміна визначається лише зміною температури:

$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$

• під час нагрівання (ΔT > 0) внутрішня енергія зростає: ΔU > 0;

• під час охолодження (ΔT < 0) внутрішня енергія зменшується: ΔU < 0;

• за сталої температури (ΔT = 0, ізотермічний процес) ΔU = 0 — навіть якщо газ розширюється чи стискається, внутрішня енергія не змінюється.

Приклад обчислення

2 моль гелію нагріли від 300 К до 350 К. Знайдемо зміну внутрішньої енергії:

$$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot 8{,}31 \cdot (350 - 300) = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 8{,}31 \cdot 50 \approx 1250\;\text{Дж}$$

В ізобарному розширенні газу (тиск сталий) температура зростає — адже з рівняння Клапейрона-Менделєєва pV = νRT випливає, що збільшення об'єму за сталого тиску означає збільшення температури. Отже, внутрішня енергія в ізобарному розширенні зростає.

Для однієї й тієї ж кількості газу зміна ΔU визначається тільки зміною температури. Якщо добуток pV збільшився вдвічі за сталої маси, то з рівняння pV = νRT випливає, що T зросла вдвічі, а отже, і U зросла вдвічі.

Внутрішню енергію тіла можна змінити двома принципово різними способами: виконанням роботи або теплопередачею.

Зміна внутрішньої енергії виконанням роботи

Коли над тілом виконують роботу, його внутрішня енергія зростає. Приклади:

• стиснення газу в насосі нагріває його — велосипедний насос після накачування шини стає теплим;

• тертя — якщо потерти долоні одна об одну, вони нагріваються; свердло під час свердління металу нагрівається;

• удар молотка по цвяху нагріває і цвях, і молоток.

Коли саме тіло виконує роботу (наприклад, газ розширюється, штовхаючи поршень), воно втрачає частину внутрішньої енергії — газ охолоджується.

Зміна внутрішньої енергії теплопередачею

Теплопередача — це перехід енергії від тіла з вищою температурою до тіла з нижчою температурою без виконання роботи. Кількість енергії, переданої таким способом, називають кількістю теплоти і позначають літерою Q (вимірюють теж у джоулях).

Розрізняють три види теплопередачі:

Теплоізоляція

Щоб зменшити теплопередачу, використовують теплоізоляційні матеріали. Наприклад, у термосі:

• вакуум між стінками унеможливлює теплопровідність і конвекцію;

• дзеркальне покриття стінок відбиває випромінювання.

Повітряні прошарки й пористі матеріали (пінопласт, мінеральна вата) погано проводять тепло, тому їх використовують для утеплення будівель.

Приклад 1. Ізотермічне стиснення

Завдання (одна правильна відповідь з чотирьох):

Ідеальний газ ізотермічно стискають. Як змінюється внутрішня енергія газу?

Розв'язання:

• Ізотермічний процес — температура стала: T = const.

• Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від T: U = (3/2)νRT.

• Якщо T не змінюється, то ΔU = 0.

Відповідь: внутрішня енергія не змінюється.

Чому інші варіанти неправильні: «зростає» — помилка, бо стиснення не змінює T; «зменшується» — помилка з тієї ж причини; «залежить від швидкості стиснення» — внутрішня енергія від швидкості процесу не залежить.

Приклад 2. Обчислення внутрішньої енергії

Завдання (коротка відповідь — число):

Знайди внутрішню енергію 3 моль одноатомного ідеального газу за температури 400 К. Відповідь запиши в кілоджоулях, округливши до десятих.

Розв'язання:

1. Записуємо формулу: U = (3/2)νRT.

2. Підставляємо значення: ν = 3 моль, R = 8,31 Дж/(моль·К), T = 400 К.

3. U = 1,5 · 3 · 8,31 · 400 = 1,5 · 3 · 3324 = 1,5 · 9972 = 14958 Дж.

4. Переводимо в кДж: 14958 Дж = 14,958 кДж ≈ 15,0 кДж.

Відповідь: 15,0 кДж.

Типова помилка: забути перевести джоулі в кілоджоулі або округлити не до десятих, а до цілих.

Приклад 3. Відповідність: явище — спосіб зміни енергії

Завдання (логічні пари):

Установіть відповідність між явищем (1–3) і способом зміни внутрішньої енергії (А–Д).

Явища: 1 — нагрівання насоса під час накачування шини; 2 — прогрівання води в каструлі, що стоїть на плиті; 3 — нагрівання ґрунту сонячним промінням.

Способи: А — виконання роботи над тілом; Б — виконання роботи самим тілом; В — теплопровідність; Г — конвекція; Д — випромінювання.

Розв'язання:

• Явище 1: насос нагрівається, тому що ми стискаємо в ньому повітря — виконуємо роботу над газом. Отже, 1 → А.

• Явище 2: дно каструлі отримує тепло від плити теплопровідністю, а далі вода прогрівається конвекцією (теплі шари води піднімаються). Основне — конвекція. Отже, 2 → Г.

• Явище 3: сонячне проміння — це електромагнітне випромінювання, яке переносить енергію через вакуум. Отже, 3 → Д.

Відповідь: 1 — А, 2 — Г, 3 — Д.

Зайві варіанти: Б (робота, яку виконує саме тіло) і В (теплопровідність). Теплопровідність у прикладі 2 теж присутня, але основний процес прогрівання води — саме конвекція.

Приклад 4. Ізобарне розширення

Завдання (одна правильна відповідь з чотирьох):

Газ розширюється ізобарно. Як змінюється внутрішня енергія газу?

Розв'язання:

• Ізобарний процес — тиск сталий. З рівняння pV = νRT випливає: якщо V зростає, а p стале, то T зростає.

• Внутрішня енергія U = (3/2)νRT зростає зі зростанням T.

• Отже, ΔU > 0 — внутрішня енергія зростає.

Відповідь: внутрішня енергія зростає, бо зростає температура.

Поширена помилка: думати, що під час будь-якого розширення газ охолоджується. Це правильно тільки для адіабатного розширення (без теплообміну). В ізобарному процесі газ отримує тепло ззовні, тому його температура зростає.

• Вважати, що внутрішня енергія ідеального газу змінюється під час ізотермічного процесу. Насправді: за T = const маємо ΔU = 0 незалежно від того, розширюється чи стискається газ. Внутрішня енергія ідеального газу залежить лише від температури.

• Включати механічну енергію руху тіла й потенціальну енергію в полі тяжіння до внутрішньої. Насправді: енергія руху тіла як цілого (mv²/2) і його потенціальна енергія (mgh) — це механічна, а не внутрішня енергія. Куля, що летить, і куля, що лежить, за однакової температури мають однакову U.

• Плутати внутрішню енергію з кількістю теплоти. Насправді: Q — це міра енергії, переданої теплопередачею; U — це запас енергії, який тіло має в даний момент. Q характеризує процес, U — стан.

• Вважати, що нагрівання можливе лише теплопередачею. Насправді: нагріти тіло можна й виконанням роботи — тертям, стисненням, ударом. Наприклад, насос нагрівається під час накачування шини саме через роботу.

• Застосовувати формулу (3/2)νRT до двоатомних чи багатоатомних газів без застереження. Насправді: формула U = (3/2)νRT правильна лише для одноатомних газів. Двоатомні й багатоатомні гази мають додаткові степені вільності (обертання, коливання), тому їхня внутрішня енергія більша.

Формула внутрішньої енергії одноатомного ідеального газу U = (3/2)νRT є в довідкових матеріалах НМТ у розділі «Основи термодинаміки». Тобто на тесті ти зможеш нею скористатися — але важливо розуміти, коли й як її застосовувати.

Програма НМТ з фізики (тема 2.2 «Основи термодинаміки») вимагає:

• розрізняти види теплообміну (теплопровідність, конвекція, випромінювання);

• обчислювати внутрішню енергію одноатомного ідеального газу та її зміну.

У демоваріанті НМТ-2026 є завдання № 15 (тема 2.2) у форматі «логічні пари», де визначення ΔU за графіком p(V) є одним із кроків розв'язання. Також у форматі «логічні пари» можливе зіставлення процесів і видів теплообміну — наприклад, поєднати фізичне явище (нагрівання води, нагрівання насоса тощо) з відповідним способом зміни внутрішньої енергії.

Способи теплопередачі й види зміни внутрішньої енергії треба знати без довідкових матеріалів — це понятійний апарат, який перевіряють у завданнях на відповідність.

Порада: коли бачиш у задачі слова «ідеальний газ», відразу згадуй, що U = (3/2)νRT. А коли бачиш «ізотермічно» — ΔU = 0. Це заощадить тобі час на тесті.

• Внутрішня енергія U — сума кінетичної енергії хаотичного руху частинок тіла й потенціальної енергії їхньої взаємодії.

• U одноатомного ідеального газу: U = (3/2)νRT = (3/2)pV; залежить лише від температури T.

• Зміна внутрішньої енергії: ΔU = (3/2)νRΔT. Якщо ΔT = 0 (ізотермічно), то ΔU = 0.

• Внутрішню енергію змінюють двома способами: виконанням роботи (стиснення, тертя, удар) і теплопередачею.

• Теплопередача має три види: теплопровідність (у твердих тілах), конвекція (у рідинах і газах), випромінювання (у вакуумі також).

• Внутрішня енергія не залежить від механічного руху тіла як цілого чи його висоти над поверхнею Землі.

• Формула (3/2)νRT правильна лише для одноатомних газів (He, Ne, Ar).