Умови рівноваги тіла і види рівноваги

У статиці розглядають умови, за яких тверде тіло залишається нерухомим. Для цього потрібно виконати дві незалежні умови, кожна з яких відповідає за окремий тип руху — поступальний і обертальний.

Перша умова: нульова рівнодійна сил

Тіло не набуває прискорення поступального руху, коли векторна сума всіх зовнішніх сил, що на нього діють, дорівнює нулю:

$$\sum \vec{F}=0$$

На практиці це рівняння записують у проєкціях на осі координат. Якщо всі сили лежать в одній площині, достатньо двох рівнянь:

$$\sum F_x=0,\sum F_y=0$$

Наприклад, для книги, що лежить на столі, сила тяжіння mg напрямлена вниз, а сила реакції опори N — угору. Їхні модулі рівні, тому сума проєкцій на вертикальну вісь дорівнює нулю, і книга не рухається по вертикалі.

Друга умова: нульова сума моментів

Навіть коли сума сил дорівнює нулю, тіло може обертатися. Щоб цього не відбувалося, сума моментів усіх сил відносно будь-якої осі обертання має дорівнювати нулю:

$$\sum M=0$$

Момент сили, що обертає тіло за годинниковою стрілкою, вважають від'ємним, а проти годинникової — додатним (або навпаки — головне дотримуватися одного правила в межах задачі). У рівновазі сума моментів, що обертають за годинниковою стрілкою, дорівнює сумі моментів, що обертають проти неї.

Чому однієї умови недостатньо

Уяви лінійку, що лежить на столі. Візьмися двома пальцями за її кінці й потягни один кінець від себе, а другий — до себе, прикладаючи однакові за модулем сили, перпендикулярні до лінійки. Рівнодійна цих двох сил дорівнює нулю — лінійка не зрушується вбік. Однак вона починає обертатися! Такі дві сили називають парою сил. Дві рівні за модулем протилежно напрямлені паралельні сили, лінії дії яких не збігаються, створюють сумарний момент, який обертає тіло, хоча поступального прискорення немає.

Інший приклад: сила, лінія дії якої не проходить через центр мас тіла. Така сила одночасно і зрушує тіло (поступальний рух), і обертає його. Щоб тіло було в рівновазі, потрібно, щоб і рівнодійна сил, і сума моментів дорівнювали нулю.

Рівновагою називають стан спокою тіла (або рівномірного прямолінійного руху без обертання). У статиці розглядають лише випадок, коли тіло нерухоме.

Типова задача на умови рівноваги — балка (дошка, стрижень), що лежить на двох опорах. На балку діють сила тяжіння самої балки, сила тяжіння вантажу (якщо він є) і сили реакції опор.

Як напрямлені сили

Сили реакції опор напрямлені вгору, перпендикулярно до балки. Вага однорідної балки прикладена в її середині (центр мас збігається з геометричним центром). Вага вантажу прикладена в тій точці, де він лежить на балці.

Алгоритм розв'язування

1. Накресли схему: балка, дві опори на кінцях, познач сили: N₁ (ліва опора), N₂ (права опора), mg (вага балки в центрі), Mg (вага вантажу в заданій точці).

2. Запиши рівняння сил у проєкції на вертикаль: N₁ + N₂ = mg + Mg.

3. Вибери вісь обертання через одну з опор (наприклад, ліву). Тоді плече сили реакції цієї опори дорівнює нулю, і в рівнянні моментів вона не фігурує.

4. Запиши рівняння моментів відносно вибраної осі. Моменти, що обертають за годинниковою стрілкою, прирівняй до моментів, що обертають проти неї.

5. Розв'яжи систему двох рівнянь — знайди N₁ та N₂.

6. Перевір: сума N₁ + N₂ має дорівнювати загальній вазі (mg + Mg).

Приклад

Однорідна балка завдовжки 4 м і масою 20 кг лежить на двох опорах на кінцях. На відстані 1 м від лівої опори лежить вантаж масою 30 кг. g = 10 м/с².

Позначимо N₁ — сила реакції лівої опори, N₂ — правої. Вага балки: 20 · 10 = 200 Н, прикладена на відстані 2 м від лівої опори (середина). Вага вантажу: 30 · 10 = 300 Н, прикладена на відстані 1 м від лівої опори.

Рівняння сил: N₁ + N₂ = 200 + 300 = 500 Н.

Рівняння моментів відносно лівої опори. Моменти, що обертають за годинниковою стрілкою (вниз): від ваги балки — 200 · 2 = 400 Н·м, від вантажу — 300 · 1 = 300 Н·м. Момент, що обертає проти годинникової стрілки: N₂ · 4.

$$N_2\cdot 4=200\cdot 2+300\cdot 1$$

$$N_2\cdot 4=400+300=700\Rightarrow N_2=175\text{Н}$$

Тоді N₁ = 500 − 175 = 325 Н.

Перевірка: N₁ + N₂ = 325 + 175 = 500 Н — дорівнює сумі ваг балки й вантажу. Опора, ближча до вантажу (ліва), несе більше навантаження (325 Н проти 175 Н).

Балка, що звисає зі столу

Якщо балка (дошка) частково виступає за край стола, вона починає перекидатися, коли її центр мас виходить за площу опори. Для однорідної дошки це стається, коли з-за краю стола виступає більше половини її довжини — тоді центр мас опиняється за межею опори, і виникає обертальний момент, який перекидає дошку.

Центр мас — це точка, у якій умовно зосереджена вся маса тіла і до якої прикладена сила тяжіння. Для однорідного симетричного тіла (стрижень, куля, куб) центр мас збігається з геометричним центром.

Умова стійкості на опорі

Тіло, що стоїть на опорі, не перекидається, поки вертикальна лінія, проведена через центр мас, проходить через площу опори. Якщо ця вертикаль виходить за межі площі опори, виникає момент сили тяжіння, який перекидає тіло.

Найвідоміший приклад — Пізанська вежа. Вона стоїть, бо вертикаль через її центр мас усе ще проходить через основу. Якби вежа нахилилася так, що ця вертикаль опинилася за межами фундаменту, вона впала б.

Що робить тіло стійкішим

Стійкість тіла на опорі визначають два чинники:

• Чим нижчий центр мас, тим стійкіше тіло. Низький широкий стіл важче перекинути, ніж високу вузьку шафу.

• Чим більша площа опори, тим стійкіше тіло. Стілець на чотирьох ніжках стійкіший, ніж той самий стілець на двох ніжках.

Вантажівка стає стійкішою, коли вантаж лежить на дні кузова — центр мас опускається. Якщо ж вантаж закріпити на даху, центр мас піднімається, і вантажівка легше перекидається на повороті.

Площа опори — не лише площа дотику

Площа опори — це не тільки площа поверхні, якою тіло безпосередньо дотикається до опори. Для стільця на чотирьох ніжках площею опори є чотирикутник, утворений крайніми точками ніжок. Якщо тіло спирається на три точки, площа опори — трикутник між ними. Саме в межах цієї площі має проходити вертикаль через центр мас, щоб тіло не перекинулося.

Залежно від того, як поводиться тіло після малого відхилення від положення рівноваги, розрізняють три види рівноваги: стійку, нестійку та байдужу. Ключовим критерієм є зміна висоти центра мас.

Стійка рівновага

Після малого відхилення виникає момент або сила, що повертає тіло назад, у початкове положення. Центр мас перебуває в найнижчому можливому положенні, і під час відхилення він піднімається. Чим більше відхилення, тим більша сила прагне повернути тіло назад.

Найпростіший приклад — кулька на дні чаші (у ямці). Якщо штовхнути кульку, вона підніметься вгору по стінці, а потім скотиться назад на дно. Інший приклад — підвішена лампа (маятник): після відхилення вона повертається у вертикальне положення.

Нестійка рівновага

Після малого відхилення тіло віддаляється від положення рівноваги, а не повертається до нього. Центр мас перебуває в найвищому можливому положенні, і під час відхилення він опускається. Найменший поштовх виводить тіло з рівноваги.

Приклад — кулька на вершині опуклої поверхні (на горбі). Варто трохи штовхнути кульку, і вона скотиться вниз. Інший приклад — олівець, поставлений на вістрі: він не може стояти вертикально через найменші коливання.

Байдужа рівновага

Після відхилення тіло лишається в новому положенні — не повертається назад і не віддаляється далі. Висота центра мас не змінюється під час відхилення.

Приклад — кулька на горизонтальному столі. Якщо перекотити кульку в інше місце, вона залишиться там. Інші приклади: циліндр на плоскій поверхні, колесо, що обертається на осі, яка проходить через його центр.

Змішаний випадок

Тіло на площині може бути в стійкій рівновазі відносно однієї осі й нестійкій відносно іншої. Наприклад, сідло: вздовж однієї осі воно ввігнуте (стійке), а вздовж перпендикулярної — опукле (нестійке). Брусок, поставлений на ребро, може впати в один бік (нестійке), але залишатися стійким відносно іншої осі.

«Ванька-встанька»

Іграшка «ванька-встанька» (неваляйка) завжди повертається у вертикальне положення, хоч як її нахилити. Секрет у тому, що в нижній частині іграшки закріплений важкий вантаж, тому центр мас розташований дуже низько. Під час нахилу центр мас піднімається, і виникає момент, який повертає іграшку назад. Це класичний приклад стійкої рівноваги.

Приклад 1. Балка з вантажем на двох опорах

Умова: Однорідна балка завдовжки 6 м і масою 40 кг лежить на двох опорах на кінцях. На відстані 2 м від лівої опори лежить вантаж масою 30 кг. Визнач силу реакції правої опори. g = 10 м/с².

Розв'язання:

1. Вага балки: 40 · 10 = 400 Н, прикладена в центрі — на відстані 3 м від лівої опори.

2. Вага вантажу: 30 · 10 = 300 Н, прикладена на відстані 2 м від лівої опори.

3. Рівняння сил: N₁ + N₂ = 400 + 300 = 700 Н.

4. Вибираємо вісь через ліву опору. Моменти, що обертають за годинниковою стрілкою: від ваги балки — 400 · 3 = 1200 Н·м, від вантажу — 300 · 2 = 600 Н·м. Момент, що обертає проти годинникової стрілки: N₂ · 6.

5. Рівняння моментів: N₂ · 6 = 400 · 3 + 300 · 2 = 1200 + 600 = 1800.

6. N₂ = 1800 / 6 = 300 Н.

Відповідь: 300 Н.

Перевірка: N₁ = 700 − 300 = 400 Н. Сума реакцій 400 + 300 = 700 Н — збігається із загальною вагою.

Приклад 2. Невагомий стрижень з двома вантажами

Умова: Невагомий стрижень завдовжки 2 м перебуває в рівновазі на опорі. На лівому кінці підвішений вантаж масою 5 кг, на правому — вантаж масою 3 кг. Визнач, на якій відстані від лівого кінця розташована опора, і силу тиску стрижня на опору. g = 10 м/с².

Розв'язання:

1. Стрижень невагомий, тому його вага не враховується. На стрижень діють: сила тяжіння лівого вантажу F₁ = 5 · 10 = 50 Н (вниз), сила тяжіння правого вантажу F₂ = 3 · 10 = 30 Н (вниз), сила реакції опори N (вгору).

2. Перша умова рівноваги (сума сил): N = F₁ + F₂ = 50 + 30 = 80 Н. За третім законом Ньютона стрижень тисне на опору з такою самою силою.

3. Друга умова рівноваги (сума моментів відносно опори): нехай x — відстань від лівого кінця до опори. Тоді плече лівого вантажу x, а правого 2 − x. Рівняння моментів: 50 · x = 30 · (2 − x), 50x = 60 − 30x, 80x = 60, x = 0,75 м.

4. Перевірка: 50 · 0,75 = 37,5 Н·м і 30 · 1,25 = 37,5 Н·м — моменти рівні. Опора ближча до важчого вантажу, як і має бути.

Відповідь: 0,75 м; 80 Н.

Приклад 3. Види рівноваги кульки

Умова: Кулька перебуває в трьох різних положеннях: (1) на дні чаші, (2) на вершині опуклої поверхні, (3) на горизонтальному столі. Установи відповідність між положенням і видом рівноваги.

Розв'язання:

• Положення 1 — кулька на дні чаші: після відхилення повертається назад, центр мас піднімається — стійка рівновага.

• Положення 2 — кулька на вершині опуклої поверхні: після відхилення скочується, центр мас опускається — нестійка рівновага.

• Положення 3 — кулька на горизонтальному столі: після відхилення лишається в новому положенні, висота центра мас не змінюється — байдужа рівновага.

Відповідь: 1 — стійка, 2 — нестійка, 3 — байдужа.

Приклад 4. Стійкість вантажівки

Умова: Вантажівка перевозить вантаж. У якому випадку вантажівка буде стійкішою на повороті: коли вантаж лежить на дні кузова чи коли він закріплений на даху?

Розв'язання: Стійкість тіла залежить від положення центра мас. Коли вантаж лежить на дні кузова, центр мас системи «вантажівка + вантаж» розташований низько. На повороті на колеса з боку дороги діє бічна сила тертя, прикладена нижче від центра мас, і її момент прагне перекинути вантажівку назовні. Що нижчий центр мас, то менше плече цієї сили й то пізніше вертикаль через центр мас вийде за площу опори. Коли вантаж на даху, центр мас піднімається, і вантажівка легше перекидається.

Відповідь: Вантажівка стійкіша, коли вантаж лежить на дні кузова.

• Перевіряти лише рівність сил і забувати про моменти (або навпаки). Правильно: завжди застосовуй обидві умови рівноваги — ΣF = 0 і ΣM = 0. Навіть якщо сили зрівноважені, тіло може обертатися через пару сил.

• Вибирати вісь обертання, не пов'язану з невідомою силою, і ускладнювати систему рівнянь. Правильно: проводь вісь через точку прикладання тієї сили, яку не знаєш, — тоді її плече дорівнює нулю, і в рівнянні моментів вона не фігурує.

• Прикладати вагу однорідної балки не в середині, а в кінці. Правильно: для однорідної балки центр мас збігається з геометричним центром, тому вага прикладена посередині.

• Вважати, що тіло стійке лише тому, що воно важке. Правильно: стійкість залежить від площі опори та висоти центра мас. Важка, але вузька й висока шафа може перекинутися легше, ніж легкий, але широкий і низький стіл.

• Плутати вид рівноваги з відсутністю руху. Правильно: кулька на вершині горба теж у спокої, але її рівновага нестійка — найменший поштовх змусить її скотитися. Вид рівноваги визначається реакцією на мале відхилення, а не самим фактом спокою.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання на умови рівноваги тіла й момент сили подане під номером 17. Це завдання з короткою відповіддю, яке оцінюють у 0 або 2 бали. Відповідь — ціле число або десятковий дріб.

У довідкових матеріалах, які надають на НМТ, є формули для моменту сили та дві умови рівноваги. Однак види рівноваги (стійка, нестійка, байдужа) і правило вибору осі обертання в довідці відсутні — ці знання потрібно мати заздалегідь.

Стратегія розв'язування

1. Намалюй схему й познач усі сили, що діють на тіло: сили тяжіння, сили реакції опор, зовнішні сили.

2. Вибери вісь обертання через точку прикладання тієї сили, яку не знаєш (або яку не питають), — тоді її момент дорівнюватиме нулю.

3. Запиши рівняння ΣF = 0 у проєкції на вертикальну вісь.

4. Запиши рівняння ΣM = 0 відносно вибраної осі.

5. Розв'яжи систему рівнянь і перевір, чи сума знайдених сил реакції дорівнює сумі ваг.

Запам'ятай: у завданнях на балку з опорами завжди потрібні обидва рівняння — сил і моментів. Одне рівняння дає лише суму реакцій, а друге дозволяє знайти кожну окремо.

• Умови рівноваги: ΣF⃗ = 0 (нульова рівнодійна сил) і ΣM = 0 (нульова сума моментів) відносно будь-якої осі.

• У задачі про балку на опорах: одне рівняння сил і одне рівняння моментів відносно осі через опору дають змогу знайти сили реакції обох опор.

• Тіло стоїть на опорі, поки вертикаль через центр мас проходить крізь площу опори.

• Стійка рівновага — центр мас у найнижчому положенні, після відхилення повертається назад.

• Нестійка рівновага — центр мас у найвищому положенні, після відхилення тіло віддаляється.

• Байдужа рівновага — висота центра мас не змінюється, тіло лишається в новому положенні.