Умови плавання тіл

Чи плаватиме тіло в рідині, чи потоне, чи спливе на поверхню — це визначається співвідношенням двох сил: сили тяжіння $mg$, що тягне тіло вниз, і архімедової (виштовхувальної) сили $F_A$, що діє вгору. Розгляньмо тіло, повністю занурене в рідину. Можливі три випадки:

• $F_A<mg$ — тіло тоне. Сила тяжіння переважає, тіло рухається вниз, поки не ляже на дно.

• $F_A=mg$ — тіло плаває в товщі рідини. Сили зрівноважені, тіло може перебувати в рівновазі на будь-якій глибині.

• $F_A>mg$ — тіло спливає до поверхні. Виштовхувальна сила більша, тіло піднімається, і після виходу частини об'єму з води архімедова сила зменшується, доки не настане рівновага.

Умова через густини

Оскільки $F_A={\rho }_{\text{р}}gV$, а $mg={\rho }_{\text{т}}gV$, то після скорочення $gV$ отримуємо еквівалентну умову, записану через густини:

• ${\rho }_{\text{тіла}}>{\rho }_{\text{рідини}}$ — тіло тоне.

• ${\rho }_{\text{тіла}}={\rho }_{\text{рідини}}$ — тіло плаває всередині рідини.

• ${\rho }_{\text{тіла}}<{\rho }_{\text{рідини}}$ — тіло спливає й далі плаває на поверхні.

Ця умова працює для однорідних суцільних тіл. Наприклад, суцільна сталева кулька ($\rho =7800$ кг/м³) тоне у воді ($\rho =1000$ кг/м³), а дерев'яна кулька ($\rho =600$ кг/м³) спливає.

Порожнисті тіла й середня густина

Якщо тіло має порожнину всередині (наприклад, металевий корабель), його не можна розглядати як суцільне. Тут застосовують поняття середньої густини: ${\rho }_{\text{сер}}=m/V$, де $m$ — маса всього тіла, а $V$ — його зовнішній об'єм разом із порожнинами. Сталевий корабель плаває, бо його середня густина менша за густину води — великий об'єм корпусу заповнений повітрям, яке має малу густину.

Залежність від рідини

Поведінка тіла залежить не лише від самого тіла, а й від густини рідини. Ось два яскравих приклади:

• Залізо ($\rho =7800$ кг/м³) тоне у воді ($\rho =1000$ кг/м³), але плаває на ртуті ($\rho =13600$ кг/м³), бо $7800<13600$.

• Куряче яйце тоне в прісній воді ($\rho \approx 1000$ кг/м³), але спливає в досить солоній воді ($\rho \approx 1100$–$1200$ кг/м³), оскільки густина яйця ($\approx 1030$–$1090$ кг/м³) більша за густину прісної води, але менша за густину такого розчину.

Коли тіло плаває на поверхні рідини, воно перебуває в рівновазі: сила тяжіння врівноважується архімедовою силою, яка тепер діє лише на занурену частину тіла. Запишемо умову рівноваги:

$$mg=F_A$$

$${\rho }_{\text{т}}gV={\rho }_{\text{р}}g{V}_{\text{занур}}$$

Скоротивши $g$, отримуємо ключову формулу:

$$\frac{V_{\text{занур}}}{V}=\frac{{\rho }_{\text{т}}}{{\rho }_{\text{р}}}$$

Частка об'єму тіла, що занурена в рідину, дорівнює відношенню густини тіла до густини рідини. Відповідно, частка об'єму, що виступає над поверхнею, становить $1-{\rho }_{\text{т}}/{\rho }_{\text{р}}$.

Числові приклади

Зверни увагу: айсберг у морській воді занурений приблизно на 87 % — саме тому кажуть «вершина айсберга», маючи на увазі, що більша частина прихована під водою.

Додатковий вантаж на плаваючому тілі

Якщо на плаваюче тіло покласти вантаж, рівновага порушується: сила тяжіння зростає, тому тіло занурюється глибше, поки збільшена архімедова сила не врівноважить нову вагу. Зміна зануреного об'єму $\Delta V$ визначається з рівняння:

$$\Delta mg={\rho }_{\text{р}}g\Delta V$$

Звідси $\Delta V=\Delta m/{\rho }_{\text{р}}$, де $\Delta m$ — маса доданого вантажу.

Глибина занурення бруска

Якщо тіло має форму прямокутного бруска з площею основи $S$ і висотою $H$, то $V=S\cdot H$, а $V_{\text{занур}}=S\cdot h_{\text{занур}}$. Підставляючи в формулу частки зануреного об'єму, отримуємо:

$$h_{\text{занур}}=\frac{{\rho }_{\text{т}}}{{\rho }_{\text{р}}}\cdot H$$

Наприклад, сосновий брусок висотою 20 см плаває у воді на глибині $h=(600/1000)\cdot 20=12$ см.

Принципи плавання тіл мають практичне застосування в кораблебудуванні, підводній навігації та повітроплаванні. Розгляньмо ключові поняття.

Осадка, ватерлінія й водотоннажність судна

Осадка судна — це глибина, на яку судно занурюється у воду. Ватерлінія — це лінія на корпусі судна, яка показує максимально допустиму межу занурення при повному навантаженні. Водотоннажність — це вага води, витісненої судном при повному навантаженні; вона чисельно дорівнює вазі самого судна разом з усім вантажем, паливом, екіпажем тощо.

Вантажопідйомність судна обчислюють як різницю між водотоннажністю (вагою витісненої води при повній осадці) і вагою порожнього судна:

$$\text{Вантажопідйомність}=m_{\text{води}}g-m_{\text{порожнього}}g$$

Наприклад, якщо судно витісняє 50 000 т води, а вага порожнього судна становить 12 000 т, то воно може підняти $50000-12000=38000$ т вантажу.

Морська та прісна вода

Морська вода має більшу густину (близько 1030 кг/м³), ніж прісна (1000 кг/м³). Тому судно, яке переходить із річки в море, занурюється менше — для створення тієї самої виштовхувальної сили потрібен менший занурений об'єм. Навпаки, при переході з моря в річку осадка збільшується.

Підводний човен

Підводний човен змінює глибину занурення, регулюючи свою середню густину. Для занурення в баластні цистерни набирають воду — маса човна зростає, середня густина стає більшою за густину води, і човен тоне. Для спливання воду з цистерн витискають стисненим повітрям — маса зменшується, середня густина стає меншою за густину води, і човен спливає.

Повітряна куля

Повітряна куля піднімається, коли архімедова сила, що діє на неї з боку атмосферного повітря, перевищує загальну вагу кулі (оболонка + газ усередині + вантаж). Підіймальна сила дорівнює $F_A-mg$. Оскільки густина повітря зменшується з висотою, на певній висоті архімедова сила зрівнюється з вагою кулі, і вона зупиняється. Кулі, наповнені гелієм або гарячим повітрям, мають меншу густину, ніж холодне атмосферне повітря, тому піднімаються.

Розгляньмо типові задачі на умови плавання тіл у форматі НМТ.

Приклад 1. Вибір однієї відповіді

Суцільне тіло густиною 800 кг/м³ повністю занурили в чисту воду й відпустили. Що з ним станеться?

Розв'язання. Густина води 1000 кг/м³. Оскільки ${\rho }_{\text{тіла}}<{\rho }_{\text{води}}$ (800 < 1000), тіло спливатиме. Після виходу частини об'єму на поверхню настане рівновага. Частка зануреного об'єму: $V_{\text{занур}} / V = 800 / 1000 = $0,8=80\%$.

Відповідь: спливе й плаватиме, занурене на 80 %.

Чому інші варіанти неправильні: «потоне» — суперечить співвідношенню густин; «плаватиме всередині» — можливо лише за рівності густин; «спливе й плаватиме, занурене на 20 %» — частка зануреного об'єму дорівнює ${\rho }_{\text{т}}/{\rho }_{\text{р}}$, а не $1-{\rho }_{\text{т}}/{\rho }_{\text{р}}$.

Приклад 2. Коротка відповідь

Дерев'яний брусок густиною 600 кг/м³ плаває в чистій воді. Яка частка його об'єму (у відсотках) занурена?

Розв'язання. Для плаваючого тіла $V_{\text{занур}} / V = \rho_{\text{т}} / \rho_{\text{р}} = 600 / 1000 = $0,6$. У відсотках: $0,6\cdot 100\%=60\%$.

Відповідь: 60.

Приклад 3. Коротка відповідь

Дерев'яний пліт густиною 500 кг/м³ має втримати людину масою 60 кг. Густина води 1000 кг/м³. Знайди мінімальний об'єм плота в м³.

Розв'язання. Пліт плаває разом із людиною, тому загальна вага дорівнює архімедовій силі: $(m_{\text{плота}}+m_{\text{людини}})g={\rho }_{\text{води}}g{V}_{\text{занур}}$. У граничному випадку пліт занурений повністю ($V_{\text{занур}}=V$). Тоді ${\rho }_{\text{плота}}V+m_{\text{людини}}={\rho }_{\text{води}}V$.

Підставляємо: $500V+60=1000V$. Звідси $60=500V$, $V = 60 / 500 = $0,12$ м³.

Відповідь: 0,12.

Приклад 4. Вибір однієї відповіді

Порожнистий металевий куб із товстими стінками й повітрям усередині помістили у воду. За якої умови він плаватиме?

Розв'язання. Куб плаватиме, якщо його середня густина (маса куба, поділена на його зовнішній об'єм) менша за густину води. Матеріал стінок може мати густину більшу за густину води, але завдяки повітряній порожнині середня густина всього куба може бути меншою.

Відповідь: коли ${\rho }_{\text{сер}}<1000$ кг/м³.

• Вважати, що важкі тіла завжди тонуть, а легкі завжди плавають, не порівнюючи густини з густиною рідини. Насправді важливе співвідношення густин, а не абсолютна маса: сталевий корабель плаває, а маленький сталевий цвях тоне.

• Плутати густину матеріалу порожнистого тіла з його середньою густиною. Наприклад, сталь має густину 7800 кг/м³, але середня густина сталевого корабля набагато менша, бо всередині — повітря. Плавання визначає саме середня густина.

• Брати для плаваючого тіла архімедову силу за повного об'єму замість зануреного. У формулі $F_A={\rho }_{\text{р}}g{V}_{\text{занур}}$ об'єм — це лише та частина тіла, що перебуває під водою.

• Казати, що осадка не залежить від густини води. Насправді в морській воді (більша густина) осадка менша, ніж у прісній, за тієї самої ваги судна.

• Забувати, що в задачі про плавання на плоту вагу людини й вагу плота вносять в один баланс сил. Рівняння рівноваги: $(m_{\text{плота}}+m_{\text{вантажу}})g={\rho }_{\text{р}}g{V}_{\text{занур}}$.

• Умову плавання тіл у форматі «тонути — плавати — спливати» і поняття середньої густини довідка НМТ не пояснює: їх треба знати. Ти маєш самостійно розуміти, як застосовувати співвідношення густин.

• Формули архімедової сили ($F_A=\rho gV$) і густини ($\rho =m/V$) є в довідкових матеріалах НМТ. Потрібні числові значення густин зазвичай наводить умова задачі.

• Програма НМТ (тема 1.4) прямо вимагає застосовувати умову плавання тіл. У демоваріанті 2026 тему 1.4 не представлено, тому орієнтуйся на програмні вимоги.

• У розрахунковій задачі (№ 17–22, оцінювання 0 або 2 бали) плавання зводиться до рівняння $mg=F_A$. Відповідь — число в указаній одиниці вимірювання.

• Тіло тоне, якщо ${\rho }_{\text{тіла}}>{\rho }_{\text{рідини}}$; плаває всередині, якщо ${\rho }_{\text{тіла}}={\rho }_{\text{рідини}}$; спливає, якщо ${\rho }_{\text{тіла}}<{\rho }_{\text{рідини}}$.

• Для плаваючого на поверхні тіла виконується $mg=F_A$, звідки $V_{\text{занур}}/V={\rho }_{\text{т}}/{\rho }_{\text{р}}$.

• Водотоннажність — вага води, витісненої судном при повному завантаженні; вона дорівнює вазі судна з вантажем.

• Порожнисте тіло оцінюють за середньою густиною ${\rho }_{\text{сер}}=m/V$, де $V$ — зовнішній об'єм.

• Вантажопідйомність судна = водотоннажність − вага порожнього судна.

• У морській воді (більша густина) осадка судна менша, ніж у прісній.