Шлях і переміщення

У фізиці важливо розрізняти дві величини, які в побуті часто називають одним словом «відстань», — шлях і переміщення. Вони описують різні характеристики руху, і плутати їх — типова помилка в задачах.

Шлях (l)

Шлях — це довжина траєкторії, тобто лінії, якою рухалося тіло. Це скалярна величина: вона не має напрямку, лише числове значення. Шлях завжди невід’ємний і під час руху може лише зростати або залишатися незмінним (якщо тіло стоїть на місці). Він ніколи не зменшується, навіть коли тіло повертається назад. Одиниця шляху в СІ — метр (м). Позначають шлях зазвичай літерою l або s.

Переміщення (s⃗)

Переміщення — це напрямлений відрізок (вектор), який сполучає початкове положення тіла з його кінцевим положенням. На відміну від шляху, переміщення має не лише модуль (довжину), а й напрям. Воно не залежить від форми траєкторії: якщо тіло потрапило з точки А в точку Б, переміщення буде однаковим, хоч би яким маршрутом тіло рухалося — по прямій, по колу чи ламаною лінією. Позначають переміщення як s⃗, а його модуль — як |s⃗| або просто s (якщо з контексту зрозуміло, що йдеться про модуль).

Співвідношення між шляхом і модулем переміщення

Між шляхом і модулем переміщення виконується нерівність:

$$l\ge |\vec{s}|$$

Шлях не може бути меншим за модуль переміщення. Рівність l = |s⃗| досягається лише в одному випадку — коли тіло рухається прямолінійно в одному напрямку, не змінюючи його. Якщо траєкторія хоч трохи викривлена або тіло повертає назад, шлях одразу стає більшим за модуль переміщення.

Наочний приклад

Уяви, що ти вийшов з дому, обійшов квартал по периметру й повернувся в ту саму точку. Твій шлях — це довжина всього маршруту (наприклад, 1 км). А переміщення дорівнює нулю, адже початкова й кінцева точки збігаються. Якщо ж ти пройшов прямо від дому до школи по прямій вулиці, то шлях і модуль переміщення будуть однаковими.

На схемі видно: з точки А в точку Б можна дістатися різними маршрутами. Шляхи l₁ і l₂ різні, а переміщення s⃗ — одне й те саме. Саме тому в умові задачі завжди варто підкреслити, що саме шукають: шлях чи модуль переміщення.

Запам’ятай: шлях — скаляр (число), переміщення — вектор (число + напрям). Шлях лише зростає, переміщення може бути нульовим навіть після довгої подорожі.

Коли тіло рухається вздовж прямої лінії, зручно описати його положення за допомогою координатної осі. Найчастіше використовують вісь Ox. Тоді переміщення можна задати не вектором, а його проєкцією на цю вісь.

Проєкція переміщення на вісь Ox

Проєкція переміщення на вісь Ox — це різниця між кінцевою та початковою координатами тіла:

$$s_x=x-x_0$$

де x₀ — початкова координата, x — кінцева координата тіла. Залежно від знака проєкції можна визначити, в якому напрямку змістилося тіло:

• sₓ > 0 — тіло змістилося в додатному напрямку осі Ox (направо, якщо вісь напрямлена вправо);

• sₓ < 0 — тіло змістилося у від’ємному напрямку осі Ox (наліво);

• sₓ = 0 — тіло повернулося в початкову точку (кінцева координата дорівнює початковій).

Зверни увагу: проєкція переміщення — це саме x − x₀, а не x₀ − x. Це часта помилка, яка призводить до протилежного знака.

Кінцева координата через проєкцію переміщення

Якщо відома початкова координата тіла та проєкція переміщення, кінцеву координату знаходять за формулою:

$$x=x_0+s_x$$

Наприклад, тіло перебувало в точці x₀ = −2 м і змістилося на sₓ = −6 м. Тоді кінцева координата:

$$x=-2+(-6)=-8\text{м}$$

Тіло опинилося в точці −8 м на осі Ox.

Рух зі зміною напрямку

Коли тіло рухається вздовж прямої, але змінює напрямок (наприклад, іде вперед, а потім назад), шлях і переміщення обчислюють по-різному:

• шлях — це сума довжин усіх ділянок, пройдених тілом, незалежно від напрямку;

• переміщення — це різниця кінцевої й початкової координат (або, в загальному випадку, векторна сума всіх переміщень).

Приклад: тіло пройшло 8 м уперед, а потім 3 м назад. Шлях: l = 8 + 3 = 11 м. Модуль переміщення: |s⃗| = |8 − 3| = 5 м. Напрям переміщення — у бік початкового руху (уперед).

Приклад із м’ячем

М’яч падає з висоти 5 м на підлогу, відскакує й піднімається на висоту 2 м, де його ловлять. Вісь Ox напрямлена вертикально вниз, початок — на рівні підлоги. Тоді:

• шлях: l = 5 + 2 = 7 м (м’яч пройшов 5 м униз і 2 м угору);

• модуль переміщення: |s⃗| = 5 − 2 = 3 м (м’яч опинився на 3 м нижче від початкової точки);

• напрям переміщення — униз.

Інший приклад: м’яч підкинули на 3 м угору й зловили в тій самій точці. Шлях: l = 3 + 3 = 6 м. Переміщення: s⃗ = 0, оскільки початкова й кінцева точки збігаються.

Не віднімай довжину ділянки, пройденої назад, під час обчислення шляху! Шлях — це завжди сума всіх пройдених відрізків, він ніколи не зменшується.

Рух по колу — окремий випадок криволінійного руху, де шлях і переміщення відрізняються особливо яскраво. Розглянемо три ключові випадки: повний оберт, половина оберту й чверть оберту.

Повний оберт

Якщо тіло зробило повний оберт по колу радіуса R, воно повернулося в початкову точку. Тому:

• шлях: l = 2πR (довжина кола);

• переміщення: s⃗ = 0 (початкова й кінцева точки збігаються).

Для n повних обертів шлях дорівнює l = 2πRn, а переміщення залишається нульовим.

Половина оберту

Тіло проходить половину кола — від однієї точки до діаметрально протилежної. Тоді:

• шлях: l = πR (половина довжини кола);

• модуль переміщення: |s⃗| = 2R (діаметр кола).

Чверть оберту

Тіло проходить чверть кола. Кінцева точка розташована під прямим кутом до початкової. Переміщення — це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами R:

• шлях: l = πR/2 (чверть довжини кола);

• модуль переміщення: |s⃗| = R√2 (гіпотенуза прямокутного трикутника).

Числові приклади

Візьмемо коло радіуса R = 10 м. Тоді:

Приклад із хвилинною стрілкою

Кінець хвилинної стрілки завдовжки 10 см рухається по колу. За 30 хвилин стрілка проходить половину оберту:

• шлях: l = π·10 ≈ 31,4 см;

• модуль переміщення: |s⃗| = 2·10 = 20 см.

За 1 годину (повний оберт): шлях ≈ 62,8 см, переміщення 0.

Як змінюється модуль переміщення під час руху по колу

Під час руху по колу модуль переміщення спершу зростає від 0 (у точці старту) до 2R (на половині оберту), а потім зменшується до 0 (після повного оберту). Шлях же весь час лише зростає. Це ще раз ілюструє, що шлях і переміщення — різні фізичні величини.

Розв’яжемо п’ять типових задач на шлях і переміщення, які можуть зустрітися на НМТ.

Приклад 1. М’яч, що падає й підскакує

Завдання з короткою відповіддю. М’яч падає з висоти 4,5 м на підлогу, підскакує на 1,5 м, де його ловлять. Знайди шлях м’яча в метрах.

Розв’язання. Шлях — це довжина всієї траєкторії. М’яч пройшов 4,5 м униз, а потім 1,5 м угору. Отже:

$$l=4,5+1,5=6\text{м}$$

Відповідь: 6.

Поширена помилка — обчислити модуль переміщення (4,5 − 1,5 = 3 м) і записати його як відповідь. Уважно читай умову: питають саме шлях.

Приклад 2. Коло стадіону

Завдання з вибором однієї відповіді. Спортсмен пробіг рівно одне коло стадіону завдовжки 400 м і фінішував у точці старту. Якими є шлях і модуль переміщення спортсмена?

Розв’язання. Шлях — це довжина пройденої траєкторії, тобто 400 м. Переміщення — це вектор від старту до фінішу. Оскільки спортсмен фінішував у точці старту, переміщення дорівнює нулю.

Відповідь: шлях 400 м, модуль переміщення 0.

Дистрактори: «0 і 400 м» (плутають шлях і переміщення); «400 м і 400 м» (вважають, що переміщення теж дорівнює довжині кола); «200 м і 0» (ділять шлях навпіл, ніби пробіг пів кола).

Приклад 3. Точка обода колеса

Завдання з вибором однієї відповіді. Точка на ободі колеса радіусом 0,5 м повернулася на половину оберту. Чому дорівнює модуль переміщення точки?

Розв’язання. Половина оберту — це діаметрально протилежна точка. Модуль переміщення дорівнює діаметру: |s⃗| = 2R = 2 · 0,5 = 1 м.

Відповідь: 1 м.

Дистрактори: «0,5 м» (радіус замість діаметра); «1,57 м» (шлях πR ≈ 3,14·0,5); «0» (сплутано з повним обертом).

Приклад 4. Рух уздовж осі Ox

Завдання з короткою відповіддю. Тіло рухалося вздовж осі Ox: спочатку з точки x₀ = 3 м до точки x₁ = 11 м, а потім до точки x₂ = −1 м. Знайди шлях у метрах.

Розв’язання. Перша ділянка: від 3 м до 11 м — довжина |11 − 3| = 8 м. Друга ділянка: від 11 м до −1 м — довжина |−1 − 11| = 12 м. Шлях — сума ділянок:

$$l=8+12=20\text{м}$$

Відповідь: 20.

Зверни увагу: проєкція переміщення sₓ = x₂ − x₀ = −1 − 3 = −4 м. Якби в умові питали переміщення, відповідь була б −4 м (або модуль 4 м). Але питають шлях — тому додаємо довжини всіх ділянок.

Приклад 5. Секундна стрілка

Завдання з короткою відповіддю. Секундна стрілка завдовжки 2 см. Знайди модуль переміщення її кінця за 15 с у сантиметрах, округливши до десятих.

Розв’язання. За 15 с секундна стрілка проходить чверть оберту (15 с — це 1/4 від 60 с). Модуль переміщення для чверті оберту:

$$|\vec{s}|=R\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx 2\cdot 1,414=2,828\approx 2,8\text{см}$$

Відповідь: 2,8.

Поширені помилки: взяти шлях πR/2 ≈ 3,14 см замість модуля переміщення; або взяти R = 2 см замість R√2.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв’язування задач на шлях і переміщення. Уникай їх — і твій результат на НМТ буде вищим.

• Плутати шлях з модулем переміщення, коли тіло змінює напрямок руху. Наприклад, м’яч упав з висоти 5 м і підскочив на 2 м: шлях 7 м, а модуль переміщення 3 м. Якщо в умові питають шлях — додавай усі ділянки, не віднімай.

• Віднімати довжину ділянки, пройденої назад, під час обчислення шляху. Шлях — це загальна довжина траєкторії, він ніколи не зменшується. Навіть якщо тіло повернуло назад, пройдений відрізок додають, а не віднімають.

• Вважати переміщення за повний оберт рівним 2πR, а за половину оберту — πR. Це значення шляху, а не переміщення! Переміщення за повний оберт дорівнює нулю, за половину — діаметру 2R.

• Губити знак проєкції: sₓ = x − x₀, а не x₀ − x. Якщо переплутати, знак проєкції стане протилежним, і напрям переміщення буде визначено неправильно.

• Для чверті оберту брати модуль переміщення R або 2R замість R√2. Запам’ятай: чверть кола дає прямокутний трикутник з катетами R, тому переміщення — гіпотенуза R√2.

• Забувати, що переміщення — вектор. Крім модуля, в задачі можуть питати про напрям переміщення. Наприклад, після падіння м’яча напрям переміщення — униз, а не вгору.

Тема «Шлях і переміщення» перевіряється в завданнях різних форматів. Ось що варто знати про тестування цієї теми на НМТ.

• У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 1 (вибір однієї відповіді з чотирьох, 1 бал) перевіряло саме відмінність шляху й переміщення. Це завдання низької складності, але воно потребує чіткого розуміння визначень.

• У задачах з короткою відповіддю (№ 17–22, 0 або 2 бали) шлях чи переміщення може бути як кінцевою відповіддю, так і проміжним кроком до обчислення іншої величини (наприклад, середньої швидкості). Відповідь — ціле число або десятковий дріб в одиниці, указаній в умові.

• Довжина кола (2πR) є в довідкових матеріалах НМТ-2026, тому формулу не треба запам’ятовувати окремо. Однак модуль переміщення по колу знаходять геометрично — як діаметр (2R) чи гіпотенузу (R√2), і цих формул у довіднику немає.

• Стратегія розв’язування: завжди позначай на рисунку початкову й кінцеву точки тіла. Окремо обчисли довжину траєкторії (шлях) і довжину відрізка, що сполучає ці точки (модуль переміщення). Це допоможе не заплутатися, особливо в задачах зі зміною напрямку.

Відповіді на найпоширеніші запитання про шлях і переміщення.

• Шлях — довжина траєкторії, скалярна величина. Переміщення — вектор, що сполучає початкову й кінцеву точки.

• l ≥ |s⃗|; рівність — лише для прямолінійного руху в одному напрямку.

• На прямій проєкція переміщення sₓ = x − x₀; знак показує напрям руху вздовж осі.

• Повний оберт по колу: шлях 2πR, переміщення 0. Половина оберту: шлях πR, модуль переміщення 2R. Чверть оберту: шлях πR/2, модуль переміщення R√2.

• Під час руху зі зміною напрямку шляхи окремих ділянок додають, а переміщення — це різниця кінцевої й початкової координат.