Середня швидкість нерівномірного руху

У попередніх темах ти вивчав рівномірний рух — коли тіло за будь-які рівні проміжки часу проходить однакові шляхи. У реальному житті таке трапляється рідко: автобус то розганяється, то гальмує, пішохід пришвидшується або сповільнюється, а спортсмен на дистанції змінює темп. Такий рух називають нерівномірним.

Нерівномірний рух

Нерівномірний рух — це рух, за якого тіло за рівні проміжки часу проходить різні шляхи. Його швидкість змінюється з часом. Наприклад, автомобіль, що рушає з місця, за першу секунду проїжджає $0,5$ м, за другу — $1,5$ м, за третю — $2,5$ м. Шляхи різні, отже рух нерівномірний.

Миттєва швидкість

Миттєва швидкість — це швидкість тіла в даний момент часу (або в даній точці траєкторії). Її модуль показує спідометр автомобіля. Якщо стрілка спідометра зупинилася на позначці 60 км/год, то саме в цю мить миттєва швидкість дорівнює 60 км/год. Напрямлена миттєва швидкість по дотичній до траєкторії в цій точці. Під час прямолінійного руху швидкість напрямлена вздовж прямої; її модуль може змінюватися, а напрям — змінитися на протилежний.

Середня шляхова швидкість

Щоб оцінити рух за весь проміжок часу, використовують середню шляхову швидкість. Її позначають $v_{\text{сер}}$ (або $⟨v⟩$) і обчислюють за формулою:

$$v_{\text{сер}}=\frac{l}{t}$$

де $l$ — весь шлях, пройдений тілом, а $t$ — весь час руху разом із зупинками. Це скалярна величина. Наприклад, якщо турист пройшов 12 км за 3 год (з них пів години відпочивав), то $v_{\text{сер}}=12/3=4$ км/год.

Середня швидкість переміщення

Окремо розглядають середню швидкість переміщення — векторну величину:

$${\vec{v}}_{\text{сер}}=\frac{\vec{s}}{t}$$

де $\vec{s}$ — переміщення тіла. Якщо тіло повернулося в початкову точку (наприклад, пробігло коло стадіону), переміщення дорівнює нулю, тому й модуль середньої швидкості переміщення дорівнює нулю. Але середня шляхова швидкість при цьому не нульова — тіло ж рухалося! Це важливе розрізнення.

Залежність від проміжку часу

Середня швидкість завжди стосується конкретного проміжку часу. Для різних проміжків вона може бути різною. Наприклад, на початку руху середня швидкість автомобіля може бути 20 км/год, а через годину — вже 50 км/год. Тому завжди вказуй, для якого проміжку часу обчислено середню швидкість.

Типова задача — знайти середню швидкість, коли тіло рухається кількома ділянками з різними швидкостями. Розгляньмо загальний алгоритм і кілька важливих окремих випадків.

Загальний алгоритм

Нехай тіло пройшло $n$ ділянок. Для кожної ділянки відомі шлях $l_i$ і швидкість $v_i$ (або час $t_i$). Тоді:

1. Знайди час кожної ділянки: $t_i=l_i/v_i$ (якщо час не задано одразу).

2. Знайди весь шлях: $l=l_1+l_2+\cdots +l_n$.

3. Знайди весь час: $t=t_1+t_2+\cdots +t_n$.

4. Обчисли середню швидкість: $v_{\text{сер}}=l/t$.

Зручно складати таблицю:

Дві рівні ділянки шляху

Найчастіше в задачах трапляється випадок, коли тіло проходить дві рівні половини шляху з різними швидкостями $v_1$ і $v_2$. Позначимо весь шлях як $2l$ (тобто кожна половина — $l$). Тоді час на першій половині $t_1=l/v_1$, на другій $t_2=l/v_2$. Загальний час $t=l/v_1+l/v_2$. Середня швидкість:

$$v_{\text{сер}}=\frac{2l}{l/v_1+l/v_2}=\frac{2}{1/v_1+1/v_2}=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$$

Запам'ятай цю формулу. Наприклад, якщо першу половину шляху автомобіль їхав зі швидкістю 60 км/год, а другу — 40 км/год, то середня швидкість:

$$v_{\text{сер}}=\frac{2\cdot 60\cdot 40}{60+40}=\frac{4800}{100}=48\text{км/год}$$

Зверни увагу: 48 км/год, а не 50 км/год (середнє арифметичне 60 і 40). Чому так — розберемо в наступному розділі.

Два рівні проміжки часу

Якщо тіло рухається однакові проміжки часу $\tau$ з різними швидкостями $v_1$ і $v_2$, то шлях на першому проміжку $l_1=v_1\tau$, на другому $l_2=v_2\tau$. Загальний шлях $l=\tau (v_1+v_2)$, загальний час $t=2\tau$. Середня швидкість:

$$v_{\text{сер}}=\frac{\tau (v_1+v_2)}{2\tau }=\frac{v_1+v_2}{2}$$

Тобто для рівних проміжків часу середня швидкість справді дорівнює середньому арифметичному швидкостей. Для 60 км/год і 40 км/год протягом рівних проміжків часу середня швидкість становитиме 50 км/год.

Зупинка як ділянка руху

Зупинка — це ділянка, на якій швидкість дорівнює нулю, але час у загальний час руху входить. Наприклад: автомобіль проїхав 30 км за 0,5 год, потім стояв 0,5 год, а потім проїхав ще 30 км за 1 год. Загальний шлях 60 км, загальний час 2 год. Середня швидкість:

$$v_{\text{сер}}=\frac{60}{2}=30\text{км/год}$$

Якби не врахувати зупинку, час був би 1,5 год, а середня швидкість — 40 км/год, що неправильно.

Зворотна задача

Іноді відомі швидкість на першій половині шляху й середня швидкість, а треба знайти швидкість на другій половині. Використовуємо формулу $2v_1{v}_2/(v_1+v_2)=v_{\text{сер}}$ і розв'язуємо рівняння:

$$\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}=v_{\text{сер}}\Rightarrow 2v_1{v}_2=v_{\text{сер}}(v_1+v_2)\Rightarrow v_2=\frac{v_{\text{сер}}{v}_1}{2v_1-v_{\text{сер}}}$$

Наприклад, $v_1=60$ км/год, $v_{\text{сер}}=48$ км/год:

$$v_2=\frac{48\cdot 60}{2\cdot 60-48}=\frac{2880}{72}=40\text{км/год}$$

Багато учнів, побачивши дві швидкості, інстинктивно додають їх і ділять на два. Це помилка, яка коштує балів на НМТ. Розберімося, чому середнє арифметичне швидкостей не дорівнює середній шляховій швидкості для рівних ділянок шляху.

Час на ділянці з меншою швидкістю більший

Уявімо, що тобі треба пройти 120 км: перші 60 км зі швидкістю 60 км/год, а другі 60 км — зі швидкістю 30 км/год. На першу половину ти витратиш 1 год, на другу — 2 год. Отже, вдвічі довше ти рухаєшся з меншою швидкістю. Тому середня швидкість буде ближчою до 30 км/год, ніж до 60 км/год. Обчислимо:

$$v_{\text{сер}}=\frac{120}{1+2}=40\text{км/год}$$

Середнє арифметичне (60 + 30)/2 = 45 км/год — це більше за правильну відповідь. Чим більша різниця між швидкостями, тим помітніша похибка.

Середня швидкість завжди між найменшою й найбільшою

Середня шляхова швидкість завжди лежить між найменшою й найбільшою швидкостями на ділянках. Якщо була зупинка (швидкість 0), то середня швидкість буде меншою за найбільшу швидкість, але може бути меншою й за найменшу ненульову швидкість — адже зупинка «тягне» середню вниз.

Граничний випадок: якщо друга швидкість величезна

Цікаво, що навіть якщо другу половину шляху тіло проходить з величезною швидкістю, середня швидкість не може перевищити $2v_1$. Перевірмо: нехай $v_1=60$ км/год, а $v_2\to \infty$. Тоді час на другій половині прямує до нуля, і:

$$v_{\text{сер}}=\frac{2l}{l/v_1+0}=2v_1=120\text{км/год}$$

Тобто навіть миттєве «телепортування» другої половини дає лише подвоєну першу швидкість. Середнє арифметичне при цьому прямує до нескінченності — абсурд! Це доводить, що середнє арифметичне не працює для рівних ділянок шляху.

Коли середнє арифметичне правильне

Середнє арифметичне швидкостей дає правильну середню швидкість лише тоді, коли тіло рухається з цими швидкостями протягом рівних проміжків часу. У цьому випадку час на кожній ділянці однаковий, тому внесок кожної швидкості в загальний шлях однаковий.

Перевірка числами

Найпростіший спосіб уникнути помилки — взяти зручний шлях (наприклад, 120 км, бо він ділиться на 60 і 40) і порахувати час кожної ділянки:

$$v_{\text{сер}}=\frac{120}{2,5}=48\text{км/год}$$

Цей простий прийом рятує, коли сумніваєшся, яку формулу застосувати.

Розв'яжемо п'ять типових задач на середню швидкість. Перш ніж дивитися розв'язок, спробуй розв'язати самостійно.

Приклад 1. Дві половини шляху

Автомобіль першу половину шляху їхав зі швидкістю 90 км/год, а другу — 60 км/год. Знайди середню шляхову швидкість у км/год.

Розв'язання. Застосуємо формулу для двох рівних ділянок шляху:

$$v_{\text{сер}}=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}=\frac{2\cdot 90\cdot 60}{90+60}=\frac{10800}{150}=72\text{км/год}$$

Відповідь: 72 км/год.

Типова помилка: узяти середнє арифметичне (90 + 60)/2 = 75 км/год. Це неправильно, бо на другій половині з меншою швидкістю автомобіль їхав довше.

Приклад 2. Рух із зупинкою

Велосипедист 20 хв їхав зі швидкістю 18 км/год, потім 10 хв стояв, а далі 30 хв їхав зі швидкістю 12 км/год. Визнач середню шляхову швидкість велосипедиста.

Розв'язання. Переведемо хвилини в години: 20 хв = 1/3 год, 10 хв = 1/6 год, 30 хв = 1/2 год. Знайдемо шлях на кожній ділянці:

$l_1=18\cdot 1/3=6$ км; $l_2=0$ км (зупинка); $l_3=12\cdot 1/2=6$ км.

Загальний шлях: $l=6+0+6=12$ км. Загальний час: $t=1/3+1/6+1/2=1$ год.

$$v_{\text{сер}}=\frac{12}{1}=12\text{км/год}$$

Відповідь: 12 км/год.

Розберемо дистрактори (неправильні варіанти):

• 15 км/год — середнє арифметичне 18 і 12, без урахування зупинки.

• 14,4 км/год — якщо не врахувати час зупинки: шлях 12 км, час 5/6 год.

• 10 км/год — середнє арифметичне трьох чисел 18, 0 і 12.

Приклад 3. Нерівні проміжки часу

Тіло третину всього часу рухалося зі швидкістю 6 м/с, а решту часу — зі швидкістю 3 м/с. Знайди середню швидкість у м/с.

Розв'язання. Нехай загальний час дорівнює $t$. Тоді перша третина часу — $t/3$, решта — $2t/3$. Шлях на першому проміжку: $l_1=6\cdot t/3=2t$. Шлях на другому проміжку: $l_2=3\cdot 2t/3=2t$. Загальний шлях: $l=2t+2t=4t$.

$$v_{\text{сер}}=\frac{4t}{t}=4\text{м/с}$$

Відповідь: 4 м/с.

Можна було скористатися формулою зваженого середнього: $v_{\text{сер}}=(6\cdot 1+3\cdot 2)/3=4$ м/с.

Приклад 4. Коло стадіону

Бігун пробіг коло стадіону завдовжки 400 м за 80 с і фінішував у точці старту. Визнач середню шляхову швидкість і модуль середньої швидкості переміщення.

Розв'язання. Середня шляхова швидкість: $v_{\text{сер}}=l/t=400/80=5$ м/с. Переміщення дорівнює нулю (фініш у точці старту), тому модуль середньої швидкості переміщення дорівнює 0.

Відповідь: 5 м/с і 0.

Дистрактори:

• 5 м/с і 5 м/с — ігнорують, що переміщення нульове.

• 0 і 5 м/с — плутають, яка зі швидкостей яка.

• 5 м/с і 2,5 м/с — ділять швидкість навпіл без підстави.

Приклад 5. Зворотна задача

Першу половину шляху автобус їхав зі швидкістю 60 км/год. З якою швидкістю (км/год) він має проїхати другу половину, щоб середня швидкість становила 40 км/год?

Розв'язання. Використаємо формулу $2v_1{v}_2/(v_1+v_2)=v_{\text{сер}}$:

$$\frac{2\cdot 60\cdot v_2}{60+v_2}=40\Rightarrow 120v_2=40(60+v_2)\Rightarrow 120v_2=2400+40v_2\Rightarrow 80v_2=2400\Rightarrow v_2=30\text{км/год}$$

Відповідь: 30 км/год.

Перевірка: $2\cdot 60\cdot 30/(60+30)=3600/90=40$ км/год. Зверни увагу: щоб отримати середню 40 км/год при першій швидкості 60 км/год, друга швидкість має бути меншою за 40 км/год, адже на другій половині автобус їхатиме довше.

Зібрали типові помилки, яких припускаються учні під час обчислення середньої швидкості. Уникай їх — і завдання будуть твоїми.

• Завжди брати середнє арифметичне швидкостей. Це найчастіша помилка. Правильно: обчислюй весь шлях і весь час, а потім діли. Середнє арифметичне працює лише для рівних проміжків часу.

• Не враховувати час зупинки в загальному часі руху. Зупинка — це ділянка з нульовою швидкістю, але час у загальний час входить. Якщо тіло стояло 10 хв, ці 10 хв додавай до загального часу.

• Плутати рівні ділянки шляху з рівними проміжками часу. Для рівних ділянок шляху формула $2v_1{v}_2/(v_1+v_2)$, для рівних проміжків часу — $(v_1+v_2)/2$. Не переплутай!

• Ототожнювати середню шляхову швидкість з модулем середньої швидкості переміщення, коли тіло змінює напрямок. Якщо тіло повернулося в початкову точку, середня шляхова швидкість ненульова, а модуль середньої швидкості переміщення — нуль.

• Змішувати одиниці: хвилини з годинами, км/год з м/с. Завжди перетворюй час у години (якщо швидкість у км/год) або в секунди (якщо швидкість у м/с). Наприклад, 20 хв = 1/3 год, а не 0,2 год.

• Вважати показ спідометра середньою швидкістю поїздки. Спідометр показує миттєву швидкість у даний момент. Середня швидкість за всю поїздку може бути зовсім іншою, особливо якщо були зупинки.

Знай, як саме тебе перевірятимуть, — це допоможе правильно розподілити сили на тесті.

Формули в довідкових матеріалах

У довідкових матеріалах НМТ-2026 є формула середньої швидкості $v_{\text{сер}}=l/t$. Окремих формул для рівних ділянок шляху чи рівних проміжків часу там немає — їх треба виводити з $v_{\text{сер}}=l/t$ самостійно. Тому важливо розуміти логіку, а не просто заучувати формули.

Вимоги програми

Програма НМТ з фізики (тема 1.1 «Основи кінематики») окремо вимагає вміння розв'язувати задачі на середню й миттєву швидкість. Тому завдання на цю тему можуть трапитися в тесті.

Формати завдань

На НМТ завдання на середню швидкість можуть бути в двох формах:

• Вибір однієї відповіді з чотирьох (завдання № 1–14, 1 бал). Тобі дають чотири варіанти (А–Г), з яких один правильний.

• Коротка відповідь (завдання № 17–22, 0 або 2 бали). Треба вписати число в одиницях, указаних в умові (наприклад, у км/год або м/с). Відповідь може бути цілим числом або десятковим дробом.

Стратегія розв'язування

Найнадійніша стратегія — окремо обчислити весь шлях і весь час, а потім поділити. Не намагайся «усереднювати» швидкості — це майже завжди призводить до помилки. Якщо в задачі є зупинка, обов'язково додай її час до загального часу. Якщо сумніваєшся, яку формулу застосувати, візьми зручне число для шляху (наприклад, 120 км) і порахуй час кожної ділянки — це дасть правильну відповідь.

• Середня шляхова швидкість: $v_{\text{сер}}=l/t$, де $l$ — весь шлях, $t$ — весь час разом із зупинками.

• Для двох рівних ділянок шляху: $v_{\text{сер}}=2v_1{v}_2/(v_1+v_2)$.

• Для двох рівних проміжків часу: $v_{\text{сер}}=(v_1+v_2)/2$.

• Середня швидкість ближча до тієї швидкості, з якою тіло рухалося довше.

• Миттєва швидкість — швидкість у даний момент; її модуль показує спідометр.

• Середня шляхова швидкість і модуль середньої швидкості переміщення збігаються лише для руху по прямій в одному напрямку.

• Зупинка входить у загальний час руху з нульовою швидкістю.

• Середнє арифметичне швидкостей правильне тільки для рівних проміжків часу.