Рух зв’язаних тіл

У задачах на зв'язані тіла нитка й блок — не просто «мотузка з коліщатком». Вони мають дві ключові властивості, які спрощують розрахунки: нитка нерозтяжна й невагома, блок невагомий і працює без тертя. Розберімо кожну з цих ідеалізацій.

Нерозтяжна нитка

Якщо нитка не розтягується, то відстань між двома тілами, які вона з'єднує, не змінюється. Це означає, що будь-якої миті швидкості обох тіл однакові за модулем, а отже, однакові за модулем і їхні прискорення. Позначаємо спільне прискорення літерою a. Напрямки швидкостей і прискорень можуть бути різними (одне тіло їде вправо, друге — вниз), але числове значення a для обох одне й те саме.

Невагомі нитка й блок без тертя

Невагома нитка — це нитка, масою якої можна знехтувати. З другого закону Ньютона для ділянки такої нитки випливає, що сила натягу T однакова в будь-якому її перерізі. Невагомий блок без тертя в осі теж не змінює модуль сили натягу — він лише змінює її напрям. Тому з обох боків нерухомого блока нитка має ту саму силу натягу T. Важливо: нерухомий блок не дає виграшу в силі — він тільки «перекидає» нитку, дозволяючи тягти вантаж в іншому напрямку.

Внутрішні й зовнішні сили

Сила натягу нитки — це внутрішня сила для системи тіл, з'єднаних цією ниткою. Коли записуємо другий закон Ньютона для всієї системи як одного цілого, внутрішні сили взаємно скорочуються. Тому рівняння для системи загалом має вигляд:

$$(m_1 + m_2)a = F_{\text{зовн}}$$

де F_зовн — сума зовнішніх сил, що діють уздовж напрямку руху. Силу натягу T з цього рівняння знайти не можна — вона скоротилася. Її знаходять, записавши другий закон для одного з тіл окремо.

Алгоритм розв'язування

Цей алгоритм універсальний — він працює для будь-якої конфігурації зв'язаних тіл.

Найпростіша система зв'язаних тіл — два вантажі, з'єднані ниткою, перекинутою через нерухомий блок. Цю конструкцію називають машиною Атвуда. Вона дає змогу зрозуміти, як «працює» сила натягу, коли тіла рухаються з прискоренням.

Рівняння руху

Нехай маса лівого вантажу m₁ більша за масу правого m₂ (m₁ > m₂). Тоді важчий вантаж опускатиметься, а легший — підніматиметься. Обидва рухаються з однаковим за модулем прискоренням a. Запишемо другий закон Ньютона для кожного тіла окремо, обираючи вісь у напрямку руху кожного:

Для важчого вантажу (рух униз): $$m_1g - T = m_1a$$

Для легшого вантажу (рух угору): $$T - m_2g = m_2a$$

Тут T — сила натягу нитки, однакова з обох боків блока. Додамо ці два рівняння:

$$m_1g - m_2g = (m_1 + m_2)a$$

Звідси прискорення:

$$a = g \cdot \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$$

Щоб знайти силу натягу, підставимо a в будь-яке з рівнянь, наприклад у друге:

$$T = m_2(g + a) = m_2\left(g + g\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$$

Числовий приклад

Візьмемо m₁ = 3 кг, m₂ = 2 кг, g = 10 м/с². Сила тяжіння, що діє на важчий вантаж: m₁g = 30 Н; на легший: m₂g = 20 Н. Прискорення:

$$a = 10 \cdot \frac{3 - 2}{3 + 2} = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2\ \text{м/с}^2$$

Сила натягу:

$$T = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 10}{3 + 2} = \frac{120}{5} = 24\ \text{Н}$$

Зверни увагу: T = 24 Н — це значення лежить між m₂g = 20 Н і m₁g = 30 Н. Легший вантаж рухається вгору з прискоренням, тому сила натягу більша за його вагу; важчий вантаж рухається вниз з прискоренням, тому сила натягу менша за його вагу.

Окремий випадок: однакові маси

Якщо m₁ = m₂, то a = 0. Система або нерухома, або рухається рівномірно (якщо їй надали початкової швидкості). Сила натягу в цьому разі дорівнює вазі кожного вантажу: T = mg. Нитка діє на вісь блока із силою 2T — це сила, з якою блок кріпиться до опори.

Інша поширена конфігурація: брусок масою m₁ лежить на горизонтальному столі, а тягарець масою m₂ висить на нитці, перекинутій через блок, закріплений на краю стола. Тягарець рухається вертикально вниз, а брусок — горизонтально по столу. Обидва з'єднані нерозтяжною ниткою, тому мають однакове за модулем прискорення a.

Без тертя

Якщо стіл гладенький (тертя немає), на брусок діють: сила тяжіння m₁g (вертикально вниз), сила реакції опори N (вертикально вгору) і сила натягу T (горизонтально). По вертикалі сили зрівноважені: N = m₁g. По горизонталі другий закон Ньютона дає:

Для бруска: $$T = m_1a$$

Для тягарця: $$m_2g - T = m_2a$$

Додаємо рівняння:

$$m_2g = (m_1 + m_2)a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{m_2g}{m_1 + m_2}$$

Сила натягу: $$T = m_1a = \frac{m_1m_2g}{m_1 + m_2}$$

З тертям

Якщо між бруском і столом діє тертя ковзання з коефіцієнтом μ, то на брусок додатково діє сила тертя F_тер = μN = μm₁g, напрямлена проти руху. Рівняння для бруска:

$$T - \mu m_1g = m_1a$$

Для тягарця рівняння те саме: $$m_2g - T = m_2a$$

Додаємо:

$$m_2g - \mu m_1g = (m_1 + m_2)a \quad \Rightarrow \quad a = g\,\frac{m_2 - \mu m_1}{m_1 + m_2}$$

Сила натягу: $$T = m_1(a + \mu g)$$

Система рушить лише за умови m₂ > μm₁. Якщо m₂ ≤ μm₁, тіла залишаються нерухомими, сила натягу дорівнює вазі тягарця: T = m₂g.

Числовий приклад

Брусок масою m₁ = 3 кг на столі з μ = 0,2, тягарець масою m₂ = 2 кг, g = 10 м/с². Перевіряємо умову руху: μm₁ = 0,2 · 3 = 0,6 кг, m₂ = 2 кг > 0,6 кг — система рухається. Прискорення:

$$a = 10 \cdot \frac{2 - 0{,}2 \cdot 3}{3 + 2} = 10 \cdot \frac{2 - 0{,}6}{5} = 10 \cdot \frac{1{,}4}{5} = 2{,}8\ \text{м/с}^2$$

Сила натягу: $$T = 3 \cdot (2{,}8 + 0{,}2 \cdot 10) = 3 \cdot (2{,}8 + 2) = 3 \cdot 4{,}8 = 14{,}4\ \text{Н}$$

Перевірка через рівняння для тягарця: m₂g − T = 20 − 14,4 = 5,6 Н, а m₂a = 2 · 2,8 = 5,6 Н — збігається.

Третя типова задача: два бруски, з'єднані ниткою, тягнуть горизонтальною силою F, прикладеною до одного з них. Тут сила натягу нитки передає частину прикладеної сили другому бруску.

Гладка поверхня

Нехай сила F тягне брусок масою m₁, а той через нитку тягне брусок масою m₂. Поверхня гладка, тертя немає. Запишемо другий закон Ньютона для кожного бруска:

Для першого бруска: $$F - T = m_1a$$

Для другого бруска: $$T = m_2a$$

Додаємо рівняння: $$F = (m_1 + m_2)a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F}{m_1 + m_2}$$

Сила натягу: $$T = m_2a = \frac{m_2F}{m_1 + m_2}$$

Нитка передає частку сили, пропорційну масі тіла за нею. Чим більша маса m₂ порівняно із m₁, тим більша частка сили F передається через нитку.

З однаковим тертям

Якщо обидва бруски мають однаковий коефіцієнт тертя μ об поверхню, то рівняння набувають вигляду:

Для першого бруска: $$F - T - \mu m_1g = m_1a$$

Для другого бруска: $$T - \mu m_2g = m_2a$$

Додаємо: $$F - \mu g(m_1 + m_2) = (m_1 + m_2)a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F}{m_1 + m_2} - \mu g$$

Сила натягу залишається тією самою: $$T = m_2 \cdot \frac{F}{m_1 + m_2}$$

Чому тертя не впливає на T? Тому що сили тертя пропорційні масам, і в рівнянні для другого бруска μm₂g скорочується з частиною μm₂g із загального рівняння — результат залежить тільки від співвідношення мас.

Числовий приклад

Сила F = 12 Н тягне бруски масами 1 кг і 2 кг по гладкому столу. Прискорення: $$a = \frac{12}{1 + 2} = 4\ \text{м/с}^2$$

Якщо сила прикладена до легшого бруска (1 кг), то нитка тягне важчий (2 кг): $$T = \frac{2 \cdot 12}{1 + 2} = 8\ \text{Н}$$

Якщо сила прикладена до важчого бруска (2 кг), то нитка тягне легший (1 кг): $$T = \frac{1 \cdot 12}{1 + 2} = 4\ \text{Н}$$

Чим більша маса бруска, який тягне нитка (тобто маса за ниткою), тим більша сила натягу.

Аналогія: потяг з вагонами

Уявіть потяг, де локомотив тягне кілька вагонів. Сила натягу зчіпки між локомотивом і першим вагоном найбільша, бо за нею — маса всіх вагонів. Чим далі від локомотива, тим менша маса позаду зчіпки, тим менша сила натягу. Це той самий принцип: T = m_зач · F / m_заг, де m_зач — маса тіл за зчіпкою.

Приклад 1. Прискорення вантажів на блоці

Умова: вантажі масами 5 кг і 3 кг перекинуто через невагомий нерухомий блок. g = 10 м/с². Знайди прискорення вантажів у м/с².

Розв'язання: важчий вантаж (5 кг) опускається, легший (3 кг) піднімається. Записуємо рівняння:

$$5g - T = 5a, \quad T - 3g = 3a$$

Додаємо: $$5g - 3g = (5 + 3)a \;\Rightarrow\; 2g = 8a \;\Rightarrow\; a = \frac{2 \cdot 10}{8} = 2{,}5\ \text{м/с}^2$$

Відповідь: 2,5 м/с².

Типова помилка: узяти a = g·(m₁ − m₂)/m₁ або забути, що в знаменнику сума мас, а не різниця.

Приклад 2. Сила натягу для бруска на столі

Умова: брусок масою 4 кг на гладкому столі з'єднано ниткою через блок з тягарцем масою 1 кг. g = 10 м/с². Знайди силу натягу нитки в ньютонах.

Розв'язання: спочатку знаходимо прискорення:

$$a = \frac{m_2g}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 10}{4 + 1} = \frac{10}{5} = 2\ \text{м/с}^2$$

Сила натягу з рівняння для бруска: $$T = m_1a = 4 \cdot 2 = 8\ \text{Н}$$

Відповідь: 8 Н.

Перевірка через тягарець: m₂g − T = 10 − 8 = 2 Н = m₂a = 1 · 2 Н — усе збігається.

Приклад 3. Сила натягу для вантажів на блоці

Умова: вантажі масами 2 кг і 3 кг на нитці через нерухомий блок рухаються з прискоренням (g = 10 м/с²). Визнач силу натягу нитки.

Розв'язання: m₁ = 3 кг (важчий), m₂ = 2 кг (легший). Прискорення:

$$a = g\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = 10 \cdot \frac{3 - 2}{3 + 2} = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2\ \text{м/с}^2$$

Сила натягу:

$$T = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 10}{5} = \frac{120}{5} = 24\ \text{Н}$$

Відповідь: 24 Н.

Чому не 20 Н (сила тяжіння легшого вантажу)? Бо легший вантаж рухається вгору з прискоренням — сила натягу має бути більшою за його вагу. Чому не 30 Н (сила тяжіння важчого)? Бо важчий вантаж рухається вниз з прискоренням — сила натягу менша за його вагу. Чому не 50 Н (сума сил тяжіння)? Бо сили тяжіння діють у протилежних напрямках і не додаються.

Приклад 4. Бруски, які тягнуть горизонтально

Умова: два бруски масами 1 кг і 3 кг, з'єднані ниткою, тягнуть гладким столом горизонтальною силою 20 Н, прикладеною до легшого бруска. Знайди силу натягу нитки в ньютонах.

Розв'язання: сила прикладена до m₁ = 1 кг, нитка тягне m₂ = 3 кг. Прискорення:

$$a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{20}{1 + 3} = 5\ \text{м/с}^2$$

Сила натягу: $$T = m_2a = 3 \cdot 5 = 15\ \text{Н}$$

Або за формулою: $$T = \frac{m_2F}{m_1 + m_2} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15\ \text{Н}$$

Відповідь: 15 Н.

Зверни увагу: сила натягу (15 Н) більша за половину прикладеної сили, бо нитка тягне важчий брусок. Якби сила була прикладена до важчого бруска, натяг був би меншим: T = 1 · 20 / 4 = 5 Н.

Приклад 5. Чи рушить система з тертям?

Умова: брусок масою 5 кг на столі (коефіцієнт тертя μ = 0,3) з'єднано ниткою через блок з тягарцем масою 1 кг. g = 10 м/с². Що відбуватиметься?

Розв'язання: перевіряємо умову руху. Система рушить, якщо m₂ > μm₁. Маємо μm₁ = 0,3 · 5 = 1,5 кг, а m₂ = 1 кг. Оскільки 1 < 1,5, система не рушить — вона залишиться нерухомою.

У стані спокою сила натягу нитки дорівнює вазі тягарця: T = m₂g = 1 · 10 = 10 Н. Сила тертя спокою врівноважує силу натягу, і брусок не рухається.

Відповідь: система лишиться нерухомою, сила натягу 10 Н.

Чому не 1,67 м/с²? Це прискорення без урахування тертя (a = m₂g/(m₁ + m₂) = 10/6 ≈ 1,67), але тертя є, і воно більше за рушійну силу. Чому не −0,83 м/с²? Формальна підстановка в формулу з тертям дає a = 10·(1 − 0,3·5)/(6) = 10·(−0,5)/6 ≈ −0,83, але це не має фізичного сенсу — система не рухається в протилежний бік, вона просто стоїть. Чому не 0 Н? Сила натягу не може дорівнювати нулю, бо тягарець висить і його вага розтягує нитку.

• Вважати силу натягу рівною вазі підвішеного вантажу під час руху системи. Насправді: коли система рухається з прискоренням, сила натягу не дорівнює вазі — вона більша за вагу легшого вантажу (який прискорюється вгору) і менша за вагу важчого (який прискорюється вниз). Рівність T = mg виконується лише в стані спокою або рівномірного руху.

• Шукати силу натягу з рівняння для всієї системи, де вона скорочується. Насправді: рівняння для системи загалом дає лише прискорення. Силу натягу знаходять, підставляючи a в рівняння для одного з тіл.

• Брати для обох вантажів на блоці одну вісь і губити знаки. Насправді: для кожного тіла обирають вісь у напрямку його руху. Для вантажу, що опускається, вісь униз — тоді m₁g − T = m₁a. Для вантажу, що піднімається, вісь угору — тоді T − m₂g = m₂a. Якщо взяти для обох одну вісь униз, знак при T у другому рівнянні буде неправильним.

• Додавати силу тяжіння бруска на столі до сил, що рухають систему. Насправді: сила тяжіння бруска на столі напрямлена вертикально вниз, а рух — горизонтальний. Вона не впливає на рух по горизонталі, її врівноважує сила реакції опори.

• Не перевіряти, чи рушить система, коли є тертя. Насправді: за наявності тертя спочатку перевіряють умову m₂ > μm₁. Якщо вона не виконується, система нерухома, і T = m₂g. Підставляти в формулу для a без перевірки — груба помилка.

• Вважати, що нерухомий блок дає виграш у силі. Насправді: нерухомий блок лише змінює напрям сили натягу, не змінюючи її модуля. Виграш у силі дає рухомий блок; у цьому уроці ми розглядаємо системи з нерухомим блоком.

Окремих формул для зв'язаних тіл у довідкових матеріалах НМТ-2026 немає. Там є лише другий закон Ньютона, сила тяжіння й сила тертя ковзання — з цих трьох законів ти складаєш систему рівнянь самостійно.

Програма НМТ з фізики (тема 1.2 «Основи динаміки») вимагає вміти розв'язувати задачі на рух зв'язаних тіл і пояснювати дію блоків. Це означає, що завдання на цю тему можуть з'явитися в будь-якому варіанті.

Форма завдань

• Прискорення системи або сила натягу нитки можуть бути завданнями з короткою відповіддю (номери 17–22, 0 або 2 бали).

• Відповідь може бути десятковим дробом: наприклад, 2,5 або 14,4.

• Можливе також завдання вибором однієї правильної відповіді з чотирьох (1 бал).

Стратегія розв'язування

1. Для кожного тіла зроби окремий рисунок із позначеними силами.

2. Для кожного тіла запиши своє рівняння другого закону Ньютона.

3. Додай рівняння, щоб знайти спільне прискорення a.

4. Підстав a в найпростіше з рівнянь, щоб знайти силу натягу T.

Якщо в задачі є тертя, спершу перевір, чи рушить система взагалі. Не підставляй числа в формулу для a, не переконавшись, що рушійна сила перевищує максимальну силу тертя спокою.

• Для кожного тіла — окреме рівняння другого закону Ньютона.

• Нерозтяжна нитка — однакове прискорення; невагомі нитка й блок — однакова сила натягу.

• Два вантажі на блоці: a = g(m₁ − m₂)/(m₁ + m₂), T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂).

• Брусок на столі й тягарець: a = g(m₂ − μm₁)/(m₁ + m₂); рух лише за m₂ > μm₁.

• Бруски, які тягнуть горизонтально: T = m₂F/(m₁ + m₂).

• Під час руху сила натягу не дорівнює вазі вантажу.