Робота і потужність струму. Закон Джоуля–Ленца

Коли електричний струм проходить через провідник, електричне поле виконує роботу з переміщення зарядів. Цю роботу називають роботою струму. Вона дорівнює добутку напруги на ділянці, сили струму та часу проходження струму:

$$A=U\cdot I\cdot t$$

Оскільки заряд, що пройшов через ділянку, дорівнює q = I·t, ту саму роботу можна записати як A = q·U. Одиниця роботи в СІ — джоуль (Дж).

Потужність струму

Потужність показує, як швидко виконується робота. Для електричного струму:

$$P=\frac{A}{t}=U\cdot I$$

Одиниця потужності — ват (Вт). Один ват дорівнює одному джоулю за секунду: 1 Вт = 1 Дж/с.

Формули потужності через опір

За законом Ома для ділянки кола U = I·R. Підставивши це у формулу потужності, отримуємо два додаткові вирази:

$$P=I^{2}R=\frac{U^2}{R}$$

У довідкових матеріалах НМТ наведено лише формули P = UI та Q = I²Rt, тому вирази P = I²R і P = U²/R потрібно вміти виводити самостійно, комбінуючи закон Ома з формулою потужності.

Як вибрати зручну формулу

Вибір формули залежить від того, яка величина в колі однакова:

• Якщо струм однаковий (послідовне з'єднання), зручно користуватися P = I²R — потужність пропорційна опору.

• Якщо напруга однакова (паралельне з'єднання), зручно користуватися P = U²/R — потужність обернено пропорційна опору.

Приклад: лампа розжарення

Лампа потужністю 60 Вт, розрахована на напругу 220 В. Сила струму в ній:

$$I=\frac{P}{U}=\frac{60}{220}\approx 0,27\text{А}$$

Опір розжареної нитки в робочому режимі:

$$R=\frac{U^2}{P}=\frac{220^2}{60}\approx 807\text{Ом}$$

Зверни увагу: опір холодної нитки вольфраму в десятки разів менший, але в робочому стані через високу температуру (близько 2500 °C) опір різко зростає.

Вартість електроенергії

На практиці роботу струму часто вимірюють у кіловат-годинах (кВт·год). Співвідношення:

$$1\text{кВт⋅год}=1000\text{Вт}\cdot 3600\text{с}=3,6\cdot 10^6\text{Дж}$$

Вартість електроенергії обчислюють як добуток спожитої енергії в кВт·год на тариф. Наприклад, електропраска потужністю 1 кВт, яка працює 2 год, споживає A = P·t = 1·2 = 2 кВт·год.

У 1840-х роках англійський фізик Джеймс Прескотт Джоуль і фізик Емілій (Генріх) Ленц, який працював у Російській імперії, незалежно один від одного встановили закон, який визначає кількість теплоти, що виділяється в провіднику під час проходження електричного струму.

Закон Джоуля–Ленца: кількість теплоти, яка виділяється в провіднику зі струмом, прямо пропорційна квадрату сили струму, опору провідника та часу проходження струму:

$$Q=I^2\cdot R\cdot t$$

Одиниця вимірювання — джоуль (Дж).

Коли вся робота струму йде на нагрівання

Якщо провідник не виконує механічної роботи і в ньому не відбуваються хімічні реакції (нагрівач, резистор, лампа розжарення), то вся робота струму перетворюється на теплоту:

$$Q=A=UIt=\frac{U^{2}t}{R}=I^{2}Rt$$

У таких пристроях, як електродвигун або електролізер, частина роботи струму витрачається на механічну роботу або хімічні перетворення, тому A > Q. До них закон Джоуля–Ленца застосовують лише до тієї частини енергії, яка перетворюється на теплоту.

Приклад розрахунку

Резистор опором 50 Ом, сила струму 2 А, час 10 хвилин. Спочатку переведемо хвилини в секунди: t = 10 · 60 = 600 с. Тоді:

$$Q=I^{2}Rt=2^2\cdot 50\cdot 600=4\cdot 50\cdot 600=120000\text{Дж}=120\text{кДж}$$

Зв'язок із тепловим балансом

У задачах закон Джоуля–Ленца можна поєднувати з рівнянням теплового балансу. Наприклад, для нагрівання води електрочайником:

$$\eta \cdot P\cdot t=c\cdot m\cdot \Delta t$$

де η — коефіцієнт корисної дії (ККД) чайника, P — його потужність, t — час, c — питома теплоємність води, m — маса води, Δt — зміна температури. Ліва частина — це теплота, яку виділив нагрівальний елемент (з урахуванням втрат), права — теплота, отримана водою.

Кількість теплоти, що виділяється в провіднику, залежить не тільки від його опору, а й від того, як провідник увімкнено в коло — послідовно чи паралельно. Розгляньмо обидва випадки.

Послідовне з'єднання

У послідовному з'єднанні сила струму I однакова в усіх провідниках. Тому для порівняння тепловиділення зручно використовувати формулу Q = I²Rt. Оскільки I і t однакові, кількість теплоти прямо пропорційна опору:

$$Q\sim R(\text{при однаковому }I)$$

Висновок: у послідовному колі більше теплоти виділяє провідник з більшим опором.

Паралельне з'єднання

У паралельному з'єднанні напруга U однакова на всіх провідниках. Тому зручно використовувати формулу Q = U²t/R. Оскільки U і t однакові, кількість теплоти обернено пропорційна опору:

$$Q\sim \frac{1}{R}(\text{при однаковому }U)$$

Висновок: у паралельному колі більше теплоти виділяє провідник з меншим опором.

Приклад із лампами розжарення

Візьмімо дві лампи, розраховані на напругу 220 В: потужністю 60 Вт і 100 Вт. Їхні опори в робочому режимі:

$$R_{60}=\frac{U^2}{P_{60}}=\frac{220^2}{60}\approx 807\text{Ом}$$

$$R_{100}=\frac{U^2}{P_{100}}=\frac{220^2}{100}\approx 484\text{Ом}$$

Отже, лампа 60 Вт має більший опір, ніж лампа 100 Вт.

У розрахунках опори ламп вважають сталими. Насправді нитки в послідовному колі холодніші й мають менший опір, але якісний висновок не змінюється.

Зміна опору за сталої ЕРС

Якщо джерело живлення має сталу ЕРС і внутрішнім опором можна знехтувати, то напруга на провіднику стала, і зменшення опору провідника збільшує силу струму (за законом Ома I = U/R), а отже, і кількість теплоти, що виділяється. Наприклад, якщо опір зменшити вдвічі, струм зросте вдвічі, а теплота Q = I²Rt збільшиться теж удвічі: I² зростає в 4 рази, але R зменшується вдвічі. Те саме одразу видно з формули Q = U²t/R: за сталої напруги теплота обернено пропорційна опору. Тому важливо чітко розуміти, яка величина в задачі залишається сталою.

Теплова дія електричного струму широко використовується в побутових і промислових пристроях. Розгляньмо основні з них.

Електронагрівальні прилади

Чайник, праска, обігрівач, тостер — усі вони працюють завдяки закону Джоуля–Ленца. Їхній головний елемент — нагрівальний елемент, виготовлений із матеріалу з великим питомим опором і високою температурою плавлення. Найпоширеніший такий матеріал — ніхром (сплав нікелю та хрому).

Чому саме великий опір? Адже за законом Джоуля–Ленца Q = I²Rt, теплота пропорційна опору. Якби нагрівальний елемент мав малий опір, він майже не нагрівався б, а струм у колі був би надто великим.

Чому дроти не нагріваються?

З'єднувальні дроти виготовляють із міді або алюмінію — матеріалів із дуже малим питомим опором. Тому навіть за значного струму в них виділяється незначна кількість теплоти, і вони майже не нагріваються.

Однак перегрів дротів може виникнути через дві причини:

• Перевантаження — коли сила струму перевищує допустиму для даного перерізу дроту.

• Поганий контакт — у місці поганого з'єднання опір різко зростає, і там виділяється багато теплоти, що може спричинити займання.

Плавкий запобіжник

Плавкий запобіжник — це пристрій для захисту електричного кола від надмірного струму. Він являє собою тонкий дріт із легкоплавкого металу (наприклад, свинцю або олова). Коли сила струму перевищує допустиме значення, дріт нагрівається до температури плавлення, розплавляється і розмикає коло. Так запобіжник запобігає перегріву проводки та пожежі.

Лампа розжарення

Лампа розжарення — класичний приклад теплової дії струму. Тонка нитка з вольфраму нагрівається до температури близько 2500 °C і починає випромінювати світло. Однак більшу частину енергії (близько 90–95 %) лампа випромінює як невидиме інфрачервоне (теплове) випромінювання. На видиме світло припадає лише кілька відсотків спожитої енергії. Саме тому лампи розжарення мають низький ККД і їх поступово замінюють світлодіодними та енергоощадними лампами.

Схематичне порівняння

Розв'яжемо кілька типових задач, які можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Потужність чайника

Електричний чайник увімкнено в мережу з напругою 220 В. Сила струму в нагрівальному елементі становить 5 А. Визнач потужність чайника у ватах.

Розв'язання:

Потужність струму обчислюємо за формулою P = UI. Підставляємо значення:

$$P=220\text{В}\cdot 5\text{А}=1100\text{Вт}$$

Відповідь: 1100 Вт.

Типова помилка: плутати формули потужності й роботи. Якби питали роботу за певний час, треба було б помножити ще на час. Тут питають саме потужність, тому P = UI.

Приклад 2. Теплота в резисторі

Резистор опором 50 Ом під'єднано до джерела струму. Сила струму в резисторі 2 А. Яка кількість теплоти виділиться в резисторі за 10 хвилин? Відповідь подай у кілоджоулях.

Розв'язання:

За законом Джоуля–Ленца: Q = I²Rt. Спочатку переведемо час у секунди: t = 10 · 60 = 600 с.

$$Q=2^2\cdot 50\cdot 600=4\cdot 50\cdot 600=120000\text{Дж}=120\text{кДж}$$

Відповідь: 120 кДж.

Типова помилка: не перевести хвилини в секунди. Якщо підставити t = 10 хв, отримаємо 2000 Дж = 2 кДж — неправильно.

Приклад 3. Лампи в послідовному колі

Дві лампи розжарення, розраховані на напругу 220 В, мають потужності 60 Вт і 100 Вт. Їх з'єднали послідовно й увімкнули в мережу 220 В. Опори ламп вважати сталими. Яка з ламп світитиме яскравіше?

Розв'язання:

Спочатку визначимо опори ламп у робочому режимі:

$$R_{60}=\frac{U^2}{P_{60}}=\frac{220^2}{60}\approx 807\text{Ом}$$

$$R_{100}=\frac{U^2}{P_{100}}=\frac{220^2}{100}\approx 484\text{Ом}$$

Отже, лампа 60 Вт має більший опір. У послідовному з'єднанні сила струму однакова в обох лампах. Потужність, а отже, яскравість визначаємо за формулою P = I²R. Оскільки струм однаковий, потужність більша в лампи з більшим опором — тобто в лампи 60 Вт.

Відповідь: яскравіше світить лампа на 60 Вт.

Поширена помилка: вважати, що лампа 100 Вт завжди світить яскравіше, адже вона потужніша за номіналом. Але номінальна потужність указана для паралельного ввімкнення (напруга 220 В). У послідовному колі умови змінюються.

Приклад 4. Зміна опору за сталої напруги

Напруга на ділянці кола стала. Як зміниться кількість теплоти, що виділяється в провіднику за певний час, якщо його опір зменшити вдвічі?

Розв'язання:

Оскільки напруга U стала, зручно скористатися формулою Q = U²t/R. Час t також не змінюється. Тому теплота обернено пропорційна опору:

$$Q\sim \frac{1}{R}$$

Якщо опір зменшити вдвічі (R₂ = R₁/2), то теплота збільшиться вдвічі:

$$Q_2=\frac{U^{2}t}{R_2}=\frac{U^{2}t}{R_1/2}=2\cdot \frac{U^{2}t}{R_1}=2Q_1$$

Відповідь: теплота збільшиться вдвічі.

Типова помилка: застосувати формулу Q = I²Rt і міркувати, що зі зменшенням опору вдвічі теплота зменшиться вдвічі. Але ж зі зменшенням опору зростає сила струму (за законом Ома I = U/R), і цей ефект треба враховувати. Формула Q = U²t/R уже враховує зміну струму через опір.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на роботу й потужність струму та закон Джоуля–Ленца.

• Вибирати формулу потужності, не з'ясувавши, що в колі однакове — струм чи напруга. Правильно: спочатку визнач тип з'єднання. Якщо струм однаковий (послідовно), використовуй P = I²R. Якщо напруга однакова (паралельно), використовуй P = U²/R.

• Вважати, що лампа з більшою потужністю завжди світить яскравіше, незалежно від з'єднання. Правильно: номінальна потужність (60 Вт, 100 Вт) указана для роботи за номінальної напруги (220 В). У послідовному колі лампа з більшим опором (60 Вт) світить яскравіше, ніж лампа з меншим опором (100 Вт).

• Застосовувати Q = I²Rt до двигуна, де частина роботи йде на механічну енергію. Правильно: закон Джоуля–Ленца описує лише теплову частину енергії. У двигуні A > Q, оскільки частина роботи струму перетворюється на механічну енергію.

• Плутати кВт і кВт·год. Правильно: кіловат (кВт) — одиниця потужності, кіловат-година (кВт·год) — одиниця енергії (роботи). Співвідношення: 1 кВт·год = 3,6·10⁶ Дж.

• Не переводити хвилини й години в секунди. Правильно: у формулах A = UIt та Q = I²Rt час t має бути в секундах. Хвилини множ на 60, години — на 3600.

Тема «Робота і потужність струму. Закон Джоуля–Ленца» входить до розділу 3.2 «Закони постійного струму» програми НМТ з фізики. Розгляньмо, у якому форматі вона трапляється на тестуванні.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 8 (тема 3.2) — це завдання вибору однієї відповіді з чотирьох, яке оцінюється в 1 бал. У ньому перевіряють уміння аналізувати, як зміна опору провідника впливає на теплову дію струму за сталої ЕРС джерела.

Довідкові матеріали

На НМТ тобі нададуть довідкові матеріали, які містять такі формули:

• A = UIt — робота струму

• P = UI — потужність струму

• Q = I²Rt — закон Джоуля–Ленца

Зверни увагу: формул P = I²R та P = U²/R у довідці немає. Їх потрібно вміти виводити самостійно, комбінуючи закон Ома для ділянки кола (I = U/R) із формулою потужності P = UI.

Стратегія розв'язування

Щоб успішно розв'язати задачу на НМТ, дотримуйся такого алгоритму:

1. Уважно прочитай умову та визнач, яка величина в колі залишається сталою: напруга U чи сила струму I.

2. Відповідно до сталої величини вибери формулу потужності: якщо сталий струм — P = I²R; якщо стала напруга — P = U²/R.

3. Якщо питають про кількість теплоти, скористайся законом Джоуля–Ленца Q = I²Rt або його похідною формою Q = U²t/R.

4. Перевір, чи всі величини в системі СІ: час у секундах, опір в омах, напруга у вольтах.

Пам'ятай: якщо в задачі сказано «напруга стала», використовуй формули з U² у чисельнику. Якщо «струм однаковий» або «послідовне з'єднання» — використовуй формули з I².

• Робота струму: A = UIt = qU. Одиниця — джоуль (Дж).

• Потужність струму: P = UI = I²R = U²/R. Одиниця — ват (Вт).

• Закон Джоуля–Ленца: Q = I²Rt. Якщо вся робота йде на нагрівання, то Q = A.

• Послідовне з'єднання (I однакова): більше теплоти виділяє провідник з більшим опором.

• Паралельне з'єднання (U однакова): більше теплоти виділяє провідник з меншим опором.

• 1 кВт·год = 3,6·10⁶ Дж = 3,6 МДж.

• Нагрівальні елементи роблять із матеріалів із великим питомим опором (ніхром).

• Плавкий запобіжник розмикає коло, коли струм перевищує допустимий.