Робота газу в термодинаміці

Коли газ міститься в циліндрі під рухомим поршнем, він може розширюватися або стискатися. Під час розширення газ переміщує поршень — отже, виконує механічну роботу над зовнішніми тілами. Це одна з ключових ідей термодинаміки: газ здатний перетворювати частину своєї внутрішньої енергії на роботу.

Знак роботи газу

Робота газу A залежить від того, чи змінюється його об'єм:

• якщо газ розширюється (ΔV > 0), то A > 0 — газ виконує додатну роботу;

• якщо газ стискають (ΔV < 0), то A < 0 — газ виконує від'ємну роботу, тобто зовнішні сили виконують роботу над газом;

• якщо об'єм не змінюється (ΔV = 0, ізохорний процес), то A = 0.

Це випливає з механічного означення роботи. Тиск p діє на поршень площею S із силою F = pS. Коли поршень переміщується на Δh, об'єм змінюється на ΔV = S·Δh. Тоді робота газу дорівнює:

A = F·Δh = pS·Δh = p·ΔV

Отже, за сталого тиску робота газу — це добуток тиску на зміну об'єму. Формулу A = pΔV можна застосовувати лише тоді, коли тиск залишається сталим (ізобарний процес). У загальному випадку роботу знаходять як площу під графіком залежності тиску від об'єму.

Робота газу і робота зовнішніх сил

Важливо розрізняти два позначення:

• A — робота, яку виконує газ над зовнішніми тілами (саме так позначено в довідкових матеріалах НМТ і в демоваріанті);

• A′ = −A — робота, яку виконують зовнішні тіла над газом.

Наприклад, коли газ стискають, A < 0, а A′ > 0 — зовнішня сила виконує додатну роботу, стискаючи газ. У деяких підручниках позначення можуть бути протилежними, тому завжди уважно читай умову задачі.

Робота залежить від процесу

Робота газу — це не функція стану, а функція процесу. Це означає, що між тими самими початковим і кінцевим станами газ може виконати різну роботу залежно від того, яким шляхом він переходив. Наприклад, зі стану 1 у стан 2 газ може перейти спочатку ізобарно, а потім ізохорно, або спочатку ізохорно, а потім ізобарно. Робота в цих двох випадках різна, хоча початковий і кінцевий стани однакові.

Ізобарним називають процес, який відбувається за сталого тиску (p = const). Це найпростіший випадок для обчислення роботи, оскільки тиск не змінюється, і формула A = p·ΔV стає прямою.

Формули для ізобарного процесу

За p = const роботу газу обчислюють так:

A = p·(V₂ − V₁) = p·ΔV

Якщо скористатися рівнянням стану ідеального газу p·ΔV = ν·R·ΔT, то отримаємо ще одну зручну формулу:

A = ν·R·ΔT

Тут ν — кількість речовини (моль), R = 8,31 Дж/(моль·К) — універсальна газова стала, ΔT — зміна температури (К). Ця формула показує, що в ізобарному процесі робота газу прямо пропорційна зміні температури.

Приклади обчислення

Приклад 1. 2 моль газу нагріли на 50 К ізобарно. Робота газу:

A = 2·8,31·50 = 831 Дж

Приклад 2. Газ у циліндрі під поршнем розширився ізобарно від 2 л до 5 л за тиску 200 кПа. Спочатку переведемо одиниці в СІ: 1 л = 10⁻³ м³, 1 кПа = 10³ Па. Тоді ΔV = (5 − 2)·10⁻³ = 3·10⁻³ м³, p = 200·10³ Па.

A = 200·10³·3·10⁻³ = 600 Дж

Зверни увагу: можна працювати й в узгоджених одиницях л·кПа, адже 1 л·кПа = 1 Дж. Тоді A = 200·3 = 600 Дж — той самий результат.

Ізобарне стиснення

Якщо газ стискають ізобарно, то ΔV < 0, тому A < 0. Наприклад, газ стиснули від 4 л до 1 л за тиску 100 кПа: A = 100·10³·(1 − 4)·10⁻³ = −300 Дж. Від'ємна робота означає, що газ не виконує роботу, а навпаки — зовнішні сили виконують роботу над газом: A′ = −A = 300 Дж.

Одиниці вимірювання

Найпоширеніша помилка — не перевести літри в кубічні метри або кілопаскалі в паскалі. Запам'ятай: 1 л = 10⁻³ м³, 1 кПа = 10³ Па. Якщо об'єм у літрах, а тиск у кілопаскалях, то добуток одразу дає джоулі.

На діаграмі p–V (тиск — об'єм) робота газу чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком процесу, віссю V і вертикальними лініями, проведеними через початковий і кінцевий об'єми. Це випливає з інтегрального означення роботи: A = ∫p·dV, а площа під кривою — це саме той інтеграл.

Прямокутник — ізобарний процес

Коли тиск не змінюється, графік — горизонтальна лінія. Фігура під ним — прямокутник заввишки p і завширшки ΔV. Площа прямокутника:

A = p·ΔV

Це й є формула роботи для ізобарного процесу.

Трапеція — лінійна зміна тиску

Якщо тиск змінюється лінійно (графік — похила пряма), фігура під ним — трапеція. Площа трапеції дорівнює добутку середнього арифметичного тисків на зміну об'єму:

A = (p₁ + p₂)/2 · ΔV

Приклад: газ розширюється від 1 л до 4 л, при цьому тиск лінійно зменшується від 300 кПа до 100 кПа. Зміна об'єму ΔV = 3 л = 3·10⁻³ м³. Середній тиск (300 + 100)/2 = 200 кПа = 200·10³ Па. Робота:

A = (300 + 100)/2·10³ · 3·10⁻³ = 200·10³ · 3·10⁻³ = 600 Дж

Той самий результат можна отримати, розбивши фігуру на прямокутник (100 кПа · 3 л = 300 Дж) і трикутник (200 кПа · 3 л / 2 = 300 Дж), а потім додавши площі.

Ізохорний процес — нульова робота

За ізохорного процесу (V = const) графік — вертикальна лінія. Площа під вертикальною лінією дорівнює нулю, тому A = 0. Це відповідає тому, що газ не змінює об'єму й не переміщує поршень.

Як рахувати площу за клітинками

На НМТ графік може бути поданий на сітці. У таких завданнях:

• визнач ціну поділки осей (скільки Па або кПа в одній клітинці по вертикалі, скільки м³ або л в одній клітинці по горизонталі);

• порахуй кількість клітинок під графіком (цілих + половини);

• помнож кількість клітинок на ціну поділки за обома осями.

Наприклад, якщо одна клітинка по вертикалі відповідає 50 кПа, а по горизонталі — 0,5 л, то площа однієї клітинки: 50·10³ · 0,5·10⁻³ = 25 Дж. Якщо під графіком 24 клітинки, то A = 24·25 = 600 Дж.

Узгоджені одиниці

Пам'ятай: якщо тиск задано в кілопаскалях (кПа), а об'єм — у літрах (л), то площа під графіком одразу виходить у джоулях, бо 1 кПа·л = 1 Дж. Цим зручно користуватися в задачах, щоб спростити обчислення.

Замкнений цикл на діаграмі p–V — це контур, по якому газ проходить, повертаючись у початковий стан. Робота газу за цикл чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої цим контуром.

Знак роботи за цикл

Напрям обходу циклу визначає знак роботи:

• якщо цикл обходять за годинниковою стрілкою, то A > 0 — газ виконує додатну роботу;

• якщо цикл обходять проти годинникової стрілки, то A < 0 — зовнішні сили виконують роботу над газом.

Чому так? Ділянка розширення на діаграмі розташована вище (більший тиск), ніж ділянка стиснення. Тому додатна робота розширення за модулем більша за від'ємну роботу стиснення. Різниця цих площ і дає роботу за цикл.

Приклад: цикл-прямокутник

Розглянемо цикл у вигляді прямокутника на p–V. Нехай тиск змінюється від 200 кПа до 300 кПа, а об'єм — від 2 л до 4 л. Тоді ΔV = 2 л = 2·10⁻³ м³, Δp = 100 кПа = 100·10³ Па. Робота за цикл:

A_цикл = Δp·ΔV = 100·10³·2·10⁻³ = 200 Дж

Якщо цей самий цикл обходити в протилежному напрямі, робота буде −200 Дж.

Зв'язок із першим законом термодинаміки

За цикл внутрішня енергія газу повертається до початкового значення, тобто ΔU = 0. Згідно з першим законом термодинаміки Q = ΔU + A, отже Q = A. Це означає, що робота газу за цикл дорівнює різниці між кількістю теплоти, отриманою від нагрівника, і кількістю теплоти, відданою холодильнику: A = Q_нагр − Q_хол.

Складніші цикли

Якщо цикл має форму, відмінну від прямокутника (наприклад, трикутник або коло), роботу знаходять як площу відповідної геометричної фігури. Якщо цикл складається з відрізків прямих, площу можна обчислити як суму площ простих фігур.

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ на тему роботи газу. Кожне розв'язано покроково.

Приклад 1. Ізобарне розширення (коротка відповідь)

Умова: Газ під поршнем розширився ізобарно за тиску 150 кПа від 2 л до 6 л. Знайди роботу газу в джоулях.

Розв'язання:

1. Записуємо формулу для ізобарного процесу: A = p·ΔV.

2. Обчислюємо зміну об'єму: ΔV = 6 л − 2 л = 4 л = 4·10⁻³ м³.

3. Переводимо тиск: p = 150 кПа = 150·10³ Па.

4. Підставляємо: A = 150·10³ · 4·10⁻³ = 600 Дж.

Відповідь: 600 Дж.

Чому не 150·4 = 600 одразу? Тому що 150 кПа · 4 л = 600 кПа·л = 600 Дж — це теж правильно, якщо пам'ятати, що 1 кПа·л = 1 Дж. Але в бланк відповіді треба вписати число 600.

Приклад 2. Трапеція на p–V (коротка відповідь)

Умова: На діаграмі p–V подано процес, у якому тиск лінійно падає від 400 кПа до 200 кПа, а об'єм зростає від 1 л до 3 л. Знайди роботу газу в джоулях.

Розв'язання:

1. Оскільки тиск змінюється лінійно, фігура під графіком — трапеція. Формула: A = (p₁ + p₂)/2 · ΔV.

2. ΔV = 3 л − 1 л = 2 л = 2·10⁻³ м³.

3. Середній тиск: (400 + 200)/2 = 300 кПа = 300·10³ Па.

4. A = 300·10³ · 2·10⁻³ = 600 Дж.

Відповідь: 600 Дж.

Можна розбити на прямокутник (200 кПа · 2 л = 400 Дж) і трикутник (200 кПа · 2 л / 2 = 200 Дж), сума — 600 Дж.

Приклад 3. Знак роботи (вибір однієї відповіді)

Умова: Який знак має робота газу під час стиснення й під час розширення?

• А: стиснення — додатна, розширення — від'ємна

• Б: стиснення — від'ємна, розширення — додатна

• В: в обох випадках додатна

• Г: в обох випадках від'ємна

Розв'язання: Під час розширення ΔV > 0, тому A = p·ΔV > 0 — робота додатна. Під час стиснення ΔV < 0, тому A < 0 — робота від'ємна.

Відповідь: Б (стиснення — від'ємна, розширення — додатна).

Чому не А? Тому що стиснення — це зменшення об'єму, газ чинить опір, тому його робота від'ємна. Додатну роботу виконують зовнішні сили.

Приклад 4. Робота за цикл (коротка відповідь)

Умова: Цикл у вигляді прямокутника на p–V: тиск змінюється від 200 кПа до 500 кПа, об'єм — від 1 л до 4 л. Знайди роботу газу за цикл у джоулях, якщо цикл обходиться за годинниковою стрілкою.

Розв'язання:

1. Робота за цикл дорівнює площі прямокутника: A_цикл = Δp·ΔV.

2. Δp = 500 − 200 = 300 кПа = 300·10³ Па.

3. ΔV = 4 − 1 = 3 л = 3·10⁻³ м³.

4. A_цикл = 300·10³ · 3·10⁻³ = 900 Дж.

Відповідь: 900 Дж.

Обхід за годинниковою стрілкою дає додатну роботу. Якби цикл обходили проти годинникової стрілки, відповідь була б −900 Дж.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення роботи газу, і як їх уникнути.

• Плутати роботу газу A з роботою зовнішніх сил над газом A′. Запам'ятай: A — це робота, яку виконує газ. Якщо в умові запитують роботу зовнішніх сил, то A′ = −A. Коли газ стискають, A < 0, а A′ > 0.

• Не переводити літри в м³ і кілопаскалі в паскалі. Об'єм у літрах треба помножити на 10⁻³, щоб отримати кубічні метри. Тиск у кілопаскалях — помножити на 10³, щоб отримати паскалі. Виняток: якщо тиск у кПа, а об'єм у л, то добуток одразу дає джоулі (1 кПа·л = 1 Дж).

• Брати роботу за цикл не як різницю, а як суму площ ділянок розширення й стиснення. Робота за цикл — це площа всередині контуру, а не сума площ під усіма ділянками. Ділянка стиснення дає від'ємний внесок, тому різниця площ менша за суму.

• Казати, що газ виконує роботу під час ізохорного процесу. За ізохорного процесу об'єм не змінюється (ΔV = 0), тому A = 0. Газ не переміщує поршень, отже, не виконує механічної роботи.

• Не враховувати знак роботи під час стиснення. Коли газ стискають, його об'єм зменшується, ΔV < 0, тому A < 0. Якщо в задачі питають роботу газу, відповідь має бути з мінусом. Якщо питають роботу зовнішніх сил — без мінуса.

Формула роботи газу A = pΔV є в довідкових матеріалах НМТ. Позначення A — це робота газу (у демоваріанті так само). Вигляд графіків і знаки треба вміти визначати самому — довідник дає лише формулу, а не готову відповідь.

Програма НМТ (тема 2.2) вимагає обчислювати роботу газу, зокрема за графіком p(V). У демоваріанті 2026 року завдання № 15 (тема 2.2, формат «логічні пари», 0–3 бали) використовує перший закон термодинаміки для процесів на p(V). У цьому завданні треба зіставити процеси з їхніми характеристиками, зокрема зі знаком і значенням роботи.

У формі з короткою відповіддю (завдання № 17–22, 0 або 2 бали) робота за графіком — число в указаній одиниці. Типове завдання: подано графік процесу на p–V, треба обчислити роботу газу в джоулях. Відповідь — ціле число або десятковий дріб.

Стратегія: спочатку визнач тип процесу (ізобарний, ізохорний, лінійна зміна тиску). Потім обери відповідну формулу або спосіб обчислення площі. Перевір одиниці: якщо тиск у кПа, а об'єм у л, то добуток дає джоулі без додаткового переведення.

На НМТ можливі завдання, де потрібно:

• обчислити роботу газу в ізобарному процесі за відомими p і ΔV;

• обчислити роботу газу за графіком p(V) для прямокутника або трапеції;

• обчислити роботу газу за цикл як площу контуру;

• визначити знак роботи за напрямом процесу (розширення чи стиснення);

• розрізнити роботу газу A і роботу зовнішніх сил A′.

Тут зібрано відповіді на найпоширеніші запитання, які виникають під час вивчення роботи газу в термодинаміці.

• A = pΔV = νRΔT — робота газу в ізобарному процесі.

• A > 0 при розширенні (ΔV > 0), A < 0 при стисненні (ΔV < 0), A = 0 при V = const (ізохорний процес).

• Робота газу за графіком p(V) чисельно дорівнює площі фігури під графіком між початковим і кінцевим об'ємами.

• Робота газу за замкнений цикл дорівнює площі, обмеженій контуром циклу на p–V. Обхід за годинниковою стрілкою дає A > 0, проти — A < 0.

• A′ = −A: робота зовнішніх сил і робота газу протилежні за знаком.

• Одиниці: 1 Па·м³ = 1 Дж; 1 кПа·л = 1 Дж. Перевіряй узгодженість одиниць перед обчисленням.