Робота електричного поля і потенціал

Електростатичне поле — це поле потенціальне. Це означає, що робота, яку виконує поле під час переміщення заряду з однієї точки в іншу, не залежить від форми траєкторії, а визначається лише початковим і кінцевим положенням заряду. Якщо заряд повертається в початкову точку (рухається по замкненій траєкторії), то сумарна робота поля дорівнює нулю.

Цю властивість можна зрозуміти за аналогією з гравітаційним полем: коли ти піднімаєш вантаж угору, сила тяжіння виконує від'ємну роботу, а коли вантаж падає — додатну. Незалежно від того, яким шляхом вантаж опускався, робота сили тяжіння залежить тільки від різниці висот. Так само й електростатичне поле: робота залежить тільки від різниці потенціалів між початковою й кінцевою точками.

Формула роботи поля

Робота електростатичного поля з переміщення заряду q з точки з потенціалом φ₁ у точку з потенціалом φ₂ обчислюється за формулою:

$$A=q\cdot ({\phi }_1-{\phi }_2)=q\cdot U$$

де U = φ₁ − φ₂ — напруга, або різниця потенціалів. Одиниця напруги — вольт (В). З означення: 1 В = 1 Дж / 1 Кл. Тобто різниця потенціалів в 1 В означає, що поле виконує роботу 1 Дж під час переміщення заряду 1 Кл.

Важливо стежити за знаком. Додатний заряд у полі рухається від більшого потенціалу до меншого, і в цьому разі поле виконує додатну роботу. Якщо ж додатний заряд переміщують проти сил поля (від меншого потенціалу до більшого), то робота поля від'ємна — її виконує зовнішня сила.

Зв'язок із потенціальною енергією

Потенціальна енергія заряду q в точці поля з потенціалом φ дорівнює:

$$W_{\text{п}}=q\cdot \phi$$

Тоді роботу поля можна виразити через зміну потенціальної енергії:

$$A=-\Delta W_{\text{п}}=W_{\text{п}1}-W_{\text{п}2}$$

Знак «мінус» показує, що коли потенціальна енергія зменшується (заряд переходить у точку з меншим потенціалом), поле виконує додатну роботу.

Приклад обчислення

Заряд 2 мкКл (2·10⁻⁶ Кл) переміщують між точками, різниця потенціалів між якими 50 В. Робота поля:

$$A=2\cdot 10^{-6}\cdot 50=1\cdot 10^{-4}\text{Дж}$$

Потенціальна енергія двох точкових зарядів

Якщо в полі є два точкові заряди q₁ і q₂ на відстані r у середовищі з діелектричною проникністю ε, то потенціальна енергія їхньої взаємодії:

$$W=\frac{k\cdot q_1\cdot q_2}{\epsilon \cdot r}$$

Ця енергія додатна для однойменних зарядів (вони відштовхуються, і щоб зблизити їх, потрібно виконати роботу) і від'ємна для різнойменних (вони притягуються, і поле саме виконує роботу під час зближення).

Потенціал — це енергетична характеристика електричного поля. Він показує, якою потенціальною енергією володіє одиничний додатний заряд у даній точці поля. Означення потенціалу:

$$\phi =\frac{W_{\text{п}}}{q}$$

Потенціал — скалярна величина. Його одиниця — вольт (В). Нуль потенціалу зазвичай вибирають на нескінченності або на поверхні Землі. Це означає, що на великій відстані від заряду потенціал вважають рівним нулю.

Потенціал поля точкового заряду

Для точкового заряду q у вакуумі або в середовищі з діелектричною проникністю ε потенціал на відстані r від заряду обчислюють за формулою:

$$\phi =\frac{k\cdot q}{\epsilon \cdot r}$$

де k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² — коефіцієнт закону Кулона. Потенціал може бути додатним (для додатного заряду) або від'ємним (для від'ємного заряду). Зверни увагу: потенціал спадає обернено пропорційно відстані (φ ~ 1/r), тоді як напруженість спадає як E ~ 1/r². Це дві різні характеристики поля.

Принцип суперпозиції для потенціалів

Оскільки потенціал — скаляр, потенціали полів кількох зарядів додають алгебраїчно (з урахуванням знаків), а не як вектори. Це значно простіше, ніж додавання напруженостей:

$$\phi ={\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_3+\dots$$

Наприклад, у точці посередині між зарядами +4 нКл і −4 нКл на відстані 6 см потенціал дорівнює нулю, хоча напруженість поля в цій точці вдвічі більша, ніж від одного заряду. Чому? Тому що потенціали додаються зі знаком: φ = φ₁ + φ₂ = k·(+4 нКл)/r + k·(−4 нКл)/r = 0. А напруженості — вектори однакового напрямку, тому їхні модулі додаються.

Потенціал зарядженої провідної кулі

Для зарядженої провідної кулі радіусом R з зарядом q:

• усередині кулі та на її поверхні потенціал однаковий і дорівнює φ = k·q/(ε·R)

• зовні кулі (на відстані r > R) потенціал обчислюють як для точкового заряду: φ = k·q/(ε·r)

Це пояснюється тим, що вільні заряди в провіднику перерозподіляються так, щоб поле всередині дорівнювало нулю, а поверхня була еквіпотенціальною.

Еквіпотенціальна поверхня — це поверхня, усі точки якої мають однаковий потенціал. Для точкового заряду еквіпотенціальні поверхні — це концентричні сфери з центром у заряді. Якщо заряд переміщується по такій поверхні, то різниця потенціалів між початковою й кінцевою точками дорівнює нулю, а отже, робота поля дорівнює нулю.

Зв'язок із лініями напруженості

Лінії напруженості (силові лінії) завжди перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. Напрямлені вони в бік зменшення потенціалу. Це логічно: додатний заряд під дією поля рухається в напрямі силової лінії, тобто від більшого потенціалу до меншого.

Там, де еквіпотенціальні поверхні розташовані густіше, поле сильніше. Це тому, що на одну й ту саму відстань потенціал змінюється більше, а напруженість поля пов'язана з градієнтом потенціалу: чим швидше змінюється потенціал, тим більша напруженість.

Поверхня провідника

У стані електростатичної рівноваги поверхня будь-якого провідника є еквіпотенціальною. Це означає, що електричне поле біля поверхні провідника завжди перпендикулярне до неї. Якби поле мало дотичну складову, вільні заряди почали б рухатися вздовж поверхні, що суперечило б стану рівноваги.

Приклад: однорідне поле

В однорідному електричному полі (наприклад, між двома паралельними зарядженими пластинами) еквіпотенціальні поверхні — це площини, паралельні пластинам. Лінії напруженості перпендикулярні до цих площин і напрямлені від пластини з більшим потенціалом до пластини з меншим потенціалом.

Коли заряджена частинка проходить різницю потенціалів U зі стану спокою, електричне поле виконує над нею роботу A = qU. Ця робота перетворюється на кінетичну енергію частинки. За законом збереження енергії:

$$qU=\frac{m{v}^2}{2}$$

Звідси можна знайти швидкість, якої набуває частинка:

$$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

Тут m — маса частинки. Силою тяжіння для електронів та іонів зазвичай нехтують, оскільки вона на багато порядків менша за електричну силу.

Приклад: електрон під напругою 100 В

Електрон (e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, m = 9,1·10⁻³¹ кг) пройшов прискорювальну напругу 100 В. Його швидкість:

$$v=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\cdot 100}{9,1\cdot 10^{-31}}}\approx 5,9\cdot 10^6\text{м/с}$$

Це приблизно 5,9 млн метрів за секунду — величезна швидкість, але все ще значно менша за швидкість світла.

Електронвольт

Енергію, яку набуває електрон, пройшовши різницю потенціалів 1 В, називають електронвольтом (еВ):

$$1\text{еВ}=1,6\cdot 10^{-19}\text{Дж}$$

Це дуже зручна одиниця в мікросвіті. Наприклад, якщо електрон пройшов напругу 200 В, його енергія дорівнює 200 еВ. Щоб перевести в джоулі, множиш на 1,6·10⁻¹⁹.

Іони важчі за електрони

Однозарядний позитивний іон (наприклад, протон H⁺), що пройшов ту саму напругу U, набуває такої самої енергії eU, але його швидкість менша, ніж в електрона, через більшу масу. Маса протона приблизно в 1836 разів більша за масу електрона, тому за однакової напруги швидкість протона буде приблизно в √1836 ≈ 43 рази меншою.

Гальмування заряду

Якщо заряджена частинка рухається в напрямі, протилежному до напряму сили поля (тобто гальмується полем), її кінетична енергія переходить у потенціальну. У цьому разі рівняння набуває вигляду:

$$qU=\Delta E_{\text{к}}$$

де ΔEк — зміна кінетичної енергії. Якщо частинка зупинилася повністю, то qU = mv₀²/2, де v₀ — початкова швидкість.

Приклад 1. Робота поля

Завдання: Яку роботу виконує електростатичне поле, переміщуючи заряд 5 мкКл між точками з різницею потенціалів 40 В? Відповідь подай у мкДж.

Розв'язання:

За формулою A = q·U. Переводимо заряд у кулони: 5 мкКл = 5·10⁻⁶ Кл. Тоді:

$$A=5\cdot 10^{-6}\cdot 40=200\cdot 10^{-6}\text{Дж}=200\text{мкДж}$$

Відповідь: 200 мкДж.

Типові помилки: забути перевести мікро- в 10⁻⁶, тоді отримаєш 5·40 = 200 Дж, що неправильно. Також можна сплутати мкДж із Дж — у відповіді просять саме мкДж.

Приклад 2. Потенціал точкового заряду

Завдання: Як зміниться потенціал поля точкового заряду, якщо відстань від заряду збільшити вдвічі?

Варіанти відповідей:

• збільшиться вдвічі

• зменшиться вдвічі

• збільшиться в 4 рази

• зменшиться в 4 рази

Розв'язання:

Потенціал точкового заряду: φ = k·q/(ε·r). Якщо відстань r збільшити вдвічі, то потенціал зменшиться вдвічі, оскільки φ ~ 1/r.

Відповідь: зменшиться вдвічі.

Чому інші варіанти неправильні: «зменшиться в 4 рази» — це характерно для напруженості (E ~ 1/r²), а не для потенціалу. «Збільшиться вдвічі» — навпаки, потенціал спадає з відстанню. «Збільшиться в 4 рази» — не відповідає жодній із формул.

Приклад 3. Швидкість електрона

Завдання: Електрон пройшов прискорювальну напругу 200 В. Знайди швидкість електрона в Мм/с, округливши до десятих. Елементарний заряд e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, маса електрона m = 9,1·10⁻³¹ кг.

Розв'язання:

Використовуємо закон збереження енергії: eU = mv²/2. Звідси:

$$v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\cdot 200}{9,1\cdot 10^{-31}}}$$

Обчислюємо чисельник: 2 · 1,6·10⁻¹⁹ · 200 = 6,4·10⁻¹⁷.

Ділимо: 6,4·10⁻¹⁷ / 9,1·10⁻³¹ ≈ 7,033·10¹³.

Беремо квадратний корінь: √(7,033·10¹³) ≈ 8,387·10⁶ м/с.

Переводимо в Мм/с: 8,387·10⁶ м/с = 8,387 Мм/с. Округлюємо до десятих: 8,4 Мм/с.

Відповідь: 8,4 Мм/с.

Типові помилки: не перевести кіловольти у вольти (якби напруга була в кВ); забути, що 1 Мм/с = 10⁶ м/с; неправильно обчислити квадратний корінь.

Приклад 4. Робота на еквіпотенціальній поверхні

Завдання: Заряд рухається по еквіпотенціальній поверхні. Яку роботу виконує електростатичне поле?

Варіанти відповідей:

• максимально можливу

• додатну

• від'ємну

• нуль

Розв'язання:

На еквіпотенціальній поверхні потенціал однаковий у всіх точках, тому φ₁ = φ₂. Різниця потенціалів U = φ₁ − φ₂ = 0. Отже, робота A = q·U = 0.

Відповідь: нуль.

Чому інші варіанти неправильні: «максимально можливу» — робота не залежить від траєкторії, але по еквіпотенціальній поверхні вона завжди нульова. «Додатну» або «від'ємну» — робота може бути додатною чи від'ємною залежно від напрямку руху відносно поля, але на еквіпотенціальній поверхні вона завжди нуль.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на роботу поля й потенціал. Уважно прочитай кожну — це допоможе не втратити бали на НМТ.

• Додавати потенціали як вектори або ігнорувати знак заряду. Потенціал — скаляр, тому його додають алгебраїчно: φ = φ₁ + φ₂ + ... з урахуванням знаків зарядів. Якщо один заряд додатний, а інший від'ємний, їхні потенціали можуть компенсувати один одного. Не плутай із напруженістю, яку додають векторно.

• Плутати потенціал і напруженість: φ ~ 1/r, E ~ 1/r². Потенціал точкового заряду спадає обернено пропорційно відстані, а напруженість — обернено пропорційно квадрату відстані. Якщо відстань збільшити вдвічі, потенціал зменшиться вдвічі, а напруженість — у 4 рази.

• Вважати, що робота залежить від траєкторії. Електростатичне поле — потенціальне, тому робота не залежить від форми шляху, а тільки від початкового й кінцевого положень. По замкненому контуру робота дорівнює нулю.

• У формулі qU = mv²/2 не переводити кВ, мкКл і пКл у СІ. Напругу завжди переводь у вольти (1 кВ = 1000 В), заряд — у кулони (1 мкКл = 10⁻⁶ Кл, 1 пКл = 10⁻¹² Кл). Інакше отримаєш неправильний результат.

• Плутати різницю потенціалів (напругу) із самим потенціалом. Напруга U = φ₁ − φ₂ — це різниця потенціалів між двома точками, а не потенціал в одній точці. Робота поля визначається саме через різницю потенціалів, а не через значення потенціалу в одній точці.

На НМТ з фізики тема «Робота електричного поля і потенціал» перевіряється як у завданнях з вибором однієї відповіді, так і в завданнях з короткою відповіддю. Розуміння цієї теми є ключовим для розв'язування задач з електростатики.

Довідкові матеріали

Довідкові матеріали, які надають на НМТ, містять такі формули:

• робота однорідного поля: A = qEd

• потенціальна енергія взаємодії зарядів: Wₚ = kqQ/r

• потенціал: φ = Wₚ/q

• різниця потенціалів: φ₁ − φ₂ = A/q

Формулу φ = kq/r для потенціалу точкового заряду в довіднику немає в явному вигляді — її виводять із двох останніх формул: φ = Wₚ/q = (kqQ/r)/q = kQ/r. Значення елементарного заряду e, коефіцієнта k, маси частинок зазвичай дають в умові завдання.

Вимоги програми

Програма НМТ (тема 3.1) вимагає вміти обчислювати роботу поля під час переміщення заряду, а також пояснювати дослід Йоффе–Міллікена (вимірювання елементарного заряду). Основна стратегія розв'язування: якщо частинка проходить напругу, використовуй закон збереження енергії qU = mv²/2.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ 2026 року тему представлено завданнями № 7 і № 20. Завдання № 7 — це завдання з вибором однієї відповіді (1 бал). Завдання № 20 належить до групи коротких відповідей (№ 17–22), які оцінюють у 0 або 2 бали. У таких завданнях відповідь — число в указаній одиниці вимірювання.

Пам'ятай: у завданнях з короткою відповіддю число записують без одиниць вимірювання — лише числове значення. Одиницю вказано в умові.

• Робота електростатичного поля: A = q(φ₁ − φ₂) = qU. Від траєкторії не залежить, по замкненому контуру дорівнює нулю.

• Потенціал точкового заряду: φ = kq/(εr). Потенціали кількох зарядів додають алгебраїчно (з урахуванням знаків).

• Еквіпотенціальні поверхні — поверхні однакового потенціалу. Вони перпендикулярні до ліній напруженості. Робота поля по еквіпотенціальній поверхні дорівнює нулю.

• Закон збереження енергії для зарядженої частинки: qU = mv²/2. Звідси швидкість частинки, що пройшла напругу: v = √(2qU/m).

• 1 електронвольт (еВ) = 1,6·10⁻¹⁹ Дж — енергія, яку набуває електрон на різниці потенціалів 1 В.

• Поверхня провідника в електростатиці — еквіпотенціальна. Поле біля неї перпендикулярне поверхні.