Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу — це фундаментальне співвідношення, яке пов'язує між собою три макроскопічні параметри газу: тиск p, об'єм V і абсолютну температуру T. У найзагальнішому вигляді його записують як рівняння Менделєєва–Клапейрона:

$$pV=\nu \cdot R\cdot T=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T$$

Тут ν — кількість речовини (моль), m — маса газу (кг), M — молярна маса газу (кг/моль), а R — універсальна газова стала, яка дорівнює приблизно 8,31 Дж/(моль·К). Ця стала однакова для всіх ідеальних газів і виникає з добутку сталої Больцмана k на число Авогадро Nₐ: R = k·Nₐ.

З рівняння Менделєєва–Клапейрона випливає ще одна корисна форма: p = n·k·T, де n = N/V — концентрація молекул (кількість молекул в одиниці об'єму). Ця форма показує, що тиск ідеального газу прямо пропорційний концентрації молекул і абсолютній температурі.

Параметри стану газу та одиниці вимірювання

Стан ідеального газу задається трьома величинами: тиском p (у паскалях), об'ємом V (у кубічних метрах) і температурою T (у кельвінах). Масу газу та його хімічний склад указують через кількість речовини ν або пару (m, M).

Перед тим як підставляти числа в рівняння, обов'язково переведи всі величини в СІ:

• 1 л = 10⁻³ м³ (один літр — це одна тисячна кубічного метра)

• 1 см³ = 10⁻⁶ м³

• 1 кПа = 10³ Па (один кілопаскаль — це тисяча паскалів)

• 1 атм ≈ 10⁵ Па (атмосфера — приблизно сто тисяч паскалів)

• T = t + 273 (температура в кельвінах дорівнює температурі в градусах Цельсія плюс 273)

Наприклад, 27 °C = 27 + 273 = 300 К. Якщо цього не зробити, результат буде хибним навіть за правильної формули.

Приклад розрахунку

Візьмемо 2 моль газу в посудині об'ємом 5 л за температури 27 °C. Знайдемо тиск.

Спочатку переведемо величини: V = 5 л = 5·10⁻³ м³, T = 27 + 273 = 300 К. Кількість речовини ν = 2 моль, R = 8,31 Дж/(моль·К).

За формулою p = νRT/V:

$$p=\frac{2\cdot 8,31\cdot 300}{5\cdot 10^{-3}}=\frac{4986}{0,005}\approx 1,0\cdot 10^6\text{Па}$$

Тиск становить приблизно 1,0 МПа (або 1000 кПа). Зверни увагу: якби ми забули перевести літри в кубічні метри, то отримали б хибне значення 997 Па — майже в тисячу разів менше.

Об'єднаний газовий закон — це наслідок рівняння Менделєєва–Клапейрона для випадку, коли маса газу залишається сталою. Якщо ν (а отже, і m) не змінюється, то добуток νR — теж стала величина. Тому з рівняння pV = νRT випливає:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$$

Це співвідношення показує, що для даної маси газу відношення добутку тиску на об'єм до абсолютної температури є незмінним, хоч би як змінювалися окремі параметри.

Переваги об'єднаного газового закону

Головна перевага цього закону в тому, що він дає змогу знайти невідомий параметр газу, не знаючи ні R, ні M, ні маси. Досить знати п'ять із шести величин (p₁, V₁, T₁, p₂, V₂, T₂), щоб обчислити шосту.

Окремі випадки — газові закони

Залежно від того, який параметр залишається незмінним, з об'єднаного газового закону випливають три окремі закони:

Ці три закони ти детально вивчатимеш у наступному юніті «Ізопроцеси і газові закони». Тут важливо запам'ятати, що всі вони — частинки одного об'єднаного закону.

Нормальні умови та молярний об'єм

Нормальні умови (н. у.) — це стандартний набір параметрів, за яких зручно порівнювати різні гази:

• тиск p₀ = 101 325 Па (1 атм)

• температура T₀ = 273 К (0 °C)

За нормальних умов один моль будь-якого ідеального газу займає однаковий об'єм — молярний об'єм V_m. Його можна обчислити з рівняння стану:

$$V_m=\frac{R{T}_0}{p_0}=\frac{8,31\cdot 273}{101325}\approx 0,0224{\text{м}}^3=22,4\text{л/моль}$$

Це число — 22,4 л/моль — ти часто зустрічатимеш у хімії. У фізиці воно теж корисне: знаючи об'єм газу за н. у., можна швидко знайти кількість речовини: ν = V / 22,4 л.

Приклад застосування

Газ об'ємом 6 л за температури 300 К і тиску 100 кПа перевели в інший стан, де тиск став 200 кПа, а температура — 450 К. Знайдемо новий об'єм.

Запишемо об'єднаний газовий закон:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}\Rightarrow V_2=V_1\cdot \frac{p_1{T}_2}{p_2{T}_1}$$

Підставляємо числа (тиск можна брати в кПа, бо відношення p₁/p₂ не залежить від одиниці, аби вона була однаковою):

$$V_2=6\cdot \frac{100\cdot 450}{200\cdot 300}=6\cdot \frac{45000}{60000}=6\cdot 0,75=4,5\text{л}$$

Відповідь: 4,5 л. Зверни увагу: температуру обов'язково брати в кельвінах — якби ми підставили 27 °C і 177 °C, результат був би хибним.

Густина газу — це маса одиниці об'єму: ρ = m/V. З рівняння Менделєєва–Клапейрона можна вивести зручну формулу для густини, яка не потребує окремого знання маси:

$$\rho =\frac{m}{V}=\frac{pM}{RT}$$

Ця формула показує, що густина газу прямо пропорційна тиску й молярній масі та обернено пропорційна абсолютній температурі. Іншими словами:

• що більший тиск, то більше молекул в одиниці об'єму, отже, густина зростає;

• що вища температура, то молекули рухаються швидше й займають більший об'єм за того самого тиску, тому густина зменшується;

• за однакових p і T важчі гази (більша молярна маса M) мають більшу густину.

Маса газу через параметри стану

З тієї самої формули можна виразити масу газу, якщо відомі p, V, T і M:

$$m=\frac{pVM}{RT}$$

Це дуже зручно, коли газ неможливо зважити, але відомі його тиск, об'єм і температура. Наприклад, оцінимо масу повітря в кімнаті об'ємом 50 м³ за нормального атмосферного тиску 100 кПа й температури 290 К. Молярна маса повітря M ≈ 0,029 кг/моль.

$$m=\frac{100\cdot 10^3\cdot 50\cdot 0,029}{8,31\cdot 290}\approx \frac{145000}{2410}\approx 60\text{кг}$$

Отже, у звичайній кімнаті міститься приблизно 60 кг повітря — це майже як маса дорослої людини!

Чому повітряна куля піднімається?

Коли повітря в кулі нагрівають, його температура зростає, а тиск залишається приблизно рівним атмосферному (куля відкрита або гнучка). За формулою ρ = pM/(RT) збільшення T при сталому p призводить до зменшення густини гарячого повітря всередині кулі. Густина стає меншою за густину холодного повітря ззовні, тому куля спливає вгору — як дерев'яний брусок у воді.

Кількість речовини й число молекул

З рівняння стану можна також знайти кількість речовини газу:

$$\nu =\frac{pV}{RT}$$

А знаючи ν, легко обчислити число молекул N = ν·Nₐ, де Nₐ = 6,02·10²³ моль⁻¹ — число Авогадро. Наприклад, у 1 л газу за нормальних умов міститься ν = 1/22,4 ≈ 0,0446 моль, тобто N ≈ 0,0446·6,02·10²³ ≈ 2,7·10²² молекул.

Об'єднаний газовий закон p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ працює лише тоді, коли маса газу залишається сталою. Якщо ж газ витікає з балона або його накачують у шину, маса (а отже, і кількість речовини ν) змінюється. У таких задачах об'єднаний закон застосовувати не можна — потрібно записати рівняння стану окремо для початкового й кінцевого станів.

Розв'язування задач зі змінною масою

Нехай газ міститься в балоні сталого об'єму V. Спочатку в ньому було ν₁ молів за температури T₁ і тиску p₁. Після витоку частини газу залишилося ν₂ молів за T₂ і p₂. Записуємо рівняння стану для обох випадків:

$$p_{1}V={\nu }_{1}R{T}_1,p_{2}V={\nu }_{2}R{T}_2$$

Поділивши друге рівняння на перше, отримуємо відношення кількостей речовини (а отже, і мас) у двох станах:

$$\frac{{\nu }_2}{{\nu }_1}=\frac{m_2}{m_1}=\frac{p_2{T}_1}{p_1{T}_2}$$

Якщо температура не змінюється (T₁ = T₂), то відношення мас дорівнює відношенню тисків:

$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{p_2}{p_1}$$

Це дуже зручний висновок: за сталої температури маса газу в балоні прямо пропорційна тиску.

Приклад: витік газу з балона

У балоні за температури 300 К тиск газу становить 6 атм. Після викиду частини газу тиск упав до 4 атм, а температура не змінилася. Яка частка маси вийшла?

Оскільки T₁ = T₂, маємо m₂/m₁ = p₂/p₁ = 4/6 = 2/3. Отже, в балоні залишилося 2/3 початкової маси, а вийшла 1/3 маси.

Накачування шини й повітряного насоса

Коли ти накачуєш шину велосипеда або автомобіля, насос щоразу додає в шину порцію повітря. Об'єм шини майже не змінюється, тому кількість речовини ν у ній зростає, а разом із нею зростає й тиск (p = νRT/V). Це окремий випадок задачі зі змінною масою, де маса збільшується. Щоб знайти, скільки повітря додалося, записують рівняння стану до й після накачування та віднімають ν₁ від ν₂.

Запам'ятай: об'єднаний газовий закон p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ працює ТІЛЬКИ для сталої маси газу. Якщо маса змінюється (витік, накачування, з'єднання балонів), завжди записуй рівняння Менделєєва–Клапейрона окремо для кожного стану.

Приклад 1. Тиск газу за відомих маси, об'єму й температури

Завдання: 16 г кисню (M = 0,032 кг/моль) міститься в посудині об'ємом 5 л за температури 27 °C. Знайди тиск газу в кПа, округливши до цілих.

Розв'язання:

1. Переводимо всі величини в СІ: m = 16 г = 0,016 кг; V = 5 л = 5·10⁻³ м³; T = 27 + 273 = 300 К; M = 0,032 кг/моль.

2. Записуємо рівняння Менделєєва–Клапейрона: pV = (m/M)·R·T.

3. Виражаємо тиск: p = (m·R·T) / (M·V).

4. Підставляємо числа: p = (0,016 · 8,31 · 300) / (0,032 · 5·10⁻³) = (39,888) / (0,00016) = 249 300 Па.

5. Переводимо в кПа: 249 300 Па ≈ 249 кПа.

Відповідь: 249 кПа.

Чому інші відповіді хибні? Якщо не перевести грами в кілограми (підставити 16 г замість 0,016 кг), отримаємо 249 300 кПа — у 1000 разів більше. Якщо не перевести літри в м³, результат буде 0,25 кПа — у 1000 разів менше. Якщо підставити t = 27 °C замість T = 300 К, отримаємо 22,4 кПа — теж хибно.

Приклад 2. Ізохорний процес — об'єднаний газовий закон

Завдання: Газ об'ємом 3 л за температури 300 К і тиску 200 кПа нагріли до 600 К, не змінюючи об'єму. Яким став тиск у кПа?

Розв'язання:

1. Оскільки V = const і маса газу не змінюється, застосовуємо закон Шарля (окремий випадок об'єднаного газового закону): p₁/T₁ = p₂/T₂.

2. Виражаємо p₂: p₂ = p₁ · T₂ / T₁.

3. Підставляємо: p₂ = 200 · 600 / 300 = 200 · 2 = 400 кПа.

Відповідь: 400 кПа.

Типова помилка: підставити температуру в °C. Якби взяли t₁ = 27 °C і t₂ = 327 °C, то отримали б p₂ = 200 · 327 / 27 ≈ 2422 кПа — хибний результат.

Приклад 3. Густина газу за зміни температури

Завдання: У скільки разів зміниться густина газу, якщо за сталого тиску його абсолютну температуру збільшити вдвічі?

Розв'язання: Густина газу визначається формулою ρ = pM/(RT). За умовою p = const, M = const (газ той самий), R — стала. Отже, ρ ∝ 1/T. Якщо T₂ = 2T₁, то ρ₂ = pM/(R·2T₁) = (1/2)·ρ₁. Густина зменшиться вдвічі.

Відповідь: зменшиться вдвічі.

Чому не «збільшиться вдвічі»? Бо густина обернено пропорційна температурі, а не прямо. Чому не «не зміниться»? Бо за сталого тиску зміна температури змінює об'єм, а отже, і густину.

Приклад 4. Витік газу — змінна маса

Завдання: Балон містив газ під тиском 800 кПа. Частину газу випустили, температура не змінилась, а тиск став 500 кПа. Яку частку маси газу випустили? Відповідь дай у відсотках.

Розв'язання:

1. Маса газу змінюється, тому об'єднаний газовий закон не працює. Записуємо рівняння стану для двох станів за сталого V і T:

2. Стан 1: p₁V = (m₁/M)RT; стан 2: p₂V = (m₂/M)RT.

3. Поділивши друге на перше, отримуємо m₂/m₁ = p₂/p₁ = 500/800 = 5/8 = 0,625.

4. Отже, в балоні залишилося 62,5% маси, а випустили 100% − 62,5% = 37,5%.

Відповідь: 37,5%.

Типова помилка: застосувати об'єднаний газовий закон p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Оскільки V₁ = V₂ і T₁ = T₂, то за ним p₁ = p₂, що суперечить умові. Це й показує, що закон не можна застосовувати, коли маса змінюється.

• Не переводити об'єм у м³, а тиск — у Па. Найпоширеніша помилка: підставляєш об'єм у літрах (л) замість кубічних метрів (м³). Пам'ятай: 1 л = 10⁻³ м³. Якщо в умові тиск дано в кПа, переведи його в Па (1 кПа = 10³ Па), інакше числовий коефіцієнт буде хибним.

• Підставляти температуру в °C. Температура в рівнянні стану — тільки в кельвінах. Формула T = t + 273 (або точніше T = t + 273,15) обов'язкова. Забувши додати 273, отримаєш результат, який відрізняється від правильного в кілька разів (більший або менший).

• Застосовувати об'єднаний газовий закон, коли маса газу змінюється. Об'єднаний закон p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ виведено з припущення, що ν = const. Якщо газ витікає або його накачують, маса змінюється — пиши рівняння Менделєєва–Клапейрона окремо для кожного стану.

• Плутати R і k. Універсальна газова стала R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) — це енергія на один моль. Стала Больцмана k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К — це енергія на одну молекулу. Їх пов'язує співвідношення R = k·Nₐ. У рівнянні pV = νRT використовуй R, а в p = nkT — k.

• Брати молярну масу в г/моль з масою в кг. Якщо масу подано в кілограмах, то й молярна маса має бути в кг/моль. Наприклад, M(O₂) = 0,032 кг/моль, а не 32 г/моль. Якщо ж маса в грамах, то й M можна брати в г/моль, але тоді всі інші величини мають бути узгоджені.

У довідкових матеріалах, які надають на НМТ, є рівняння Клапейрона–Менделєєва та об'єднаний газовий закон. Значення універсальної газової сталої R і молярні маси речовин наводять в умові завдання.

Програма НМТ з фізики (тема 2.1 «Основи молекулярно-кінетичної теорії») вимагає вміння застосовувати рівняння стану й газові закони для розв'язування задач. Завдання можуть бути різних типів:

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–14, 1 бал) — якісні або прості розрахункові задачі, де потрібно вибрати правильне твердження чи числове значення.

• Завдання на встановлення відповідності (№ 15–16, 0–3 бали).

• Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22, 0 або 2 бали) — число в указаній одиниці вимірювання. Тут особливо важливо стежити за префіксами (кПа, л) і правильно округлювати.

Стратегія розв'язування

Щоб уникнути помилок, дотримуйся такого алгоритму:

1. Випиши початковий і кінцевий стани газу в таблицю (p, V, T, m). Якщо якийсь параметр не змінюється, познач це.

2. Переконайся, що всі величини в СІ: тиск у Па, об'єм у м³, температура в К. Якщо ні — переведи.

3. Визнач, чи змінюється маса газу. Якщо маса стала — застосовуй об'єднаний газовий закон. Якщо маса змінюється — запиши рівняння Менделєєва–Клапейрона для кожного стану окремо.

4. Вирази невідому величину, підстав числа й обчисли. За потреби округли до вказаної точності.

5. Перевір розмірність і порядок результату: тиск газу в звичайних умовах — порядку 10⁵ Па, густина повітря — близько 1,2 кг/м³.

Порада: у завданнях з короткою відповіддю записуй лише число (без одиниці вимірювання). Якщо умова просить «у кПа», то відповідь має бути числом у кПа, а не в Па.

• Рівняння Менделєєва–Клапейрона: pV = (m/M)RT, де R ≈ 8,31 Дж/(моль·К).

• Тиск — у Па, об'єм — у м³, температура — у К. 1 л = 10⁻³ м³, 1 кПа = 10³ Па, T = t + 273.

• Об'єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ — лише для сталої маси газу.

• Густина газу: ρ = pM/(RT). Маса газу: m = pVM/(RT).

• Кількість речовини: ν = pV/(RT). Число молекул: N = ν·Nₐ.

• Змінна маса: записуй рівняння стану окремо для кожного стану; за однакових V і T маса пропорційна тиску.

• Нормальні умови: p₀ = 101 325 Па, T₀ = 273 К; молярний об'єм V_m ≈ 22,4 л/моль.