Перша космічна швидкість і рух супутників

Уявімо гармату на високій горі, звідки немає опору повітря. Якщо стріляти горизонтально, ядро летить по параболі й падає на Землю. Що більша початкова швидкість, то далі воно впаде. За певної швидкості ядро не впаде зовсім — воно почне весь час «падати» на Землю, але ніколи не наблизиться до поверхні, бо Земля «відхиляється» з-під нього через свою кривину. Це уявний дослід Ісаака Ньютона, який пояснює, чому супутник не падає на Землю.

На штучний супутник на коловій орбіті діє лише одна сила — сила тяжіння з боку планети. Вона напрямлена до центра планети, тобто перпендикулярно до напрямку швидкості супутника. Саме тому модуль швидкості не змінюється: сила не виконує роботи, а лише змінює напрямок руху, надаючи тілу доцентрового прискорення.

Запишемо рівняння руху супутника на коловій орбіті. Сила тяжіння за законом всесвітнього тяжіння дорівнює:

$$F=G\frac{Mm}{r^2}$$

де M — маса планети, m — маса супутника, r = R + h — радіус орбіти (відстань від центра планети до супутника). Ця сила надає супутнику доцентрового прискорення a = v²/r, тому:

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$

Бачимо, що маса супутника m скорочується в обох частинах рівняння. Це означає, що швидкість супутника на коловій орбіті не залежить від його маси — важкий і легкий супутники на одній орбіті рухаються з однаковою швидкістю.

Доцентрове прискорення супутника дорівнює прискоренню вільного падіння на висоті орбіти:

$$a=G\frac{M}{r^2}=g_0\frac{R^2}{r^2}$$

де g₀ — прискорення вільного падіння на поверхні планети. На висоті, що дорівнює радіусу Землі (h = R), прискорення вільного падіння в 4 рази менше, ніж на поверхні.

З рівняння руху супутника $$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$ після скорочення m отримуємо формулу швидкості на коловій орбіті:

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Якщо супутник рухається біля самої поверхні планети (r ≈ R, де R — радіус планети), його швидкість називають першою космічною швидкістю:

$$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$$

Друга рівність випливає з того, що на поверхні планети прискорення вільного падіння g = GM/R², тому GM = gR².

Обчислимо першу космічну швидкість для Землі. Радіус Землі R ≈ 6,4 · 10⁶ м, прискорення вільного падіння g ≈ 9,8 м/с²:

$$v_1=\sqrt{9,8\cdot 6,4\cdot 10^6}\approx \sqrt{62,72\cdot 10^6}\approx 7,9\cdot 10^3\text{м/с}\approx 7,9\text{км/с}$$

Якщо взяти g = 10 м/с², то v₁ = √(10 · 6,4 · 10⁶) = √(64 · 10⁶) = 8 · 10³ м/с = 8 км/с.

Перша космічна швидкість — це найменша горизонтальна швидкість, яку треба надати тілу біля поверхні планети (без урахування опору атмосфери), щоб воно стало її штучним супутником. Якщо швидкість менша, тіло впаде на планету; якщо більша, але менша за другу космічну (≈ 11,2 км/с), — рухатиметься по еліптичній орбіті.

Для іншої планети перша космічна швидкість пропорційна √(gR). Наприклад, якщо в планети g і R удвічі менші, ніж у Землі, то v₁ = √(g/2 · R/2) = √(gR/4) = (1/2)√(gR) — тобто вдвічі менша за земну.

Період обертання супутника на коловій орбіті — це час, за який він робить один повний оберт навколо планети. Оскільки довжина колової орбіти дорівнює 2πr, а швидкість руху v, то:

$$T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

Радіус орбіти r підставляють у метрах, тоді період T отримують у секундах.

Як змінюються величини з висотою орбіти

Що вища орбіта (більший радіус r), то менші швидкість і доцентрове прискорення, але більший період обертання. Розгляньмо два супутники: радіус орбіти другого вчетверо більший за радіус орбіти першого (r₂ = 4r₁).

Як бачимо, залежності нелінійні: швидкість обернено пропорційна √r, період пропорційний r^(3/2), а прискорення — обернено пропорційне r².

Період біля поверхні Землі

Для супутника біля поверхні Землі (r ≈ R = 6,4 · 10⁶ м, v ≈ 7,9 · 10³ м/с):

$$T\approx \frac{2\pi \cdot 6,4\cdot 10^6}{7,9\cdot 10^3}\approx 5,1\cdot 10^3\text{с}\approx 85\text{хв}$$

Міжнародна космічна станція (МКС) рухається на висоті приблизно 400 км над Землею. Її радіус орбіти r = 6400 км + 400 км = 6800 км, тому період обертання становить приблизно 92 хвилини.

Геостаціонарний супутник

Геостаціонарний супутник — це супутник, який обертається в площині екватора Землі в напрямку її обертання з періодом T = 24 години. Завдяки цьому він весь час «висить» над однією і тією самою точкою екватора. Його висота над поверхнею Землі становить приблизно 36 000 км, а радіус орбіти — близько 42 000 км.

Незалежність від маси супутника

У рівнянні $$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$ маса супутника m скорочується. Тому ні швидкість, ні період обертання не залежать від маси супутника. На одній і тій самій орбіті важкий космічний телескоп і легкий навігаційний супутник рухаються з однаковою швидкістю й однаковим періодом.

Приклад 1. Відношення швидкостей супутників

Радіус орбіти другого супутника вчетверо більший, ніж першого. Чому дорівнює відношення швидкостей v₂/v₁?

Розв'язання. Швидкість на коловій орбіті: v = √(GM/r). Для першого супутника v₁ = √(GM/r₁), для другого v₂ = √(GM/r₂). Оскільки r₂ = 4r₁, то:

$$\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{GM/r_2}{GM/r_1}}=\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}=\sqrt{\frac{r_1}{4r_1}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$

Відповідь: 1/2.

Чому інші варіанти неправильні: 1/4 — забули взяти квадратний корінь; 2 — обернене відношення (взяли r₂/r₁ замість r₁/r₂); 1/16 — помилково піднесли до квадрата замість узяти корінь.

Приклад 2. Перша космічна швидкість для іншої планети

Знайди першу космічну швидкість у км/с для планети радіусом 3200 км, на поверхні якої прискорення вільного падіння g = 5 м/с².

Розв'язання. Перша космічна швидкість: v₁ = √(gR). Переведемо радіус у метри: R = 3200 км = 3,2 · 10⁶ м. Тоді:

$$v_1=\sqrt{5\cdot 3,2\cdot 10^6}=\sqrt{16\cdot 10^6}=4\cdot 10^3\text{м/с}=4\text{км/с}$$

Відповідь: 4 км/с.

Приклад 3. Супутник на висоті, що дорівнює радіусу Землі

Супутник рухається коловою орбітою на висоті, що дорівнює радіусу Землі. Радіус Землі R = 6400 км, прискорення вільного падіння на поверхні g₀ = 10 м/с². Знайди швидкість супутника в км/с, округливши до десятих.

Розв'язання. Висота h = R, тому радіус орбіти r = R + h = 2R. Швидкість на коловій орбіті:

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g_0{R}^2}{2R}}=\sqrt{\frac{g_{0}R}{2}}$$

Підставляємо: R = 6,4 · 10⁶ м, g₀ = 10 м/с².

$$v=\sqrt{\frac{10\cdot 6,4\cdot 10^6}{2}}=\sqrt{32\cdot 10^6}\approx 5,657\cdot 10^3\text{м/с}\approx 5,7\text{км/с}$$

Відповідь: 5,7 км/с.

Приклад 4. Від чого не залежить швидкість супутника?

Від чого не залежить швидкість супутника на коловій орбіті?

Розв'язання. Швидкість супутника v = √(GM/r) залежить від маси планети M і радіуса орбіти r (який, своєю чергою, залежить від висоти над поверхнею). Маса супутника m скорочується в рівнянні руху, тому швидкість не залежить від маси супутника.

Відповідь: від маси супутника.

• Брати радіус Землі замість радіуса орбіти R + h. У формулу v = √(GM/r) треба підставляти відстань від центра планети, а не висоту над поверхнею.

• Вважати, що на вищій орбіті супутник рухається швидше. Насправді швидкість зменшується з висотою: v = √(GM/r).

• Вважати, що швидкість супутника залежить від його маси. Маса супутника скорочується в рівнянні руху.

• Вважати, що на супутник на орбіті сила тяжіння не діє. Саме вона надає йому доцентрового прискорення.

• Не переводити кілометри в метри. Наприклад, √(9,8 · 6400) ≈ 250 замість правильного √(9,8 · 6,4 · 10⁶) ≈ 7900 м/с.

• Плутати першу космічну швидкість (біля поверхні) зі швидкістю на будь-якій орбіті. Перша космічна — окремий випадок для r ≈ R.

У демоваріанті НМТ-2026 з фізики задача № 18 з короткою відповіддю (0 або 2 бали) перевіряла вміння обчислювати доцентрове прискорення під час руху супутника по колу. У її умові було дано значення π² = 10.

Важливо знати: формул першої космічної швидкості й прискорення вільного падіння на висоті в довідкових матеріалах НМТ-2026 немає. Їх треба самостійно виводити із закону всесвітнього тяжіння та формули доцентрового прискорення, які в довідці є.

Програма НМТ (тема 1.2 «Основи динаміки») включає рух штучних супутників і першу космічну швидкість. Вимога — розв'язувати задачі на рух супутників.

Стратегія розв'язування:

• Записати рівняння GMm/r² = mv²/r.

• Скоротити масу супутника m.

• Виразити шукану величину в загальному вигляді.

• Якщо в умові дано g і R, а не G і M, замінити GM на g₀R².

• Підставити числові значення, обов'язково перевівши кілометри в метри.

• Рівняння руху супутника на коловій орбіті: $$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$, де r = R + h — відстань від центра планети.

• Швидкість на коловій орбіті: $$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

• Перша космічна швидкість (біля поверхні): $$v_1=\sqrt{gR}\approx 7,9\text{км/с}$$ для Землі.

• Період обертання: $$T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

• Чим вища орбіта, тим менша швидкість і більший період.

• Маса супутника скорочується в рівнянні руху — швидкість і період не залежать від маси супутника.

• Заміна GM = g₀R² дає змогу обчислювати швидкість, коли відомі g₀ і R планети.