Перетворення енергії під час гармонічних коливань

Під час гармонічних коливань механічна енергія системи постійно перетворюється з одного виду на інший. У пружинному маятнику вантаж має кінетичну енергію, а пружина — потенціальну енергію пружної деформації. Якщо тертя немає, повна механічна енергія залишається сталою — це ключовий закон, який дає змогу знаходити швидкість, амплітуду й енергію в будь-якій точці.

Формули енергій

Потенціальна енергія пружно деформованої пружини залежить від жорсткості k і зміщення x від положення рівноваги:

$$E_{\text{p}}=\frac{k{x}^2}{2}$$

Кінетична енергія вантажу масою m, що рухається зі швидкістю v:

$$E_{\text{k}}=\frac{m{v}^2}{2}$$

Повна механічна енергія — це сума цих двох величин:

$$E=E_{\text{k}}+E_{\text{p}}=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}$$

Енергія в крайніх точках і в положенні рівноваги

У крайній точці, де x = A (амплітуда), швидкість вантажу дорівнює нулю. Отже, вся енергія зосереджена в пружині:

$$E=\frac{k{A}^2}{2}$$

У положенні рівноваги (x = 0) пружина не деформована, тому потенціальна енергія нульова, а вся енергія — кінетична:

$$E=\frac{m{v}_{\text{max}}^2}{2}$$

Прирівнюючи ці два вирази, отримуємо зв'язок між максимальною швидкістю, амплітудою, масою та жорсткістю:

$$\frac{k{A}^2}{2}=\frac{m{v}_{\text{max}}^2}{2}\Rightarrow v_{\text{max}}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=A\omega$$

Тут ω = √(k/m) — циклічна частота коливань. Формула v_max = Aω справедлива для будь-яких гармонічних коливань, не лише пружинного маятника.

Числовий приклад

Нехай вантаж масою m = 0,5 кг коливається на пружині жорсткістю k = 50 Н/м з амплітудою A = 0,1 м. Повна енергія:

$$E=\frac{50\cdot (0,1{)}^2}{2}=\frac{50\cdot 0,01}{2}=0,25\text{Дж}$$

Максимальна швидкість:

$$v_{\text{max}}=0,1\cdot \sqrt{\frac{50}{0,5}}=0,1\cdot \sqrt{100}=0,1\cdot 10=1\text{м/с}$$

Залежність від амплітуди

Повна енергія пропорційна квадрату амплітуди. Якщо амплітуду збільшити вдвічі, енергія зросте в 4 рази, а максимальна швидкість — лише вдвічі (бо v_max ~ A). Це важливо пам'ятати під час розв'язування задач: зміна амплітуди сильно впливає на енергію.

Повна механічна енергія коливальної системи є сталою, але її складники — кінетична й потенціальна енергії — змінюються залежно від того, де перебуває вантаж. Знаючи зміщення x, можна обчислити, скільки енергії зосереджено в пружині, а скільки — в русі вантажу.

Енергія в довільній точці

Якщо вантаж перебуває на відстані x від положення рівноваги, потенціальна енергія пружини дорівнює:

$$E_{\text{p}}=\frac{k{x}^2}{2}$$

Оскільки повна енергія E = kA²/2 не змінюється, кінетичну енергію знаходять як різницю:

$$E_{\text{k}}=E-E_{\text{p}}=\frac{k{A}^2}{2}-\frac{k{x}^2}{2}=\frac{k(A^2-x^2)}{2}$$

Ці формули дають змогу визначити співвідношення енергій у будь-якій точці траєкторії.

Особливі точки

Зверни увагу: у точці x = A/2 потенціальна енергія становить лише чверть повної, а кінетична — три чверті. Співвідношення Eк : Eₚ = 3 : 1 — зручний орієнтир для перевірки розрахунків.

Кінетична й потенціальна енергії стають рівними за зміщення x = A/√2 ≈ 0,71A. Не плутай цю точку з x = A/2 — там енергії не рівні!

Числовий приклад

Для попереднього прикладу (A = 0,1 м, k = 50 Н/м, E = 0,25 Дж) знайдемо енергії в точці x = 0,05 м:

$$E_{\text{p}}=\frac{50\cdot (0,05{)}^2}{2}=\frac{50\cdot 0,0025}{2}=0,0625\text{Дж}$$

$$E_{\text{k}}=0,25-0,0625=0,1875\text{Дж}$$

Дійсно, Eк = 0,1875 Дж утричі більша за Eₚ = 0,0625 Дж.

Нитяний маятник

Для нитяного (математичного) маятника потенціальна енергія зумовлена гравітацією, а не пружністю. У найвищій точці, де вантаж піднято на висоту h над найнижчим положенням:

$$E_{\text{p}}=mgh$$

У найнижчій точці вся потенціальна енергія переходить у кінетичну:

$$\frac{m{v}_{\text{max}}^2}{2}=mgh\Rightarrow v_{\text{max}}=\sqrt{2gh}$$

Висоту h можна виразити через довжину нитки l і кут відхилення θ: h = l(1 − cos θ). Це дає змогу обчислювати швидкість маятника в будь-якому положенні.

Енергії в гармонічних коливаннях не просто перерозподіляються за положенням — вони змінюються в часі за певним законом. Розуміння цих часових залежностей допомагає аналізувати графіки й відповідати на тестові запитання про частоту зміни енергій.

Залежність енергій від часу

Зміщення вантажу змінюється за законом x(t) = A·cos(ωt). Тоді потенціальна енергія:

$$E_{\text{p}}(t)=\frac{k{x}^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}{\cos }^2(\omega t)$$

Швидкість — похідна зміщення: v(t) = −Aω·sin(ωt). Кінетична енергія:

$$E_{\text{k}}(t)=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{A}^2{\omega }^2}{2}{\sin }^2(\omega t)=\frac{k{A}^2}{2}{\sin }^2(\omega t)$$

Обидві енергії містять квадрат тригонометричної функції. Функції cos²(ωt) і sin²(ωt) змінюються вдвічі швидше, ніж cos(ωt). Їхній період дорівнює T/2, а частота — 2ν. Отже, кінетична й потенціальна енергії змінюються з частотою, вдвічі більшою за частоту коливань маятника.

Графік енергій

На графіку видно: коли потенціальна енергія максимальна, кінетична дорівнює нулю, і навпаки. Сума цих двох величин — горизонтальна пряма, що відповідає сталій повній енергії.

Перетворення за чверть періоду

За чверть періоду (T/4) вантаж проходить шлях від положення рівноваги до крайньої точки або навпаки. За цей час:

• Від рівноваги до крайньої точки: кінетична енергія перетворюється на потенціальну (Eк → 0, Eₚ → E).

• Від крайньої точки до рівноваги: потенціальна енергія перетворюється на кінетичну (Eₚ → 0, Eк → E).

За один повний період вантаж проходить положення рівноваги двічі, тому кінетична енергія досягає максимуму двічі за період. Так само потенціальна енергія досягає максимуму двічі за період — у крайніх точках.

Згасаючі коливання

У реальних системах завжди є тертя (опір повітря, тертя в підвісі тощо). Воно перетворює частину механічної енергії на внутрішню (тепло). Унаслідок цього амплітуда коливань поступово зменшується, а разом із нею зменшується й повна механічна енергія. Такі коливання називають згасаючими. На НМТ можуть запитувати, чи зберігається повна енергія за наявності тертя — правильна відповідь: ні, вона зменшується.

Приклад 1. Повна енергія пружинного маятника

Вантаж масою 0,2 кг коливається на пружині жорсткістю 80 Н/м з амплітудою 5 см. Знайди повну механічну енергію коливань у міліджоулях.

Розв'язання:

Повна енергія пружинного маятника без тертя дорівнює максимальній потенціальній енергії пружини: E = kA²/2.

Переведемо амплітуду в метри: A = 5 см = 0,05 м.

$$E=\frac{80\cdot (0,05{)}^2}{2}=\frac{80\cdot 0,0025}{2}=\frac{0,2}{2}=0,1\text{Дж}$$

Відповідь потрібна в міліджоулях: 0,1 Дж = 100 мДж.

Відповідь: 100.

Чому інші відповіді неправильні? Якби ти забув поділити на 2, отримав би 200 — це типова помилка. Якби переплутав одиниці (залишив 5 см замість 0,05 м), отримав би 1000 — теж поширена пастка.

Приклад 2. Максимальна швидкість

Для тих самих даних (m = 0,2 кг, k = 80 Н/м, A = 5 см) знайди максимальну швидкість вантажу в метрах за секунду.

Розв'язання:

Максимальна швидкість досягається в положенні рівноваги. Використаємо закон збереження енергії:

$$\frac{k{A}^2}{2}=\frac{m{v}_{\text{max}}^2}{2}\Rightarrow v_{\text{max}}=A\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Підставляємо: A = 0,05 м, k = 80 Н/м, m = 0,2 кг.

$$v_{\text{max}}=0,05\cdot \sqrt{\frac{80}{0,2}}=0,05\cdot \sqrt{400}=0,05\cdot 20=1\text{м/с}$$

Відповідь: 1.

Поширена помилка: забути взяти квадратний корінь і написати v_max = A·(k/m) = 0,05·400 = 20 м/с. Це неправильно — корінь обов'язковий!

Приклад 3. Як зміна амплітуди впливає на енергію

Амплітуду коливань пружинного маятника збільшили вдвічі. Як при цьому змінилася повна механічна енергія?

Розв'язання:

Повна енергія E = kA²/2. Якщо амплітуда A зросла вдвічі, то A² зросла в 4 рази. Оскільки k і множник 1/2 не змінюються, енергія збільшилася в 4 рази.

Відповідь: збільшилася в 4 рази.

Розбір дистракторів:

• «Збільшилася вдвічі» — так було б, якби енергія була пропорційна A, а не A².

• «Не змінилася» — суперечить закону збереження енергії: зміна амплітуди змінює запас енергії.

• «Збільшилася в √2 разів» — так змінилася б амплітуда, якби енергію збільшили вдвічі, а не навпаки.

Приклад 4. Частота зміни кінетичної енергії

Маятник коливається з частотою ν. З якою частотою змінюється його кінетична енергія?

Розв'язання:

Кінетична енергія Eк = (kA²/2)·sin²(ωt). Функція sin²(ωt) має період T/2, тому частота її зміни вдвічі більша за частоту коливань маятника: ν_E = 2ν.

Відповідь: 2ν.

Розбір дистракторів:

• «ν» — так змінюється зміщення та швидкість, а не енергія.

• «ν/2» — період енергії менший, а не більший.

• «Не змінюється» — енергія змінюється, бо вантаж рухається.

• Вважати, що енергії змінюються з тим самим періодом, що й зміщення. Насправді період зміни енергій удвічі менший: T_енергії = T/2. Це випливає з того, що енергії пропорційні cos²(ωt) і sin²(ωt), а ці функції мають період π/ω, тоді як зміщення — 2π/ω.

• Вважати, що повна енергія залежить від маси. Повна енергія пружинного маятника E = kA²/2 — вона залежить лише від жорсткості пружини й амплітуди. Маса впливає на максимальну швидкість (v_max = A√(k/m)), але не на повну енергію.

• Плутати точку, де кінетична й потенціальна енергії рівні, з серединою амплітуди. Рівність настає за x = A/√2 ≈ 0,71A, а не за x = A/2. У точці A/2 потенціальна енергія становить лише чверть повної, а кінетична — три чверті.

• Забувати ділити kA² на 2. Формула потенціальної енергії пружини — kx²/2, а повної — kA²/2. Пропуск двійки в знаменнику дає вдвічі завищений результат, що є поширеною помилкою в задачах з короткою відповіддю.

• Вважати, що за наявності тертя повна енергія зберігається. Тертя перетворює механічну енергію на внутрішню (тепло), тому повна механічна енергія зменшується — коливання стають згасаючими. Закон збереження механічної енергії виконується лише для ідеальних систем без тертя.

У довідці НМТ з фізики, яку ти отримуєш на початку тесту, є всі необхідні формули: кінетична енергія Eк = mv²/2, потенціальна енергія пружно деформованої пружини Eₚ = kx²/2, потенціальна енергія піднятого тіла Eₚ = mgh, повна механічна енергія E = Eк + Eₚ та рівняння гармонічних коливань x = A·cos(ωt).

Програма НМТ (тема «Механічні коливання і хвилі») вимагає:

• застосовувати закон збереження енергії до коливальних систем;

• аналізувати графіки незгасаючих і згасаючих коливань;

• обчислювати повну енергію, максимальну швидкість та енергії в заданому положенні.

Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22 у тесті) оцінюються в 0 або 2 бали. У них потрібно вписати число в одиницях, указаних в умові. Наприклад, якщо в умові амплітуда задана в сантиметрах, а відповідь просять у міліджоулях — перевір переведення одиниць.

Стратегія розв'язування задач на енергію:

1. Визнач, чи є тертя. Якщо тертя немає — повна енергія стала.

2. Запиши E = Eк + Eₚ для будь-якого положення.

3. Визнач, яка з величин (Eк чи Eₚ) відома в цьому положенні.

4. Якщо відоме зміщення x — знайди Eₚ = kx²/2, потім Eк = E − Eₚ.

5. Якщо відома швидкість — знайди Eк = mv²/2, потім Eₚ = E − Eк.

Для нитяного маятника замість kx²/2 використовуй mgh, де h — висота підняття вантажу над найнижчою точкою.

• E = Eк + Eₚ = kA²/2 = m·v_max²/2 — повна механічна енергія не залежить від положення, якщо немає тертя.

• v_max = A√(k/m) = Aω — максимальна швидкість досягається в положенні рівноваги.

• Амплітуда вдвічі більша — енергія в 4 рази більша, а v_max — лише вдвічі.

• Eк = Eₚ за x = A/√2 ≈ 0,71A — не плутай з A/2!

• Енергії змінюються з частотою 2ν, тобто вдвічі швидше за зміщення.

• Для нитяного маятника: у крайній точці Eₚ = mgh, у нижній v_max = √(2gh).