Основне рівняння МКТ і середня квадратична швидкість молекул

У молекулярно-кінетичній теорії (МКТ) реальні гази описують за допомогою спрощеної моделі — ідеального газу. Це не означає, що «ідеальний газ» існує в природі; це теоретична конструкція, яка дає змогу точно розраховувати властивості багатьох реальних газів за звичайних умов.

Ознаки моделі ідеального газу

• Молекули — матеріальні точки. Їхніми власними розмірами нехтують порівняно з відстанями між ними.

• Молекули не взаємодіють на відстані. Між ними немає ні притягання, ні відштовхування, доки вони не зіткнуться.

• Зіткнення молекул між собою та зі стінками посудини — абсолютно пружні. Загальна кінетична енергія системи після зіткнення не змінюється.

• Рух молекул підпорядковується законам Ньютона, але через величезну кількість молекул описують його статистично.

Коли реальний газ близький до ідеального?

Реальний газ поводиться майже як ідеальний, коли він достатньо розріджений, тобто відстані між молекулами набагато більші за їхні розміри, і не надто охолоджений. За атмосферного тиску й кімнатної температури (близько 20 °C) повітря з високою точністю можна вважати ідеальним газом. Чим нижчий тиск і вища температура, тим краще працює модель.

Тиск газу з погляду МКТ

Тиск газу на стінку посудини — це сумарний результат величезної кількості ударів молекул об стінку. Кожна молекула, ударяючись об стінку, передає їй імпульс. Чим частіші удари (тобто чим більша концентрація молекул) і чим сильніший кожен удар (тобто чим більша швидкість молекул), тим більший тиск.

Молекули газу рухаються з різними швидкостями — одні повільніші, інші швидші. Тому в МКТ оперують не швидкістю окремої молекули, а середнім значенням квадрата швидкості. Середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули визначається як:

$$\bar{E} = \frac{m_0 v^2}{2}$$

де $m_0$ — маса однієї молекули, $v$ — середня квадратична швидкість (про неї докладніше далі). Саме ця енергія визначає, наскільки «сильним» є удар молекули об стінку.

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії пов'язує макроскопічну величину — тиск газу — із мікроскопічними параметрами: масою молекули, концентрацією молекул і середньою квадратичною швидкістю.

Формула через масу молекули та швидкість

Найпоширеніший запис основного рівняння МКТ:

$$p = \frac{1}{3} m_0 n v^2$$

де $p$ — тиск газу (Па), $m_0$ — маса однієї молекули (кг), $n$ — концентрація молекул (м⁻³), $v$ — середня квадратична швидкість молекул (м/с).

Оскільки добуток $m_{0}n$ дорівнює густині газу $\rho$, рівняння можна записати компактніше:

$$p = \frac{1}{3} \rho v^2$$

Формула через середню кінетичну енергію

Якщо виразити $m_0{v}^2$ через середню кінетичну енергію молекули $\bar{E}=m_0{v}^2/2$, то отримаємо другу форму:

$$p = \frac{2}{3} n \bar{E}$$

Звідси видно: тиск ідеального газу прямо пропорційний концентрації молекул і їхній середній кінетичній енергії поступального руху.

Як змінюється тиск?

Розгляньмо кілька важливих випадків, які часто трапляються в задачах НМТ:

Числовий приклад

Нехай концентрація молекул газу $n=2,5\cdot 10^{25}{\text{м}}^{-3}$, маса однієї молекули $m_0=4,8\cdot 10^{-26}\text{кг}$, середня квадратична швидкість $v=500\text{м/с}$. Тоді:

$$p = \frac{1}{3} \cdot 4{,}8 \cdot 10^{-26} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{25} \cdot (500)^2 = \frac{1}{3} \cdot 4{,}8 \cdot 10^{-26} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{25} \cdot 2{,}5 \cdot 10^5 = 1 \cdot 10^5 \ \text{Па}$$

Отримали тиск $10^5$ Па, що дорівнює приблизно одному атмосферному тиску. Це підтверджує, що за нормальних умов повітря добре описується моделлю ідеального газу.

Важливі властивості тиску ідеального газу

• Тиск у різних місцях об'єму однаковий, оскільки газ рівномірно розподілений по всьому об'єму.

• Тиск на стінку не залежить від її орієнтації — газ тисне однаково в усіх напрямках.

Середня квадратична швидкість — це корінь із середнього значення квадрата швидкості молекул. Вона характеризує середню кінетичну енергію поступального руху молекул газу.

Формули для обчислення

Середню квадратичну швидкість можна виразити через температуру. Зі співвідношення $\bar{E}=\frac{3}{2}kT$ (де $k$ — стала Больцмана) і означення $\bar{E}=\frac{m_0{v}^2}{2}$ отримуємо:

$$v = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$$

На практиці зручніше користуватися молярною масою $M$ та універсальною газовою сталою $R$. Оскільки $m_0=M/N_A$ і $k=R/N_A$, то:

$$v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

Тут $T$ — абсолютна температура (К), $R=8,31\text{Дж/(моль⋅К)}$, $M$ — молярна маса газу (кг/моль). Важливо: температуру завжди беруть у кельвінах, а молярну масу — у кг/моль, а не в г/моль.

Залежність від температури та маси молекул

З формули $v=\sqrt{3RT/M}$ видно дві ключові залежності:

• Швидкість зростає з підвищенням температури пропорційно $\sqrt{T}$. Якщо абсолютну температуру збільшити в 4 рази (наприклад, від 300 К до 1200 К), середня квадратична швидкість зросте лише вдвічі.

• Швидкість обернено пропорційна кореню з молярної маси. Чим легші молекули, тим більша швидкість за тієї самої температури.

• Від тиску за сталої температури середня квадратична швидкість не залежить.

Характерні значення

Ось кілька чисел, які варто запам'ятати для орієнтування:

Легкі гази (водень, гелій) мають значно вищі швидкості молекул, ніж важкі (кисень, азот), за тієї самої температури.

Важливі застереження

• Середня квадратична швидкість — це не швидкість звуку в газі й не швидкість окремо взятої молекули. Окремі молекули можуть рухатися значно швидше або повільніше.

• Швидкості молекул розподілені за певним законом (розподіл Максвелла). Найбільше молекул мають швидкості, близькі до найімовірнішої (вона дещо менша за середню квадратичну), але є молекули з набагато меншими й набагато більшими швидкостями.

Розв'яжемо кілька типових задач, які можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Як зміниться тиск?

Умова: Як зміниться тиск ідеального газу, якщо середня квадратична швидкість молекул збільшиться вдвічі, а концентрація молекул залишиться незмінною?

Розв'язання: Записуємо основне рівняння МКТ: $p=\frac{1}{3}{m}_{0}n{v}^2$. За умовою $m_0$ і $n$ не змінюються, тому тиск пропорційний $v^2$. Якщо $v$ збільшилась у 2 рази, то $v^2$ збільшилась у $2^2=4$ рази. Отже, тиск збільшиться в 4 рази.

Відповідь: збільшиться в 4 рази.

Чому інші варіанти неправильні: «збільшиться вдвічі» — плутають $v$ і $v^2$; «не зміниться» — ігнорують залежність тиску від швидкості; «зменшиться вдвічі» — не має фізичного сенсу за збільшення швидкості.

Приклад 2. Середня кінетична енергія молекули

Умова: Тиск газу становить 200 кПа, концентрація молекул — $4\cdot 10^{25}$ м⁻³. Визнач середню кінетичну енергію поступального руху однієї молекули. Відповідь подай в одиницях $10^{-21}$ Дж.

Розв'язання: Використовуємо другу форму основного рівняння МКТ: $p=\frac{2}{3}n\bar{E}$. Звідси $\bar{E}=\frac{3p}{2n}$. Підставляємо значення: $p=200$ кПа $=2\cdot 10^5$ Па, $n=4\cdot 10^{25}$ м⁻³.

$$\bar{E} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 10^5}{2 \cdot 4 \cdot 10^{25}} = \frac{6 \cdot 10^5}{8 \cdot 10^{25}} = 0{,}75 \cdot 10^{-20} = 7{,}5 \cdot 10^{-21} \ \text{Дж}$$

Відповідь: 7,5 (в одиницях $10^{-21}$ Дж).

Приклад 3. Середня квадратична швидкість через густину

Умова: Густина газу дорівнює 1,2 кг/м³, тиск — 100 кПа. Знайди середню квадратичну швидкість молекул. Відповідь округли до цілих.

Розв'язання: Використовуємо формулу $p=\frac{1}{3}\rho v^2$. Звідси $v^2=\frac{3p}{\rho }$, а $v=\sqrt{\frac{3p}{\rho }}$. Підставляємо: $p=100$ кПа $=10^5$ Па, $\rho =1,2$ кг/м³.

$$v = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^5}{1{,}2}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^5}{1{,}2}} = \sqrt{2{,}5 \cdot 10^5} = \sqrt{250000} = 500 \ \text{м/с}$$

Відповідь: 500 м/с.

Приклад 4. Порівняння швидкостей різних газів

Умова: У скільки разів середня квадратична швидкість молекул кисню ($M_{O_2}=32$ г/моль) менша, ніж молекул водню ($M_{H_2}=2$ г/моль), за однакової температури?

Розв'язання: Використовуємо формулу $v=\sqrt{3RT/M}$. За однакової температури $T$ і сталої $R$ маємо $v\propto 1/\sqrt{M}$. Складаємо відношення:

$$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$$

Отже, швидкість молекул кисню в 4 рази менша, ніж водню.

Відповідь: у 4 рази.

Чому інші варіанти неправильні: «у 16 разів» — плутають відношення мас і кореня з них; «у 2 рази» — беруть корінь із 4 замість 16; «у 8 разів» — помилка в обчисленні.

• Забувають квадрат швидкості. Найпоширеніша помилка: вважають, що тиск пропорційний швидкості $v$, а не $v^2$. Якщо швидкість зросла вдвічі, тиск зростає в 4 рази, а не вдвічі. Завжди перевіряй, чи врахував квадрат у формулі $p=\frac{1}{3}{m}_{0}n{v}^2$.

• Плутають середню швидкість, середню квадратичну швидкість і швидкість однієї молекули. Середня квадратична швидкість — це $v=\sqrt{\overline{v^2}}$, а не середнє арифметичне швидкостей. Вона завжди більша за середню арифметичну швидкість. Крім того, окремі молекули можуть рухатися значно швидше або повільніше.

• Підставляють температуру в градусах Цельсія у формулу $v=\sqrt{3RT/M}$. Температура в цій формулі — завжди в кельвінах. Щоб перевести градуси Цельсія в кельвіни, додай 273: $T=t+273$. Наприклад, 20 °C = 293 К.

• Вважають, що тиск газу залежить від форми посудини. Тиск ідеального газу однаковий у всіх напрямках і не залежить від того, чи має посудина форму кулі, куба чи циліндра. Він визначається лише мікроскопічними параметрами ($m_0$, $n$, $v$).

• Беруть молярну масу в г/моль у формулі $v=\sqrt{3RT/M}$. У формулі $v=\sqrt{3RT/M}$ молярна маса $M$ має бути в кг/моль. Якщо в таблиці дано $M=32$ г/моль, переведи в кг/моль: $M=0,032$ кг/моль. Інакше результат буде заниженим у $\sqrt{1000}\approx 31,6$ раза.

У довідкових матеріалах НМТ з фізики, які ти отримаєш разом із тестом, наведено такі формули:

• Означення середньої квадратичної швидкості: $v_{\text{кв}}=\sqrt{\overline{v^2}}$

• Основне рівняння МКТ: $p=\frac{1}{3}{m}_{0}n{v}^2$

• Середня кінетична енергія: $\bar{E}=\frac{m_0{v}^2}{2}$

• Зв'язок температури й енергії: $\bar{E}=\frac{3}{2}kT$

Зверни увагу: формул $v=\sqrt{3kT/m_0}$ і $v=\sqrt{3RT/M}$ у довіднику немає. Їх потрібно виводити самостійно, комбінуючи $\bar{E}=m_0{v}^2/2$ і $\bar{E}=3kT/2$. Сталі $k$ (стала Больцмана), $R$ (універсальна газова стала) і $N_A$ (стала Авогадро) за потреби будуть указані в умові завдання.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ 2026 року тема «Основне рівняння МКТ» представлена, зокрема, завданням № 4 (тема 2.1, вибір однієї відповіді, 1 бал), де перевіряється зв'язок абсолютної температури й кінетичної енергії молекул. Форма запитань «як зміниться / у скільки разів» використовується в демоваріанті 2026 в завданнях № 3, 7 і 8.

Стратегія для завдань «у скільки разів»

Коли в задачі питають, у скільки разів зміниться величина, дій за таким алгоритмом:

1. Запиши формулу, що пов'язує шукану величину з іншими.

2. Познач початкові значення змінних (наприклад, $v_1$, $T_1$), а нові — як добуток початкових на множник ($v_2=2v_1$, $T_2=4T_1$).

3. Підстав нові значення у формулу й скороти всі величини, що не змінюються.

4. Отримай числовий множник — це й буде відповідь.

Наприклад, для задачі «У скільки разів зміниться тиск, якщо швидкість збільшилась у 3 рази?»: $p_2/p_1=(v_2/v_1{)}^2=3^2=9$.

• Основне рівняння МКТ: $p=\frac{1}{3}{m}_{0}n{v}^2=\frac{2}{3}n\bar{E}$

• Середня квадратична швидкість: $v=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$; зростає з температурою ($v\propto \sqrt{T}$), не залежить від тиску

• Якщо швидкість збільшилась у 2 рази за сталої концентрації, тиск збільшується в 4 рази ($p\propto v^2$)

• Ідеальний газ — модель, у якій молекули є матеріальними точками, не взаємодіють на відстані, а зіштовхуються абсолютно пружно

• Реальний газ близький до ідеального, коли він розріджений і не надто охолоджений

• Температуру в формулах завжди бери в кельвінах, молярну масу — у кг/моль