Момент сили і правило моментів

У повсякденному житті ми часто створюємо обертання: відчиняємо двері, закручуємо гайку ключем, гойдаємося на гойдалці. У всіх цих випадках сила діє на деякій відстані від осі обертання. Саме цю здатність сили обертати тіло описує фізична величина — момент сили.

Що таке момент сили

Момент сили M — це міра обертальної дії сили відносно осі обертання. Його обчислюють за формулою:

$$M=F\cdot d$$

де F — модуль сили (в ньютонах), а d — плече сили (в метрах). Одиниця моменту сили в СІ — ньютон-метр (Н·м). Момент сили — скалярна величина, але їй приписують знак залежно від напряму обертання, якого вона надає тілу.

Плече сили — ключове поняття

Плече сили d — це найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили. Іншими словами, це довжина перпендикуляра, опущеного з осі на лінію, уздовж якої діє сила. Дуже важливо: плече — це не відстань від осі до точки прикладання сили! Якщо сила напрямлена під кутом до стрижня, ці дві відстані не збігаються.

Розгляньмо стрижень завдовжки l, до кінця якого прикладено силу F під кутом α до стрижня. Відстань від осі до точки прикладання дорівнює l, але плече сили обчислюють як d = l · sin α. Якщо сила діє вздовж стрижня (α = 0°), то sin 0° = 0 і плече дорівнює нулю — така сила не створює моменту, хоч би якою великою вона була.

Коли момент дорівнює нулю

Якщо лінія дії сили проходить через вісь обертання, плече сили дорівнює нулю, а отже, момент такої сили також нульовий. Наприклад, коли ви штовхаєте двері безпосередньо біля петель, двері не відчиняться — сила не створює обертального моменту. Саме тому двері обладнують ручкою якомога далі від петель: чим більше плече, тим меншу силу треба докласти, щоб створити потрібний момент.

Знак моменту сили

Оскільки момент сили спричиняє обертання в одному з двох можливих напрямів, домовилися приписувати йому знак. Зазвичай моменти, що обертають тіло за годинниковою стрілкою, беруть зі знаком «+» або «−» залежно від вибраної домовленості, а моменти, що обертають проти годинникової стрілки, — з протилежним знаком. У більшості шкільних задач достатньо прирівняти суму моментів, що обертають тіло за годинниковою стрілкою, до суми моментів, що обертають його проти неї.

Приклад із дверима

Уявіть двері завширшки 0,8 м. Щоб відчинити їх, ви прикладаєте силу 10 Н перпендикулярно до полотна дверей на відстані 0,7 м від петель. Плече сили дорівнює 0,7 м, тому момент сили:

$$M=10\text{Н}\cdot 0,7\text{м}=7\text{Н⋅м}$$

Якби ви штовхали двері в тій самій точці, але під кутом 30° до полотна, плече стало б d = 0,7 · sin 30° = 0,7 · 0,5 = 0,35 м, а момент — лише 3,5 Н·м. Тому для ефективного обертання силу завжди прикладають перпендикулярно до важеля.

Важіль — це тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі. Щоб важіль перебував у рівновазі, сума моментів сил, що обертають його за годинниковою стрілкою, має дорівнювати сумі моментів сил, що обертають його проти годинникової стрілки. Це твердження називають правилом моментів.

Формулювання правила моментів

Для важеля, на який діють дві сили, правило моментів записують так:

$$F_1\cdot d_1=F_2\cdot d_2$$

де F₁ і F₂ — сили, а d₁ і d₂ — відповідні плечі. Якщо сил більше, то сума моментів одного напряму дорівнює сумі моментів протилежного напряму.

Як вибрати вісь обертання

Вісь обертання можна вибрати довільно, але на практиці її зручно розташовувати там, де прикладена невідома сила. Тоді плече цієї сили дорівнює нулю, її момент дорівнює нулю, і вона випадає з рівняння. Це спрощує обчислення.

Вага самого важеля

Якщо в умові задачі не сказано, що важіль невагомий, слід ураховувати вагу самого важеля. Для однорідного стрижня сила тяжіння прикладена в його центрі мас — тобто посередині стрижня. Момент цієї сили додають до рівняння моментів.

Розв'язування задачі: приклад

Розгляньмо важіль завдовжки 1,2 м. Вісь обертання розташована на відстані 0,4 м від лівого кінця. На лівому кінці підвішено вантаж масою 3 кг. Важіль невагомий. Прискорення вільного падіння g = 10 м/с². Яку силу треба прикласти до правого кінця, щоб зрівноважити важіль?

Розв'язання. Вага вантажу: P = mg = 3 · 10 = 30 Н. Плече сили тяжіння вантажу: d₁ = 0,4 м (від осі до лівого кінця). Плече невідомої сили на правому кінці: d₂ = 1,2 − 0,4 = 0,8 м. За правилом моментів:

$$F\cdot 0,8=30\cdot 0,4$$

$$F=\frac{30\cdot 0,4}{0,8}=15\text{Н}$$

Отже, до правого кінця треба прикласти силу 15 Н.

Як знайти масу вантажу

Якщо невідома маса вантажу, спочатку записують рівняння моментів через вагу P = mg, а потім виражають масу. Значення g завжди задають в умові задачі (найчастіше 10 м/с² або 9,8 м/с²).

Важелі поділяють на два основні типи залежно від розташування осі обертання відносно точок прикладання сил. Розуміння цього поділу допомагає швидко визначити, чи дає важіль виграш у силі, і який саме.

Важіль першого роду

У важелі першого роду вісь обертання розташована між точками прикладання сил. Класичні приклади: ножиці, гойдалка, терези. Тут сили діють по різні боки від осі, тому одна сила обертає важіль за годинниковою стрілкою, а друга — проти.

Важіль другого роду

У важелі другого роду обидві сили прикладені з одного боку від осі обертання. Приклади: тачка, щипці для горіхів. Тут вісь розташована на одному кінці важеля, навантаження — десь посередині, а сила прикладається на протилежному кінці. Така конструкція дає виграш у силі, бо плече прикладеної сили більше за плече навантаження. Якщо ж силу прикладено ближче до осі, ніж навантаження (пінцет, передпліччя людини), маємо програш у силі, але виграш у відстані.

Виграш у силі

Виграш у силі k показує, у скільки разів сила, прикладена до важеля, менша за силу навантаження (або вагу вантажу). Його обчислюють як відношення плечей:

$$k=\frac{F_2}{F_1}=\frac{d_1}{d_2}$$

де d₁ — плече прикладеної сили, а d₂ — плече навантаження. Іншими словами: у скільки разів плече прикладеної сили більше за плече навантаження, у стільки разів менша потрібна сила.

Золоте правило механіки

Виграш у силі завжди супроводжує програш у відстані. Це означає, що довше плече проходить більший шлях, ніж коротше. Виконана робота (без урахування тертя) однакова з обох боків — жоден важіль не дає виграшу в роботі. Це твердження називають золотим правилом механіки.

Приклад із ломиком

Ломик має плече сили 1,5 м, а плече вантажу — 0,3 м. Виграш у силі:

$$k=\frac{1,5}{0,3}=5$$

Отже, щоб підняти вантаж вагою 500 Н, достатньо прикласти силу 100 Н. Однак, щоб підняти вантаж на 2 см, кінець ломика треба опустити на 10 см — програш у відстані в 5 разів. Робота в обох випадках однакова: 500 Н · 0,02 м = 100 Н · 0,10 м = 10 Дж.

Приклад 1. Момент сили, прикладеної під кутом

Завдання. До важеля завдовжки 0,5 м у точці, що розташована на відстані 0,3 м від осі обертання, прикладено силу 20 Н під кутом 30° до важеля. Чому дорівнює момент цієї сили відносно осі?

Розв'язання. Плече сили — це перпендикуляр від осі до лінії дії сили. Відстань від осі до точки прикладання — 0,3 м, але сила напрямлена під кутом 30° до важеля. Отже, плече сили: d = 0,3 · sin 30° = 0,3 · 0,5 = 0,15 м. Момент сили:

$$M=F\cdot d=20\cdot 0,15=3\text{Н⋅м}$$

Відповідь: 3 Н·м.

Типова помилка: узяти за плече відстань 0,3 м і отримати M = 20 · 0,3 = 6 Н·м. Це неправильно, бо плече — це перпендикуляр до лінії дії сили, а не відстань до точки прикладання.

Приклад 2. Гойдалка: рівновага двох дітей

Завдання. Гойдалка — це важіль першого роду з віссю посередині. Дитина масою 30 кг сидить на відстані 1,2 м від осі. На якій відстані від осі з протилежного боку має сісти дитина масою 20 кг, щоб гойдалка перебувала в рівновазі? Прискорення вільного падіння g = 10 м/с².

Розв'язання. Вага першої дитини: P₁ = 30 · 10 = 300 Н. Вага другої дитини: P₂ = 20 · 10 = 200 Н. Плече першої дитини: d₁ = 1,2 м. За правилом моментів:

$$P_1\cdot d_1=P_2\cdot d_2$$

$$300\cdot 1,2=200\cdot d_2$$

$$d_2=\frac{300\cdot 1,2}{200}=\frac{360}{200}=1,8\text{м}$$

Відповідь: 1,8 м.

Типова помилка: підставити маси замість ваги: 30 · 1,2 = 20 · d₂ → d₂ = 1,8 м. Тут відповідь збігається, тому що g скорочується, але в загальному випадку так робити не можна — момент створює вага (mg), а не маса.

Приклад 3. Невагомий важіль: знаходження маси

Завдання. Невагомий важіль перебуває в рівновазі. На плечі 0,3 м підвішено вантаж масою 4 кг. Яку масу вантажу треба підвісити на плечі 0,6 м з іншого боку осі, щоб рівновага збереглася? g = 10 м/с².

Розв'язання. Вага першого вантажу: P₁ = 4 · 10 = 40 Н. Плече d₁ = 0,3 м. Невідома вага P₂, плече d₂ = 0,6 м. За правилом моментів:

$$P_1\cdot d_1=P_2\cdot d_2$$

$$40\cdot 0,3=P_2\cdot 0,6$$

$$P_2=\frac{40\cdot 0,3}{0,6}=20\text{Н}$$

Маса другого вантажу: m₂ = P₂ / g = 20 / 10 = 2 кг.

Відповідь: 2 кг.

Можна розв'язати й коротше: оскільки g скорочується, m₁ · d₁ = m₂ · d₂ → 4 · 0,3 = m₂ · 0,6 → m₂ = 2 кг.

Приклад 4. Однорідна лінійка з вантажем

Завдання. Однорідну лінійку підперли точно посередині, і вона перебуває в рівновазі. Потім на один її кінець поклали невеликий вантаж. У який бік і на скільки треба зсунути опору від середини, щоб лінійка з вантажем знову врівноважилася?

Розв'язання. Коли лінійка підперта посередині, її вага не створює моменту, бо центр мас збігається з віссю. Після додавання вантажу на кінці лінійка починає обертатися в бік вантажу. Щоб урівноважити, треба зсунути опору в той самий бік, де лежить вантаж. Чому? Тоді вага лінійки (прикладена в її центрі мас, тобто посередині) опиниться по інший бік від нової осі й створить момент, що протидіє моменту вантажу. Чим далі зсунути опору, тим більший момент створює вага лінійки. Рівновага настане, коли момент ваги лінійки зрівноважить момент вантажу.

Відповідь: опору треба зсунути в бік вантажу.

Типова помилка: вважати, що опору треба зсувати в протилежний бік. Насправді саме зсув у бік вантажу «перекидає» вагу лінійки на протилежне плече.

• Брати за плече відстань від осі до точки прикладання сили, коли сила спрямована під кутом до стрижня. Насправді плече — це довжина перпендикуляра від осі до лінії дії сили. Якщо сила напрямлена під кутом α до стрижня завдовжки l, то d = l · sin α, а не просто l.

• Забувати вагу самого важеля (однорідного стрижня) в його середині. Якщо в умові не сказано «невагомий», вага важеля створює момент, прикладений у центрі мас (посередині стрижня). Його обов'язково треба враховувати в рівнянні моментів.

• Порівнювати сили замість моментів: F₁ = F₂ за різних плечей. Рівновага важеля вимагає рівності моментів (F₁·d₁ = F₂·d₂), а не сил. За різних плечей сили можуть бути дуже різними.

• Підставляти масу замість ваги в момент: M = m·d замість M = m·g·d. Момент створює сила, а маса — це міра інертності. Вага P = mg, тому момент M = mg·d. Якщо g скорочується в обох частинах рівняння, можна працювати з масами, але спочатку треба записати правильне рівняння.

• Не переводити плечі в метри (см у м) до підстановки. Всі величини в СІ: плечі в метрах, сили в ньютонах. Якщо плече задано в сантиметрах, спочатку переведіть його в метри (поділіть на 100).

• Плутати виграш у силі з виграшем у роботі: жоден важіль не дає виграшу в роботі. Золоте правило механіки: що виграно в силі, те програно у відстані. Робота A = F·s завжди однакова з обох боків важеля (без урахування тертя).

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання на момент сили й умови рівноваги тіла подано як завдання № 17 з короткою відповіддю (0 або 2 бали). Відповідь — ціле число або десятковий дріб в одиниці, указаній в умові.

Формула моменту сили M = F·d та обидві умови рівноваги тіла наведені в довідкових матеріалах, які учасник бачить на екрані під час НМТ. Однак правило вибору осі обертання й домовленість про знаки моментів ти маєш застосовувати самостійно — у довідкових матеріалах цього немає.

Стратегія розв'язування

• Зроби рисунок важеля, познач вісь обертання.

• Познач усі сили, що діють на важіль: сили тяжіння вантажів, силу тяжіння самого важеля (якщо він не невагомий), зовнішні сили.

• Для кожної сили визнач плече — довжину перпендикуляра від осі до лінії дії сили.

• Визнач, які сили обертають важіль за годинниковою стрілкою, а які — проти.

• Запиши рівняння: сума моментів за годинниковою стрілкою дорівнює сумі моментів проти неї.

• Розв'яжи рівняння відносно невідомої величини.

Пам'ятай: у завданнях НМТ з короткою відповіддю числове значення треба ввести в поле відповіді в тих одиницях, які вказано в умові. Якщо відповідь 1,8 м, а в умові просять у сантиметрах, введи 180.

• Момент сили M = F·d, де d — довжина перпендикуляра від осі до лінії дії сили. Одиниця в СІ — ньютон-метр (Н·м).

• Правило моментів: сума моментів, що обертають тіло за годинниковою стрілкою, дорівнює сумі моментів, що обертають його проти годинникової стрілки.

• Вага однорідного стрижня прикладена в його середині (центр мас). Якщо в умові не сказано «невагомий», цю вагу треба враховувати.

• Виграш у силі важеля: k = d₁ / d₂. Що виграно в силі, те програно у відстані — жоден важіль не дає виграшу в роботі.