Квантові постулати Бора і лінійчасті спектри

У 1913 році данський фізик Нільс Бор запропонував два постулати, які пояснювали стійкість атома та походження лінійчастих спектрів. Вони стали фундаментом квантової теорії атома. Розгляньмо кожен із них.

Перший постулат Бора (постулат стаціонарних станів)

Атом може перебувати лише в певних стаціонарних (квантових) станах, кожному з яких відповідає певна дискретна енергія E₁, E₂, E₃, …. У стаціонарному стані атом не випромінює й не поглинає енергії. Електрони рухаються по стаціонарних орбітах, не випромінюючи електромагнітних хвиль — це розв'язувало головну проблему планетарної моделі Резерфорда, за якою електрон мав би падати на ядро, витрачаючи енергію на випромінювання.

Стан із найменшою можливою енергією називають основним (n = 1). Усі стани з більшою енергією — збуджені. Заведено позначати енергію рівнів від'ємними числами, а нульову енергію (E = 0) приписувати моменту, коли атом іонізовано — електрон відірвано від ядра. Чим нижчий (ближчий до ядра) рівень, тим від'ємніша енергія.

Другий постулат Бора (правило частот)

Під час переходу атома з одного стаціонарного стану в інший випромінюється або поглинається фотон. Енергія фотона дорівнює модулю різниці енергій цих станів:

$$h\nu =E_k-E_n$$де Eₖ — енергія вищого рівня, Eₙ — енергія нижчого рівня. Якщо атом переходить із вищого рівня на нижчий (Eₖ > Eₙ), він випромінює фотон. Якщо атом переходить із нижчого рівня на вищий — він поглинає фотон такої самої енергії.

Важливо: атом не може випромінити чи поглинути фотон з іншою енергією, крім тієї, що точно дорівнює різниці його енергетичних рівнів. Саме тому спектри атомів — лінійчасті, а не суцільні.

Діаграма енергетичних рівнів — це схема, на якій горизонтальними лініями позначають дозволені енергії атома. Чим вище розташована лінія на діаграмі, тим більша енергія відповідного стану (менш від'ємна). Вертикальні стрілки між лініями показують переходи: стрілка вниз — випромінювання фотона, стрілка вгору — поглинання.

Як читати діаграму

Кожна горизонтальна риска відповідає одному стаціонарному стану з певною енергією. Найнижча риска — основний стан (n = 1). Риски вище — збуджені стани (n = 2, 3, 4, …). Найвища риска відповідає межі йонізації (E = 0). Довжина стрілки пропорційна до енергії фотона: що довша стрілка, то більша енергія, а отже, більша частота й менша довжина хвилі випромінювання.

Формули для розрахунку

Якщо відомі енергії двох рівнів, можна обчислити характеристики випроміненого чи поглинутого фотона:

• енергія фотона: E = hν = Eₖ − Eₙ

• частота: ν = (Eₖ − Eₙ) / h

• довжина хвилі: λ = hc / (Eₖ − Eₙ)

Тут h — стала Планка (6,63·10⁻³⁴ Дж·с), c — швидкість світла у вакуумі (3·10⁸ м/с). Якщо енергії рівнів задано в електронвольтах, зручно користуватися добутком hc ≈ 1240 еВ·нм. Тоді довжину хвилі в нанометрах знаходять за формулою:

$$\lambda =\frac{1240\text{еВ⋅нм}}{E_k-E_n}$$

Приклад: атом Гідрогену

Розгляньмо атом, енергетичні рівні якого мають значення:

• E₁ = −13,6 еВ

• E₂ = −3,4 еВ

• E₃ = −1,5 еВ

Перехід 2 → 1: різниця енергій E₂ − E₁ = (−3,4) − (−13,6) = 10,2 еВ. Довжина хвилі: λ = 1240 / 10,2 ≈ 122 нм — це ультрафіолетове випромінювання.

Перехід 3 → 2: різниця енергій E₃ − E₂ = (−1,5) − (−3,4) = 1,9 еВ. Довжина хвилі: λ = 1240 / 1,9 ≈ 650 нм — це червоне світло видимого діапазону.

Умова поглинання

Атом поглинає лише ті фотони, енергія яких точно збігається з різницею між двома його енергетичними рівнями. Якщо фотон має трохи більшу або меншу енергію, він проходить крізь газ атомів без поглинання. Саме тому кожний хімічний елемент має унікальний набір спектральних ліній — він відповідає його власним енергетичним рівням.

Найбільша різниця енергій (найдовша стрілка на діаграмі) дає найкоротшу довжину хвилі. Найкоротша хвиля відповідає переходу між найвіддаленішими рівнями — зазвичай від найвищого збудженого до основного.

Лінійчасті спектри випромінювання та поглинання

Коли атом випромінює фотони під час переходів з вищих рівнів на нижчі, утворюється лінійчастий спектр випромінювання — набір окремих яскравих ліній на темному тлі. Кожна лінія відповідає певному переходу між двома енергетичними рівнями атома.

Якщо пропускати неперервне світло (наприклад, від розжареного тіла) крізь холодний газ атомів, то на місці тих самих довжин хвиль з'являться темні лінії — це лінійчастий спектр поглинання. Атоми газу поглинають фотони саме тих енергій, які відповідають різницям між їхніми енергетичними рівнями, і на неперервному спектрі утворюються темні провали.

Набір спектральних ліній унікальний для кожного хімічного елемента — це своєрідний «відбиток пальця» атома. На цьому ґрунтується спектральний аналіз: за лініями в спектрі можна визначити хімічний склад речовини. Саме так астрофізики вивчають склад Сонця та зір — сонячний спектр містить лінії поглинання, які вказують на наявність у зовнішніх шарах Сонця таких елементів, як Гідроген, Гелій, Натрій тощо. (Докладніше про неперервний спектр і спектральний аналіз — у курсі хвильової оптики.)

Кількість спектральних ліній

Якщо атом може перебувати на n рівнях і може переходити між будь-якими двома з них (у напрямку випромінювання — з вищого на нижчий), то кількість можливих спектральних ліній дорівнює кількості невпорядкованих пар із n елементів:

$$N=\frac{n(n-1)}{2}$$

Наприклад, для n = 4 рівнів: N = 4 · 3 / 2 = 6 ліній. Це без урахування можливих вироджених збігів, коли різні переходи дають однакову енергію фотона (таке трапляється в складніших атомах).

Якщо атом вихідно збуджений на конкретному рівні k (наприклад, n = 4) і може переходити лише вниз, то кількість можливих ліній випромінювання безпосередньо з цього рівня дорівнює k − 1 (на всі нижчі рівні). Один атом, спускаючись униз через проміжні рівні, випромінює щонайбільше k − 1 фотонів. Але в сукупності атомів (газі), збуджених до рівня k, відбуваються всі можливі переходи, тому в спектрі можна спостерігати k(k − 1)/2 різних ліній. Наприклад, для атомів газу, збуджених до рівня n = 4, у спектрі можна спостерігати 4 · 3 / 2 = 6 різних ліній.

Приклад 1. Другий постулат Бора

Завдання. Яке з наведених тверджень описує другий постулат Бора?

• А. Атом може перебувати лише в певних стаціонарних станах, у яких не випромінює енергії.

• Б. Енергія електрона в атомі залежить від інтенсивності падаючого світла.

• В. Під час переходу між стаціонарними станами атом випромінює або поглинає фотон, енергія якого дорівнює різниці енергій цих станів.

• Г. Атом може поглинути будь-який фотон, незалежно від його енергії.

Розв'язання. Перший постулат Бора стверджує про існування стаціонарних станів (варіант А). Другий постулат — це правило частот: випромінювання чи поглинання фотона з енергією, що дорівнює різниці енергій рівнів. Саме це сформульовано у варіанті В.

Відповідь: В. Чому інші варіанти неправильні?

• А — це перший постулат, а не другий.

• Б — помилкове твердження; енергія рівнів є дискретною й не залежить від інтенсивності світла.

• Г — помилкове; атом поглинає лише фотони з точною енергією, що дорівнює різниці рівнів.

Приклад 2. Найбільший фотон випромінювання

Завдання. Енергії рівнів атома дорівнюють −5 еВ, −2 еВ і −1 еВ. Знайдіть найбільшу енергію фотона (в еВ), яку може випромінити цей атом.

Розв'язання. Атом випромінює фотон, переходячи з вищого рівня на нижчий. Найбільша енергія фотона відповідає найбільшій різниці енергій між двома рівнями. Рівні: E₁ = −5, E₂ = −2, E₃ = −1 еВ. Найбільша різниця — між найвищим (E₃ = −1 еВ) і найнижчим (E₁ = −5 еВ): ΔE = (−1) − (−5) = 4 еВ.

Відповідь: 4.

Приклад 3. Кількість спектральних ліній

Завдання. Атом має 4 енергетичні рівні. Скільки різних спектральних ліній випромінювання може з'явитися в спектрі газу з таких атомів?

• А. 3

• Б. 4

• В. 6

• Г. 8

Розв'язання. Кількість ліній дорівнює кількості різних переходів з вищого рівня на нижчий. Для n = 4 рівнів: N = n(n − 1)/2 = 4 · 3 / 2 = 6.

Відповідь: В (6). Чому інші варіанти неправильні?

• А (3) — можна помилково порахувати лише переходи з найвищого рівня: 4 → 3, 4 → 2, 4 → 1.

• Б (4) — можна сплутати кількість ліній із кількістю рівнів.

Г (8) — можна помилково порахувати 4 · 2 = 8.

Приклад 4. Довжина хвилі фотона

Завдання. Різниця енергій між двома найближчими рівнями атома становить 2,48 еВ. Атом випромінює фотон під час переходу між цими рівнями. Визначте довжину хвилі цього фотона в нанометрах. Стала Планка hc ≈ 1240 еВ·нм.

Розв'язання. Довжина хвилі фотона: λ = hc / ΔE = 1240 / 2,48 = 500 нм.

Відповідь: 500.

• Плутати напрям переходу під час випромінювання й поглинання. Запам'ятай: випромінювання — перехід згори вниз (Eₖ → Eₙ, фотон народжується); поглинання — перехід знизу вгору (Eₙ → Eₖ, фотон зникає). На діаграмі стрілка вниз — випромінювання, стрілка вгору — поглинання.

• Брати в задачі не різницю, а суму енергій рівнів. Енергія фотона — це завжди модуль різниці енергій, а не сума. Наприклад, для рівнів −5 еВ і −1 еВ різниця дорівнює 4 еВ, а сума −6 еВ не має фізичного сенсу.

• Вважати, що чим більша різниця рівнів, тим більша довжина хвилі. Насправді навпаки: λ = hc / ΔE, тому більша різниця енергій дає меншу довжину хвилі. Найбільша різниця — найкоротша хвиля (ультрафіолет чи рентген).

• Вважати, що атом випромінює й у стаціонарному стані. Перший постулат Бора чітко каже: у стаціонарному стані атом не випромінює й не поглинає. Випромінювання відбувається лише під час переходу між станами.

• Вважати кількість ліній спектра рівною кількості рівнів, а не кількості пар. Для n = 4 рівнів ліній не 4, а 6 — це кількість усіх можливих переходів зверху вниз. Користуйся формулою n(n − 1)/2.

• Не переводити еВ у Дж під час використання h у Дж·с. Якщо енергія рівнів дана в еВ, а стала Планка — у Дж·с, потрібно спочатку перевести еВ у Дж (1 еВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж) або скористатися добутком hc ≈ 1240 еВ·нм, якщо його наведено в умові.

Тема «Постулати Бора. Лінійчасті спектри» входить до теми «Атом та атомне ядро» програми НМТ з фізики. Програма вимагає застосовувати постулати Бора й схеми енергетичних рівнів для визначення енергії, частоти й довжини хвилі фотона.

Задачі на схеми енергетичних рівнів потребують уважного читання діаграми — відпрацюй їх окремо. У демоваріанті НМТ-2026 із теми «Атом та атомне ядро» були представлені завдання № 14 (вибір однієї відповіді) і № 22 (коротка відповідь).

Що можна й чого не можна використовувати на тесті:

• Другий постулат Бора (hν = Eₖ − Eₙ) є у довідкових матеріалах, які видають на тестуванні. Тож формулу можна не запам'ятовувати — достатньо вміти нею користуватися.

• Словесного формулювання постулатів у довідкових матеріалах немає — його треба знати.

• Розпізнавання схем енергетичних рівнів — у довідкових матеріалах відсутнє; це навичка, яку потрібно відпрацювати окремо.

Формати завдань на НМТ:

Стратегія розв'язування задач на схеми енергетичних рівнів:

1. Уважно розглянь схему: визнач, скільки рівнів зображено та які їхні енергії (числові значення підписані біля ліній).

2. Познач стрілку, яка показує перехід: стрілка вниз — випромінювання, стрілка вгору — поглинання.

3. Обчисли різницю енергій: ΔE = Eₖ − Eₙ (де Eₖ — вищий рівень, Eₙ — нижчий).

4. Застосуй формулу hν = ΔE для частоти або λ = hc / ΔE для довжини хвилі.

5. Якщо питають кількість можливих ліній, скористайся формулою N = n(n − 1)/2.

• Стаціонарні стани: атом має дискретні енергетичні рівні, у стаціонарному стані не випромінює й не поглинає.

• hν = Eₖ − Eₙ: випромінювання — перехід з вищого рівня на нижчий (стрілка вниз); поглинання — перехід з нижчого на вищий (стрілка вгору).

• Більша різниця рівнів — більша частота й менша довжина хвилі; найкоротша хвиля відповідає найбільшому стрибку (наприклад, з верхнього рівня на основний).

• Спектри атомів лінійчасті: кожний хімічний елемент має унікальний набір ліній випромінювання й поглинання — це основа спектрального аналізу.

• Кількість можливих спектральних ліній для n рівнів: N = n(n − 1)/2.

• Постулати Бора (1913) розв'язали проблему стійкості планетарної моделі: електрон у стаціонарному стані не падає на ядро.