Коливальний контур і формула Томсона

Коливальний контур — це найпростіше електричне коло, у якому можуть виникати вільні електромагнітні коливання. Він складається лише з двох елементів: конденсатора ємністю C і котушки індуктивністю L, з'єднаних між собою провідниками. Якщо спочатку зарядити конденсатор (надати йому енергію електричного поля), а потім замкнути його на котушку, у контурі починаються коливання заряду на обкладках конденсатора й сили струму в котушці. Такі коливання називають вільними, тому що вони відбуваються без зовнішнього джерела енергії — лише за рахунок енергії, запасеної в конденсаторі.

Розгляньмо процес покроково. У початковий момент (t = 0) конденсатор заряджений до максимального заряду qmax, а струму в колі немає. Уся енергія зосереджена в електричному полі конденсатора: W = qmax²/(2C). Конденсатор починає розряджатися через котушку. Котушка, завдяки явищу самоіндукції, створює ЕРС самоіндукції, яка перешкоджає різкій зміні струму. Тому струм наростає не миттєво, а поступово.

Через чверть періоду (T/4) конденсатор повністю розряджається (q = 0), а сила струму досягає максимального значення Imax. У цей момент уся енергія перейшла в магнітне поле котушки: W = L·Imax²/2. Далі, хоча конденсатор уже розряджений, струм не зникає миттєво — самоіндукція підтримує його. Струм продовжує текти в тому самому напрямі, перезаряджаючи конденсатор: на його обкладках з'являються заряди, протилежні за знаком до початкових.

Ще через чверть періоду (T/2) струм спадає до нуля, а конденсатор знову заряджений до максимального заряду, але з протилежним знаком. Далі процес повторюється в зворотному напрямі: конденсатор знову розряджається, струм тече в інший бік, досягає максимуму, потім спадає, і конденсатор повертається до початкового стану. Так завершується один повний період коливань.

Важливо запам'ятати фазове співвідношення: заряд q і сила струму I коливаються зі зсувом у чверть періоду. Коли заряд максимальний, струм дорівнює нулю. Коли заряд дорівнює нулю, струм максимальний. Це нагадує коливання пружинного маятника, де зміщення максимальне, коли швидкість нульова, і навпаки.

У реальному контурі провідники мають деякий активний опір R. Через це частина енергії щоразу перетворюється на тепло (згідно із законом Джоуля — Ленца), і коливання поступово згасають. Щоб підтримувати незгасаючі коливання, потрібно періодично поповнювати енергію контуру. Так працює генератор незгасаючих електромагнітних коливань (наприклад, на транзисторі): джерело живлення поповнює енергію контуру в такт його власним коливанням.

Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначається лише двома параметрами: індуктивністю L котушки та ємністю C конденсатора. Зв'язок між ними дає формула Томсона:

T = 2π√(LC)

де T — період коливань (у секундах), L — індуктивність (у генрі, Гн), C — ємність (у фарадах, Ф). Власна частота ν (ню) — це величина, обернена до періоду:

ν = 1/T = 1/(2π√(LC))

Циклічна (кутова) частота ω пов'язана з періодом співвідношенням ω = 2π/T, тому:

ω = 1/√(LC)

Числовий приклад

Нехай L = 0,04 Гн, C = 25 мкФ. Спочатку переведемо ємність у фаради: 25 мкФ = 25·10⁻⁶ Ф. Добуток LC = 0,04 · 25·10⁻⁶ = 1·10⁻⁶ с². Тоді T = 2π·√(1·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с ≈ 6,28·10⁻³ с = 6,3 мс. Частота ν = 1/(6,28·10⁻³) ≈ 160 Гц.

Як зміна L або C впливає на період і частоту

Оскільки T ∝ √(LC), то:

• якщо ємність збільшити в 4 рази, √C зросте вдвічі, тому період збільшиться вдвічі, а частота зменшиться вдвічі;

• якщо індуктивність зменшити в 9 разів, √L зменшиться втричі, тому період зменшиться втричі, а частота зросте втричі;

• якщо одночасно збільшити L у 2 рази і C у 2 рази, LC зросте в 4 рази, √(LC) — удвічі, тому період зросте вдвічі.

Переведення префіксів у СІ

У задачах ємність можуть дати у мікрофарадах (мкФ), нанофарадах (нФ) або пікофарадах (пФ), а індуктивність — у мілігенрі (мГн) або мікрогенрі (мкГн). Запам'ятай:

Найпоширеніша помилка — забути перевести префікси в СІ або забути добути квадратний корінь. Завжди спочатку записуй L і C в основних одиницях, потім обчислюй LC, потім корінь, і лише потім множ на 2π.

Період власних коливань контуру залежить ТІЛЬКИ від L і C. Він не залежить від того, як сильно ви зарядили конденсатор (від амплітуди). Це властивість власних коливань — їхня частота визначається параметрами системи, а не початковими умовами.

У коливальному контурі енергія періодично переходить з однієї форми в іншу. Енергія електричного поля зарядженого конденсатора обчислюється за формулою:

Wₑ = q²/(2C) = CU²/2

де q — заряд на обкладках, C — ємність, U — напруга на конденсаторі. Енергія магнітного поля котушки зі струмом:

Wₘ = LI²/2

де L — індуктивність, I — сила струму. Повна енергія контуру в будь-який момент часу (за відсутності втрат) дорівнює сумі цих двох енергій і залишається сталою:

W = q²/(2C) + LI²/2 = const

Максимальні значення

У момент, коли конденсатор повністю заряджений (q = qmax, I = 0), уся енергія зосереджена в електричному полі:

W = qmax²/(2C)

У момент, коли струм максимальний (I = Imax, q = 0), уся енергія зосереджена в магнітному полі котушки:

W = L·Imax²/2

Оскільки повна енергія зберігається, ці дві величини рівні:

qmax²/(2C) = L·Imax²/2

Звідси можна знайти максимальний струм через максимальний заряд:

Imax = qmax/√(LC) = ω·qmax

де ω = 1/√(LC) — циклічна частота коливань.

Числовий приклад

Конденсатор ємністю C = 2 мкФ заряджено до напруги U = 100 В. Знайдемо енергію контуру: W = CU²/2 = 2·10⁻⁶ · 100² / 2 = 2·10⁻⁶ · 10⁴ / 2 = 0,01 Дж. Якщо індуктивність котушки L = 0,5 Гн, то максимальний струм: Imax = √(2W/L) = √(0,02/0,5) = √0,04 = 0,2 А.

Аналогія з пружинним маятником

Між електромагнітними коливаннями в контурі та механічними коливаннями пружинного маятника існує глибока аналогія. Вона допомагає інтуїтивно розуміти процеси в контурі:

Як бачиш, індуктивність L аналогічна масі m (вона «чинить інерцію» зміні струму), а обернена ємність 1/C — жорсткості пружини k. Формула Томсона T = 2π√(LC) тоді стає аналогом формули для періоду пружинного маятника T = 2π√(m/k). Це не випадковість — математично обидві системи описуються однаковими рівняннями.

Приклад 1. Обчислення періоду за формулою Томсона

Завдання: Коливальний контур містить котушку індуктивністю 0,1 Гн і конденсатор ємністю 10 мкФ. Визнач період власних коливань у мілісекундах. π = 3,14.

Розв'язання:

1. Переводимо ємність у СІ: C = 10 мкФ = 10·10⁻⁶ Ф = 10⁻⁵ Ф.

2. Обчислюємо добуток LC = 0,1 · 10⁻⁵ = 10⁻⁶ с².

3. Беремо квадратний корінь: √(LC) = √(10⁻⁶) = 10⁻³ с.

4. За формулою Томсона: T = 2π·10⁻³ = 2·3,14·10⁻³ = 6,28·10⁻³ с.

5. Переводимо в мілісекунди: 6,28·10⁻³ с = 6,28 мс.

Відповідь: 6,28 мс.

Чому інші відповіді неправильні? Якщо не перевести мкФ у Ф, отримаєш LC = 0,1·10 = 1, T = 2π·1 = 6,28 с — це в 1000 разів більше. Якщо забути корінь, T = 2π·10⁻⁶ ≈ 6,28·10⁻⁶ с = 0,00628 мс — у 1000 разів менше.

Приклад 2. Як зміна ємності впливає на частоту

Завдання: Як зміниться частота власних коливань коливального контуру, якщо ємність конденсатора збільшити в 4 рази?

Розв'язання: Частота ν = 1/(2π√(LC)). Якщо C' = 4C, то √(LC') = √(L·4C) = √4·√(LC) = 2√(LC). Тоді ν' = 1/(2π·2√(LC)) = ½·1/(2π√(LC)) = ν/2. Отже, частота зменшиться вдвічі.

Відповідь: зменшиться вдвічі.

Чому інші варіанти неправильні? «Збільшиться вдвічі» — плутанина з періодом (період зростає, частота спадає). «Зменшиться в 4 рази» — забули добути корінь (C у 4 рази → √C у 2 рази, не в 4). «Не зміниться» — ігнорування залежності частоти від ємності.

Приклад 3. Енергія контуру через максимальний струм

Завдання: У коливальному контурі з індуктивністю L = 2 мГн максимальна сила струму дорівнює 0,5 А. Знайди повну енергію контуру в міліджоулях.

Розв'язання:

1. Переводимо індуктивність у СІ: L = 2 мГн = 2·10⁻³ Гн.

2. У момент максимального струму вся енергія зосереджена в котушці: W = L·Imax²/2.

3. W = 2·10⁻³ · (0,5)² / 2 = 1·10⁻³ · 0,25 = 0,25·10⁻³ Дж.

4. Переводимо в міліджоулі: 0,25·10⁻³ Дж = 0,25 мДж.

Відповідь: 0,25 мДж.

Поширена помилка: не перевести мГн у Гн — тоді W = 2·0,25/2 = 0,25 Дж = 250 мДж, що в 1000 разів більше.

Приклад 4. Енергія в момент повної розрядки конденсатора

Завдання: У коливальному контурі конденсатор повністю розряджений. Яка енергія контуру в цей момент?

Розв'язання: Коли конденсатор повністю розряджений (q = 0), енергія електричного поля дорівнює нулю. У цей момент сила струму максимальна (I = Imax), тому вся енергія зосереджена в магнітному полі котушки: W = L·Imax²/2.

Відповідь: вся енергія в магнітному полі котушки.

Чому інші варіанти неправильні? «Вся енергія в електричному полі» — це було б при максимальному заряді, а не при нульовому. «Енергія розділена порівну» — так буває в проміжні моменти, а не в крайніх точках. «Енергії немає» — енергія нікуди не зникає, вона лише переходить з однієї форми в іншу.

• Не переводити мікрофаради, мілігенрі в одиниці СІ. Найпоширеніша помилка: підставляти C = 10 замість C = 10·10⁻⁶ у формулу Томсона. Завжди спочатку записуй L і C у генрі та фарадах.

• Забувати добути корінь або 2π: T = 2π√(LC). Дехто обчислює T = 2π·LC або T = √(LC), пропускаючи 2π. Пам'ятай: спочатку √(LC), потім множення на 2π.

• Думати, що період залежить від початкового заряду конденсатора. Це не так: T = 2π√(LC) не містить заряду. Період власних коливань визначається лише параметрами контуру L і C.

• Плутати моменти: за максимального заряду струм нульовий, а не найбільший. Коли q = qmax, конденсатор повністю заряджений, струм не тече. Коли q = 0, струм максимальний.

• Вважати, що в реальному контурі коливання не згасають. Насправді через активний опір проводів частина енергії перетворюється на тепло, і вільні коливання згасають.

• Плутати аналогію: індуктивність L відповідає масі m, а не жорсткості. Індуктивність «чинить інерцію» зміні струму, як маса — зміні швидкості. Жорсткості відповідає обернена ємність 1/C.

Довідка НМТ з фізики містить формулу Томсона T = 2π√(LC), формули енергії електричного поля конденсатора W = CU²/2 та енергії магнітного поля котушки W = LI²/2, а також діючі значення сили струму й напруги. Програма НМТ (тема «Електромагнітні коливання і хвилі») вимагає вміти застосовувати формулу Томсона для обчислення періоду й частоти власних коливань, а також закон збереження енергії в коливальному контурі.

Завдання на цю тему можуть бути різних типів:

• Коротка відповідь (номери 17–22, оцінюється в 0 або 2 бали): потрібно ввести число в одиницях, зазначених в умові. Префікси мікро- (10⁻⁶) і мілі- (10⁻³) обов'язково переводять у СІ до підстановки у формулу.

• Завдання «як зміниться»: період або частоту порівнюють без числових значень, використовуючи пропорцію T ∝ √(LC). Стратегія: спершу запиши відношення змін L і C, потім застосуй квадратний корінь.

• Якісні завдання: опис перетворень енергії в контурі, визначення моменту, коли енергія зосереджена в конденсаторі або в котушці.

У демоваріанті НМТ 2026 року тему електромагнітних коливань представлено завданням № 11, у якому перевірялося розуміння періоду й частоти змінного струму. Для успішного виконання завдань із коливального контуру варто запам'ятати простий алгоритм: (1) перевести всі величини в СІ, (2) обчислити LC, (3) добути квадратний корінь, (4) помножити на 2π для періоду або взяти обернену величину для частоти.

• Коливальний контур складається з конденсатора ємністю C і котушки індуктивністю L. У ньому виникають вільні електромагнітні коливання заряду q і сили струму I, зсунуті за фазою на чверть періоду (T/4).

• Формула Томсона: T = 2π√(LC). Власна частота: ν = 1/(2π√(LC)). Циклічна частота: ω = 1/√(LC).

• Енергія в контурі переходить від електричного поля конденсатора (q²/(2C)) до магнітного поля котушки (LI²/2) і назад. За відсутності втрат повна енергія W = q²/(2C) + LI²/2 залишається сталою.

• Максимальний струм і максимальний заряд пов'язані: Imax = qmax/√(LC) = ω·qmax.

• Аналогія з пружинним маятником: заряд q ↔ зміщення x, сила струму I ↔ швидкість v, індуктивність L ↔ маса m, обернена ємність 1/C ↔ жорсткість k.

• Період власних коливань залежить лише від L і C і не залежить від амплітуди (початкового заряду).

• У реальному контурі через активний опір коливання згасають; для підтримання коливань потрібне зовнішнє джерело енергії.