Кінетична і потенціальна енергія

Кінетична енергія — це енергія, яку тіло має завдяки своєму рухові. Її обчислюють за формулою Eк = m·v²/2, де m — маса тіла, v — його швидкість. Кінетична енергія — скалярна величина, вона завжди невід'ємна (Eк ≥ 0). Одиниця вимірювання в СІ — джоуль (Дж).

Оскільки швидкість тіла залежить від вибору системи відліку, кінетична енергія теж залежить від системи відліку. Наприклад, пасажир у вагоні поїзда має нульову кінетичну енергію відносно вагона, але ненульову — відносно землі.

Залежність кінетичної енергії від маси та швидкості

З формули Eк = mv²/2 видно, що кінетична енергія прямо пропорційна масі тіла: якщо маса збільшується вдвічі за незмінної швидкості, то Eк теж збільшується вдвічі. Водночас кінетична енергія пропорційна квадрату швидкості: якщо швидкість збільшується в 3 рази за незмінної маси, то Eк збільшується в 3² = 9 разів.

Розгляньмо порівняння. Вантажівка масою 10 т (10 000 кг) рухається зі швидкістю 10 м/с. Її кінетична енергія:

Eк = 10 000 · 10² / 2 = 10 000 · 100 / 2 = 500 000 Дж = 500 кДж.

Легковий автомобіль масою 1 т (1000 кг) рухається зі швидкістю 30 м/с. Його кінетична енергія:

Eк = 1000 · 30² / 2 = 1000 · 900 / 2 = 450 000 Дж = 450 кДж.

Хоча швидкість легковика втричі більша, його кінетична енергія менша, ніж у вантажівки, бо маса легковика вдесятеро менша. Цей приклад показує, що треба враховувати обидві величини: маса входить у формулу в першому степені, а швидкість — у квадраті.

Кінетична енергія системи тіл

Кінетична енергія системи тіл дорівнює сумі кінетичних енергій кожного тіла окремо. Її не можна обчислювати через «сумарний імпульс» системи, тому що імпульси тіл можуть компенсувати один одного (наприклад, два однакові тіла, що рухаються назустріч з однаковими швидкостями, мають нульовий сумарний імпульс, але їхня сумарна кінетична енергія не дорівнює нулю).

Теорема про кінетичну енергію встановлює зв'язок між роботою сил і зміною кінетичної енергії тіла. Вона формулюється так: робота рівнодійної всіх сил, прикладених до тіла, дорівнює зміні його кінетичної енергії:

A = Eк₂ − Eк₁ = mv₂²/2 − mv₁²/2

Тут A — робота рівнодійної сили, v₁ — початкова швидкість, v₂ — кінцева швидкість. Якщо рівнодійна сила виконує додатну роботу, кінетична енергія зростає; якщо від'ємну — спадає.

Гальмування

Розгляньмо гальмування автомобіля на горизонтальній дорозі. Єдина сила, яка виконує роботу в напрямку, протилежному рухові, — це сила тертя ковзання Fтер = μmg. Її робота від'ємна: A = −Fтер·s = −μmg·s.

За теоремою про кінетичну енергію:

−μmg·s = 0 − mv²/2

Звідси гальмівний шлях: s = v² / (2μg). Важливий висновок: гальмівний шлях пропорційний квадрату початкової швидкості. Якщо швидкість зростає вдвічі, гальмівний шлях збільшується в 4 рази. Саме тому перевищення швидкості таке небезпечне — гальмівний шлях зростає квадратично.

Розгін з нуля

Якщо тіло розганяється зі стану спокою під дією сталої сили F, то робота цієї сили A = F·s дорівнює кінетичній енергії, яку тіло набуло: F·s = mv²/2. Звідси можна знайти шлях, необхідний для досягнення заданої швидкості: s = mv²/(2F).

Перевага теореми

Теорема про кінетичну енергію особливо зручна тим, що не потребує знання часу руху чи траєкторії. Досить знати роботу сил між двома положеннями тіла. Це дає змогу розв'язувати задачі, де кінематичні рівняння були б надто складними або потребували додаткових даних.

Потенціальна енергія — це енергія взаємодії тіла з іншими тілами або полями. На відміну від кінетичної, вона залежить не від швидкості, а від взаємного розташування тіл. Розглянемо два найважливіші випадки: потенціальну енергію тіла в полі тяжіння Землі та потенціальну енергію пружно деформованої пружини.

Потенціальна енергія тіла над Землею

Потенціальна енергія тіла, піднятого над Землею, обчислюється за формулою:

Eп = m·g·h

де m — маса тіла, g — прискорення вільного падіння (≈ 9,8 м/с², у задачах НМТ часто беруть 10 м/с²), h — висота тіла над довільно вибраним нульовим рівнем.

Нульовий рівень — це рівень, на якому потенціальну енергію вважають рівною нулю. Його вибирають довільно, залежно від зручності розв'язування задачі. Найчастіше за нульовий рівень беруть поверхню Землі, підлогу, поверхню столу або дно водойми.

Від'ємна потенціальна енергія

Якщо тіло розташоване нижче від вибраного нульового рівня, його потенціальна енергія буде від'ємною. Наприклад, камінь на дні колодязя має від'ємну Eп, якщо нульовий рівень обрано на поверхні землі. Від'ємне значення не означає «відсутність» енергії — фізичний зміст має лише зміна потенціальної енергії ΔEп, яка не залежить від вибору нульового рівня.

Приклад залежності від нульового рівня

Вантаж масою 2 кг лежить на полиці, розташованій на 2 м вище за поверхню стола заввишки 0,8 м. Відносно підлоги висота вантажу h = 0,8 + 2 = 2,8 м, тому Eп = 2 · 10 · 2,8 = 56 Дж. Відносно поверхні стола h = 2 м, тому Eп = 2 · 10 · 2 = 40 Дж. Як бачимо, числове значення залежить від вибору нульового рівня. Якщо ж вантаж перекласти з полиці на стіл, то відносно підлоги Eп зменшиться з 56 Дж до 16 Дж, а відносно стола — з 40 Дж до 0; в обох випадках ΔEп = −40 Дж. Зміна потенціальної енергії від вибору нульового рівня не залежить.

Потенціальна енергія деформованої пружини

Пружно деформована пружина теж має потенціальну енергію. Її обчислюють за формулою:

Eп = k·x²/2

де k — жорсткість пружини (в Н/м), x — видовження або стиснення пружини (в м). За подвоєної деформації (x × 2) потенціальна енергія зростає в 4 рази, оскільки x входить у формулу в квадраті.

Робота сили тяжіння і потенціальна енергія

Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії з протилежним знаком:

A = −ΔEп = mg(h₁ − h₂)

Якщо тіло падає (h₂ < h₁), сила тяжіння виконує додатну роботу, а потенціальна енергія зменшується. Якщо тіло піднімають (h₂ > h₁), робота сили тяжіння від'ємна, а потенціальна енергія зростає.

Імпульс тіла p = mv і кінетична енергія Eк = mv²/2 — обидві величини характеризують механічний стан рухомого тіла, але по-різному. Імпульс — векторна величина, кінетична енергія — скалярна. Між ними існує простий зв'язок:

Eк = p² / (2m), p = √(2mEк)

Ці формули дають змогу, знаючи імпульс і масу, знайти кінетичну енергію, і навпаки.

Як змінюються величини

Якщо імпульс тіла збільшити вдвічі за сталої маси, то кінетична енергія збільшиться в 4 рази. Справді: p₂ = 2p₁, тоді Eк₂ = (2p₁)²/(2m) = 4p₁²/(2m) = 4Eк₁. Навпаки, якщо кінетичну енергію збільшити в 4 рази, імпульс збільшиться вдвічі.

Порівняння тіл з однаковим імпульсом

За однакового імпульсу більшу кінетичну енергію має тіло з меншою масою. З формули Eк = p²/(2m) видно, що при фіксованому p енергія обернено пропорційна масі. Наприклад, куля масою 10 г і вантажівка масою 10 т можуть мати однаковий імпульс, але кінетична енергія кулі буде в мільйон разів більшою.

Порівняння тіл з однаковою кінетичною енергією

За однакової кінетичної енергії більший імпульс має важче тіло. З формули p = √(2mEк) видно, що при фіксованому Eк імпульс пропорційний √m. Тому важче тіло має більший імпульс за тієї самої кінетичної енергії.

Одночасна зміна маси і швидкості

Розгляньмо цікавий випадок: маса тіла збільшилася вдвічі, а швидкість зменшилася вдвічі. Імпульс p = mv не змінюється: p₂ = (2m)·(v/2) = mv = p₁. Кінетична енергія Eк = mv²/2 зменшується вдвічі: Eк₂ = (2m)·(v/2)²/2 = (2m)·(v²/4)/2 = (mv²/2)/2 = Eк₁/2. Отже, за незмінного імпульсу кінетична енергія може змінюватися.

Приклад 1. Зміна кінетичної енергії зі зміною швидкості

Умова: Кінетична енергія тіла дорівнює Eк. Як зміниться кінетична енергія цього тіла, якщо його швидкість збільшити в 3 рази?

Розв'язання: Запишемо формулу кінетичної енергії: Eк = mv²/2. Якщо швидкість збільшити в 3 рази, то v₂ = 3v₁. Тоді нова кінетична енергія Eк₂ = m·(3v₁)²/2 = m·9v₁²/2 = 9·(mv₁²/2) = 9Eк₁. Отже, кінетична енергія збільшиться в 9 разів.

Відповідь: у 9 разів.

Чому інші відповіді неправильні: «у 3 рази» — типова помилка, коли забувають, що швидкість входить у формулу в квадраті; «у 6 разів» — помилка множення (3·2 замість 3²); «не зміниться» — ігнорування залежності Eк від швидкості.

Приклад 2. Імпульс через кінетичну енергію

Умова: Кінетична енергія тіла масою 2 кг дорівнює 25 Дж. Визнач імпульс цього тіла (у кг·м/с).

Розв'язання: Використаємо зв'язок між кінетичною енергією та імпульсом: Eк = p²/(2m). Звідси p = √(2mEк) = √(2·2·25) = √100 = 10 кг·м/с.

Відповідь: 10 кг·м/с.

Пояснення: Формула Eк = p²/(2m) дає змогу знайти імпульс, не обчислюючи швидкості окремо. Це зручно, коли в умові дано масу й кінетичну енергію.

Приклад 3. Потенціальна енергія пружини

Умова: Пружину жорсткістю 200 Н/м розтягують від 0,1 м до 0,2 м. На скільки джоулів збільшиться її потенціальна енергія?

Розв'язання: Початкова деформація x₁ = 0,1 м, кінцева x₂ = 0,2 м. Потенціальна енергія пружини Eп = kx²/2. Зміна енергії:

ΔEп = k·x₂²/2 − k·x₁²/2 = (k/2)·(x₂² − x₁²) = (200/2)·(0,2² − 0,1²) = 100·(0,04 − 0,01) = 100·0,03 = 3 Дж.

Відповідь: 3 Дж.

Пояснення: Важливо не забути, що в формулу входить квадрат деформації, а не сама деформація. Також слід стежити, щоб x було виражено в метрах.

Приклад 4. Порівняння кінетичних енергій за однакового імпульсу

Умова: Два тіла мають однакові імпульси. Маса першого тіла вдвічі більша за масу другого. Порівняйте їхні кінетичні енергії.

Розв'язання: Використаємо формулу Eк = p²/(2m). Оскільки імпульси однакові (p₁ = p₂), то Eк₁/Eк₂ = (p²/(2m₁)) / (p²/(2m₂)) = m₂/m₁. За умовою m₁ = 2m₂, тому Eк₁/Eк₂ = m₂/(2m₂) = 1/2. Отже, кінетична енергія другого (легшого) тіла вдвічі більша.

Відповідь: у легшого тіла кінетична енергія вдвічі більша.

Чому інші відповіді неправильні: «у важчого тіла вдвічі більша» — обернена залежність від маси; «однакові» — ігнорування залежності Eк від маси за сталого імпульсу; «у легшого в 4 рази більша» — плутанина з квадратичною залежністю.

• Забувати квадрат швидкості й вважати, що Eк пропорційна v. Насправді Eк ~ v², тому збільшення швидкості в n разів дає збільшення енергії в n² разів.

• Вважати кінетичну енергію векторною або від'ємною. Кінетична енергія — скаляр, вона завжди ≥ 0, незалежно від напрямку руху.

• Брати Eп від дна посудини чи від підлоги, не звірившись із зазначеним в умові нульовим рівнем. Завжди перевіряй, відносно якого рівня треба обчислювати потенціальну енергію.

• Для енергії пружини брати k·x замість k·x²/2. k·x — це сила пружності (за законом Гука), а не енергія. Енергія містить квадрат деформації.

• Не переводити швидкість із км/год у м/с та масу з тонн у кілограми. У формули Eк = mv²/2 та p = mv величини підставляють в одиницях СІ: маса в кг, швидкість у м/с.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 3 (тема 1.3, вибір однієї відповіді з чотирьох, 1 бал) перевіряє зв'язок кінетичної енергії й імпульсу у форматі «як зміниться». Наприклад, дають початковий імпульс тіла, а потім запитують, як зміниться його кінетична енергія за певної зміни імпульсу або маси.

Формули, які можна використовувати під час НМТ:

• Eк = mv²/2 — кінетична енергія

• Eп = mgh — потенціальна енергія піднятого тіла

• Eп = kx²/2 — потенціальна енергія деформованої пружини

• A = ΔE — теорема про кінетичну енергію (робота рівнодійної дорівнює зміні кінетичної енергії)

Усі ці формули є в довідкових матеріалах НМТ, які учасник бачить в електронній формі під час тесту. Однак довідка не пояснює, як вибирати нульовий рівень для потенціальної енергії — це треба розуміти самостійно.

Стратегія для завдань «як зміниться»

Коли в задачі запитують, як зміниться одна величина при зміні іншої, дій за таким алгоритмом:

1. Запиши формулу, що пов'язує потрібні величини.

2. Підстав у формулу нові значення величин як множники (наприклад, v₂ = 3v₁, m₂ = 2m₁).

3. Скороти спільні множники й отримай числовий коефіцієнт зміни.

Наприклад, для задачі «Як зміниться кінетична енергія, якщо швидкість збільшити вдвічі?»: Eк₂ = m·(2v)²/2 = m·4v²/2 = 4·(mv²/2) = 4Eк₁. Відповідь: збільшиться в 4 рази.

• Кінетична енергія: Eк = mv²/2. Скаляр, завжди невід'ємна, залежить від системи відліку.

• Потенціальна енергія тіла над Землею: Eп = mgh. Залежить від вибору нульового рівня.

• Потенціальна енергія деформованої пружини: Eп = kx²/2. За подвоєної деформації зростає в 4 рази.

• Теорема про кінетичну енергію: A рівнодійної = ΔEк = mv₂²/2 − mv₁²/2.

• Зв'язок енергії та імпульсу: Eк = p²/(2m). За сталої маси p ×2 дає Eк ×4.

• Нульовий рівень потенціальної енергії вибирають довільно. Фізичний зміст має лише зміна ΔEп, яка не залежить від вибору рівня.

• Гальмівний шлях s = v²/(2μg): пропорційний квадрату швидкості.