Гармонічні коливання: амплітуда, період, частота, фаза

Коливальний рух — це рух, який точно або приблизно повторюється через однакові проміжки часу. Ти щодня спостерігаєш коливання: гойдалка в парку, струна гітари, маятник годинника, навіть серцебиття — усе це приклади коливальних процесів.

Вільні коливання

Вільні (або власні) коливання відбуваються після одноразового виведення системи з положення рівноваги під дією внутрішніх сил. Іншими словами, ти штовхнув гойдалку один раз — і далі вона рухається сама. Для існування вільних коливань потрібні дві умови:

• наявність сили, що повертає систему до положення рівноваги (наприклад, сила пружності пружини або складова сили тяжіння для маятника);

• мала дія тертя (інакше коливання швидко згаснуть).

Приклади вільних коливань: вантаж на пружині, нитяний маятник (підвішена на нитці кулька), тіло, що плаває на воді й коливається після поштовху.

Основні характеристики коливань

Щоб описати коливальний рух кількісно, використовують такі величини:

Період і частоту можна обчислити через кількість коливань N за час t:

$$T=\frac{t}{N},\nu =\frac{N}{t}$$

Наприклад, якщо тіло виконало 30 коливань за 15 с, то T = 15 с / 30 = 0,5 с, а ν = 30 / 15 с = 2 Гц. Що більший період, то менша частота, і навпаки.

Гармонічні коливання

Гармонічні коливання — це коливання, під час яких зміщення змінюється з часом за законом косинуса або синуса. Вони мають одну сталу частоту й сталу амплітуду (якщо немає затухання). Саме гармонічні коливання є найпростішою й найважливішою моделлю в фізиці — будь-яке складне коливання можна подати як суму гармонічних.

Негармонічні коливання — це коливання, форма яких відрізняється від синусоїди або косинусоїди (наприклад, пилкоподібний сигнал). У межах НМТ ти працюєш переважно з гармонічними коливаннями.

Основним рівнянням, що описує гармонічні коливання, є:

$$x=A\cdot \cos (\omega t+{\phi }_0)$$

де кожна величина має чіткий фізичний зміст:

Циклічна частота

Циклічна (або кутова) частота ω пов'язана зі звичайною частотою ν і періодом T співвідношеннями:

$$\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T}$$

Одиниця циклічної частоти — радіан за секунду (рад/с). За один повний період фаза змінюється на 2π, тому що косинус — періодична функція з періодом 2π.

Розбір рівняння на прикладі

Розглянемо рівняння: x = 0,05·cos(4πt) (м). Виписуємо параметри:

• A = 0,05 м = 5 см;

• ω = 4π рад/с;

• T = 2π / ω = 2π / (4π) = 0,5 с;

• ν = 1 / T = 2 Гц;

• φ₀ = 0 (початкова фаза дорівнює нулю).

Зверни увагу: множник перед t у косинуса — це завжди ω, а не ν. Якщо бачиш x = A·cos(2πνt), то ω = 2πν.

Синус чи косинус?

Іноді рівняння гармонічних коливань записують через синус: x = A·sin(ωt). Таку форму завжди можна звести до косинуса, скориставшись формулою зведення:

$$\sin (\omega t)=\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)$$

Отже, x = A·sin(ωt) — це те саме, що x = A·cos(ωt − π/2). Початкова фаза φ₀ = −π/2. Читають обидві форми однаково: A — множник перед функцією, ω — множник біля t.

Різниця фаз

Коли два тіла виконують гармонічні коливання з однаковою частотою, важливою є різниця їхніх фаз:

• якщо різниця фаз дорівнює 0, коливання відбуваються у фазі — тіла одночасно досягають крайніх точок і положення рівноваги;

• якщо різниця фаз дорівнює π (або −π), коливання в протифазі — коли одне тіло в крайньому правому положенні, друге — у крайньому лівому.

Фаза — це не просто кут, а фізична величина, яка визначає стан коливальної системи: положення, напрям руху, швидкість і прискорення в будь-який момент часу.

Під час гармонічних коливань тіло рухається вздовж прямої лінії, проходячи той самий шлях багато разів. Важливо вміти обчислювати шлях і переміщення, а також знати, як змінюються швидкість і прискорення.

Шлях за частини періоду

За один повний період тіло проходить шлях, що дорівнює чотирьом амплітудам:

$$\text{шлях за }T=4A$$

Чому саме 4A? Уяви тіло, що коливається. За один період воно проходить шлях від крайньої лівої точки до крайньої правої (2A) і назад до початкової крайньої точки (ще 2A). Разом — 4A.

Важливо: переміщення за період дорівнює нулю, оскільки тіло повертається в початкове положення. Шлях і переміщення — різні поняття. Наприклад, якщо A = 5 см, то за 2,5 періоду шлях дорівнює 2,5·4A = 10A = 50 см. Переміщення ж залежить від початкового положення: якщо рух почався з крайньої точки, через 2,5 періоду тіло буде в протилежній крайній точці, і переміщення дорівнюватиме 2A = 10 см; якщо з положення рівноваги — переміщення дорівнюватиме нулю.

Швидкість коливної точки

Швидкість — це похідна зміщення за часом. Для гармонічних коливань:

$$v=-A\omega \cdot \sin (\omega t+{\phi }_0)$$

Максимальне значення швидкості (за модулем) досягається в положенні рівноваги, де x = 0:

$$v_{\max }=A\omega$$

У крайніх точках (x = ±A) швидкість дорівнює нулю — тіло на мить зупиняється, щоб змінити напрям руху.

Прискорення коливної точки

Прискорення — це похідна швидкості за часом. Для гармонічних коливань:

$$a=-{\omega }^{2}x$$

Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги (знак «мінус»). Найбільше за модулем прискорення — у крайніх точках, де зміщення максимальне:

$$a_{\max }=A{\omega }^2={\omega }^{2}A$$

У положенні рівноваги (x = 0) прискорення дорівнює нулю.

Запам'ятай: максимальна швидкість — у положенні рівноваги, максимальне прискорення — у крайніх точках. Це протилежні положення!

Числовий приклад

Нехай A = 0,1 м, T = 0,2π с. Тоді:

• ω = 2π / T = 2π / (0,2π) = 10 рад/с;

• vmax = Aω = 0,1·10 = 1 м/с;

• amax = Aω² = 0,1·10² = 0,1·100 = 10 м/с².

Графік залежності зміщення x від часу t для гармонічних коливань має форму косинусоїди або синусоїди. Це один із найважливіших інструментів для аналізу коливань на НМТ.

Як виглядає графік x(t)

На графіку гармонічних коливань:

• найвище значення дорівнює +A (максимальне зміщення в один бік);

• найнижче значення дорівнює −A (максимальне зміщення в протилежний бік);

• відстань між двома сусідніми максимумами на осі часу дорівнює періоду T;

• відстань між сусіднім максимумом і мінімумом дорівнює T/2 (півперіоду).

Читання графіка

Щоб визначити параметри коливань за графіком, дій так:

1. Амплітуда A: виміряй відстань від горизонтальної осі (положення рівноваги) до найвищої точки графіка.

2. Період T: виміряй час між двома найближчими однаковими станами (наприклад, між двома сусідніми максимумами).

3. Частота ν: обчисли як 1/T.

4. Початкова фаза φ₀: подивись на значення x(0) і напрям руху в початковий момент.

Визначення початкової фази за графіком

Якщо в момент t = 0 зміщення дорівнює +A, то коливання описуються косинусом з φ₀ = 0: x = A·cos(ωt). Якщо ж у t = 0 зміщення дорівнює 0, а тіло рухається вгору (у бік додатних x), то це відповідає синусу, тобто косинусу з φ₀ = −π/2: x = A·cos(ωt − π/2).

Пам'ятай: графік x(t) — це не траєкторія руху! Тіло коливається вздовж прямої лінії, а графік лише показує, як змінюється його координата з часом.

Шлях і переміщення за графіком

Щоб знайти шлях за певний час за графіком, підрахуй кількість чвертей періоду, які вкладаються в цей час. Кожна чверть періоду відповідає шляху A. Переміщення — це просто різниця координат x у кінцевий і початковий моменти часу.

Наприклад, якщо графік показує коливання з A = 6 см і T = 0,8 с, то за 2 с (тобто 2 / 0,8 = 2,5 періоду) шлях становитиме 2,5·4·6 = 60 см.

Розгляньмо чотири типові завдання, які можуть трапитися на НМТ. Кожне розв'яжемо покроково.

Приклад 1. Період за рівнянням

Тіло коливається за законом x = 0,2·cos(5πt) (м). Який період коливань?

Розв'язання:

1. Записуємо рівняння в стандартній формі: x = A·cos(ωt + φ₀).

2. Визначаємо циклічну частоту: ω = 5π рад/с.

3. Обчислюємо період: T = 2π / ω = 2π / (5π) = 2/5 = 0,4 с.

Відповідь: 0,4 с.

Чому інші варіанти неправильні:

• 0,2 с — плутанина з амплітудою (0,2 м), але амплітуда не дорівнює періоду.

• 5 с — сплутали ω (5π) з T, забувши поділити 2π на ω.

• 2,5 с — помилка: обчислили 2π / 5π = 0,4, але записали 2,5 (можливо, переплутали ділення з множенням).

Приклад 2. Шлях за кілька періодів

Амплітуда коливань дорівнює 4 см. Знайди шлях (у сантиметрах), який тіло пройде за 2,5 періоду, якщо рух починається з крайньої точки.

Розв'язання:

1. За один період шлях дорівнює 4A = 4·4 = 16 см.

2. За 2,5 періоду шлях = 2,5·4A = 10A = 10·4 = 40 см.

3. Оскільки рух починається з крайньої точки, за 2,5 періоду тіло опиниться в протилежній крайній точці, але шлях — це пройдена відстань, а не переміщення.

Відповідь: 40 см.

Приклад 3. Частота за графіком

За графіком гармонічних коливань x(t) максимальне зміщення дорівнює 6 см, а відстань між сусідніми максимумами — 0,8 с. Визнач частоту коливань.

Розв'язання:

1. Відстань між сусідніми максимумами — це період T = 0,8 с.

Відповідь: 1,25 Гц.

Чому інші варіанти неправильні:

• 0,8 Гц — сплутали період і частоту (взяли T за ν).

• 6 Гц — помилково взяли амплітуду (6 см) за частоту.

• 0,4 Гц — помилка: поділили 0,8 на 2, вважаючи, що відстань між максимумами — це півперіоду.

Приклад 4. Швидкість і прискорення

У якому положенні тіла, що гармонічно коливається, швидкість максимальна, а прискорення дорівнює нулю?

Розв'язання:

Швидкість максимальна там, де sin(ωt + φ₀) = ±1, тобто в положенні рівноваги (x = 0). У цей момент прискорення a = −ω²x = 0. Отже, обидві умови виконуються в положенні рівноваги.

Відповідь: у положенні рівноваги.

Чому інші варіанти неправильні:

• У крайній точці — швидкість нульова, прискорення максимальне.

• Посередині між рівновагою й крайньою точкою — ні швидкість, ні прискорення не досягають максимуму.

• У жодному — неправильно, бо в положенні рівноваги саме так.

На НМТ з фізики завдання на гармонічні коливання здаються простими, але саме тут учні найчастіше втрачають бали через неуважність. Ось найпоширеніші пастки.

• Шлях за період — 2A, а не 4A. Багато хто думає, що за один період тіло проходить відстань від крайньої точки до протилежної крайньої (2A) і зупиняється. Насправді воно ще повертається назад — разом 4A. Запам'ятай: за T — 4A.

• Плутанина між шляхом і переміщенням. Шлях — це довжина траєкторії, яку тіло реально пройшло. Переміщення — це вектор, що з'єднує початкове й кінцеве положення. За повний період переміщення дорівнює нулю, а шлях — 4A. Не плутай!

• Плутанина між ω і ν. У рівнянні x = A·cos(ωt + φ₀) біля t стоїть саме циклічна частота ω, а не звичайна частота ν. Вони пов'язані: ω = 2πν. Якщо в рівнянні бачиш число без π, це може бути 2πν, а не ω.

• Прискорення максимальне в положенні рівноваги. Це помилка, яка виникає через асоціацію «максимальна швидкість → максимальне прискорення». Насправді в положенні рівноваги прискорення нульове, а максимальне воно в крайніх точках.

• Період — це відстань між мінімумом і максимумом. На графіку відстань від найнижчої точки до найвищої — це півперіоду (T/2). Період — це відстань між двома сусідніми максимумами або двома сусідніми мінімумами.

Тема «Гармонічні коливання» входить до розділу 4.1 програми НМТ з фізики. Ось що варто знати про формат перевірки.

Формат завдань

• У демоваріанті 2026 року завдання № 10 (вибір однієї відповіді з чотирьох, 1 бал) перевіряло вміння обчислювати шлях і переміщення за графіком гармонічних коливань x(t).

• Можливі також завдання на визначення параметрів (A, T, ν, ω, φ₀) за рівнянням або графіком.

• Коротка відповідь (число) може вимагати обчислити шлях, частоту або амплітуду.

Довідкові матеріали

Довідка НМТ містить рівняння гармонічних коливань x = A·cos(ωt + φ₀) і формули максимальних швидкості vmax = Aω та прискорення amax = Aω². Однак вигляд графіка треба вміти читати без підказки — довідка не містить зразка графіка.

Що вимагає програма

Програма НМТ (тема 4.1) вимагає:

• обчислювати параметри гармонічних коливань за рівнянням;

• аналізувати графіки незатухаючих і затухаючих коливань;

• розрізняти вільні, гармонічні й негармонічні коливання.

Стратегія виконання

Коли бачиш завдання на гармонічні коливання, дій за таким алгоритмом:

1. Спершу випиши з умови або графіка A, ω і T.

2. Якщо запитують шлях — переведи час у кількість періодів або чвертей періоду.

3. Якщо запитують переміщення — знайди початкове й кінцеве положення тіла.

4. Для швидкості й прискорення згадай, де вони максимальні (рівновага vs крайні точки).

• Гармонічні коливання — це коливання, за яких зміщення змінюється за законом косинуса або синуса: x = A·cos(ωt + φ₀).

• A — амплітуда (найбільше зміщення), T — період (час одного коливання), ν = 1/T — частота (Гц), ω = 2π/T = 2πν — циклічна частота (рад/с).

• За один період шлях дорівнює 4A, переміщення дорівнює 0. За півперіоду шлях 2A, за чверть періоду — A.

• Максимальна швидкість — у положенні рівноваги: vmax = Aω.

• Максимальне прискорення — у крайніх точках: amax = Aω².

• За графіком x(t): амплітуда — висота від осі до максимуму, період — відстань між сусідніми максимумами, частота — обернена величина до періоду.

• Початкова фаза φ₀ визначає положення тіла в момент t = 0.