ЕРС індукції в рухомому провіднику

Уявімо прямий металевий провідник завдовжки l, який рухається зі швидкістю v в однорідному магнітному полі з індукцією B. Якщо провідник перетинає лінії магнітної індукції, то між його кінцями виникає електрорушійна сила (ЕРС) індукції. Це явище — окремий випадок закону електромагнітної індукції Фарадея, і воно має власну просту формулу.

Формула ЕРС індукції

ЕРС індукції в прямому провіднику, що рухається в однорідному магнітному полі, обчислюють за формулою:

$$\mathcal{E}=Bvl\cdot \sin \alpha$$

де B — модуль магнітної індукції (Тл), v — швидкість провідника (м/с), l — довжина активної частини провідника (м), а α — кут між вектором швидкості v⃗ і вектором магнітної індукції B⃗. Важливо: провідник розташований перпендикулярно до напрямку швидкості.

Граничні випадки

Максимальна ЕРС виникає, коли провідник рухається перпендикулярно до ліній індукції: α = 90°, sin 90° = 1, тоді ℰ = Bvl. Якщо ж провідник рухається вздовж ліній індукції (α = 0° або α = 180°), то sin α = 0 і ЕРС дорівнює нулю — провідник не перетинає ліній, потік через уявну площу не змінюється.

Зв'язок із законом індукції Фарадея

Той самий результат можна отримати зі зміни магнітного потоку. За час Δt стрижень зміщується на v·Δt і «змітає» площу ΔS = l·v·Δt. Магнітний потік через цю площу змінюється на ΔΦ = B·ΔS, тому модуль ЕРС:

$$|\mathcal{E}|=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{B\cdot l\cdot v\cdot \Delta t}{\Delta t}=Bvl$$

Як бачиш, результат збігається з формулою ℰ = Bvl для випадку v ⟂ B.

Числовий приклад

Нехай B = 0,2 Тл, l = 0,5 м, v = 4 м/с, провідник рухається перпендикулярно до ліній (α = 90°). Тоді:

$$\mathcal{E}=0,2\cdot 0,5\cdot 4=0,4\text{В}$$

Якщо той самий провідник рухається під кутом 30° до ліній, то sin 30° = 0,5 і ЕРС буде вдвічі меншою: 0,2 В.

Залежність ЕРС від параметрів

ЕРС прямо пропорційна магнітній індукції B, швидкості v, довжині провідника l та sin α. Наприклад, збільшення швидкості вдвічі подвоює ЕРС, збільшення довжини провідника вдвічі теж подвоює ЕРС. Це важливо пам'ятати для завдань типу «як зміниться ЕРС, якщо…».

Чому взагалі виникає ЕРС у провіднику, що рухається в магнітному полі? Відповідь дає сила Лоренца.

Сила Лоренца як причина ЕРС

Усередині металевого провідника є вільні електрони. Коли провідник рухається в магнітному полі, ці електрони рухаються разом із ним. На кожен заряд, що рухається в магнітному полі, діє сила Лоренца:

$$F_{\text{Л}}=qvB\sin \alpha$$

Сила Лоренца зміщує вільні заряди до одного з кінців провідника. На одному кінці накопичується надлишок негативних зарядів (електронів), на другому — нестача (додатний потенціал). Так виникає різниця потенціалів — провідник стає джерелом ЕРС.

Приклад визначення знаку потенціалу

Розгляньмо стрижень, що рухається праворуч. Лінії магнітної індукції напрямлені від глядача (тобто «від нас»). За правилом лівої руки для додатного заряду: якщо вектор швидкості напрямлений праворуч, а лінії B⃗ — від глядача, то сила Лоренца на додатний заряд напрямлена вгору. Отже, верхній кінець стрижня набуває додатного потенціалу, нижній — від'ємного. Усередині провідника як джерела струм тече від нижнього кінця до верхнього.

Напрям індукційного струму в замкненому колі

Якщо провідник є частиною замкненого кола, то в колі виникає індукційний струм. Напрям цього струму визначають за правилом Ленца: індукційний струм завжди має такий напрям, щоб протидіяти зміні магнітного потоку, яка його викликала. У випадку рухомого провідника це означає, що струм створює силу Ампера, яка гальмує рух провідника.

Типова помилка: визначати напрям індукційного струму за правилом лівої руки. Правило лівої руки дає напрям сили Ампера, що діє на провідник зі струмом, а не напрям самого струму. Для напряму індукційного струму використовуй правило Ленца або напрям сили Лоренца на додатні заряди.

Розімкнений провідник

Якщо провідник не є частиною замкненого кола (наприклад, просто стрижень у просторі), то ЕРС між його кінцями існує, різниця потенціалів є, але струму немає — адже коло не замкнене. Це важливо: наявність ЕРС не означає наявності струму.

Класична задача НМТ — металевий стрижень ковзає без тертя по двох паралельних рейках, які замкнені резистором. Уся система перебуває в однорідному магнітному полі. Розгляньмо, як у такому колі виникають струм, сила та як виконується закон збереження енергії.

Індукційний струм у колі

Нехай стрижень завдовжки l рухається зі швидкістю v перпендикулярно до ліній однорідного магнітного поля з індукцією B. Рейки замкнені резистором, повний опір кола — R. ЕРС індукції в стрижні: ℰ = Bvl. За законом Ома для повного кола індукційний струм:

$$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{Bvl}{R}$$

Сила Ампера, що гальмує стрижень

На стрижень зі струмом у магнітному полі діє сила Ампера:

$$F=BIl=B\cdot \frac{Bvl}{R}\cdot l=\frac{B^2{l}^{2}v}{R}$$

За правилом Ленца ця сила напрямлена проти швидкості руху стрижня — вона гальмує його. Щоб стрижень рухався рівномірно, до нього потрібно прикласти зовнішню силу такої самої величини, але протилежного напрямку.

Закон збереження енергії

Потужність, яку розвиває зовнішня сила:

$$P_{\text{зовн}}=Fv=\frac{B^2{l}^2{v}^2}{R}$$

Водночас електрична потужність, що виділяється в резисторі:

$$P_{\text{ел}}=\mathcal{E}I=Bvl\cdot \frac{Bvl}{R}=\frac{B^2{l}^2{v}^2}{R}$$

Отже, P_зовн = P_ел — механічна робота зовнішньої сили повністю перетворюється на теплоту в резисторі. Це ілюструє закон збереження енергії.

Числовий приклад

Візьмемо B = 0,2 Тл, l = 0,5 м, v = 4 м/с, R = 0,2 Ом. Тоді:

• ЕРС: ℰ = 0,2·0,5·4 = 0,4 В

• Струм: I = 0,4 / 0,2 = 2 А

• Сила Ампера: F = 0,2·2·0,5 = 0,2 Н

• Потужність: P = 0,2·4 = 0,8 Вт

Приклад із літаком

Крила літака — це теж провідник, що рухається в магнітному полі Землі. Розмах крил l = 40 м, швидкість v = 250 м/с, вертикальна складова магнітної індукції Землі B_⊥ = 5·10⁻⁵ Тл. ЕРС між кінцями крил:

$$\mathcal{E}=5\cdot 10^{-5}\cdot 250\cdot 40=0,5\text{В}$$

Це невелика напруга. Виміряти її вольтметром на крилах не вдається, бо провідники вольтметра теж рухаються в тому самому полі й створюють таку саму ЕРС, що компенсує вимірювану.

Рух під кутом до ліній

Якщо стрижень рухається під кутом α до ліній індукції, у формулу підставляють sin α. Фактично це означає, що береться складова швидкості, перпендикулярна до ліній: v_⊥ = v·sin α. Саме ця складова «перетинає» лінії й створює ЕРС.

Розв'яжемо кілька типових завдань на ЕРС індукції в рухомому провіднику — саме такі трапляються на НМТ.

Приклад 1. ЕРС у провіднику, що рухається перпендикулярно до ліній

Умова: Прямий провідник завдовжки 0,8 м рухається зі швидкістю 5 м/с перпендикулярно до ліній однорідного магнітного поля з індукцією 0,25 Тл. Знайди ЕРС індукції у вольтах.

Розв'язання: Провідник рухається перпендикулярно до ліній, отже α = 90°, sin 90° = 1. Формула: ℰ = Bvl·sin α = Bvl.

$$\mathcal{E}=0,25\cdot 5\cdot 0,8=1,0\text{В}$$

Відповідь: 1 В.

Типова помилка: забути перевести сантиметри в метри (тут довжина вже в метрах). Якби довжина була 80 см, треба було б писати 0,8 м.

Приклад 2. ЕРС під кутом до ліній

Умова: Той самий провідник (l = 0,8 м, B = 0,25 Тл, v = 5 м/с) рухається під кутом 30° до ліній індукції. Знайди ЕРС.

Розв'язання: α = 30°, sin 30° = 0,5.

$$\mathcal{E}=0,25\cdot 5\cdot 0,8\cdot 0,5=0,5\text{В}$$

Відповідь: 0,5 В.

Зверни увагу: кут у формулі — це кут між швидкістю і вектором магнітної індукції, а не між провідником і швидкістю.

Приклад 3. Коли ЕРС не виникає?

Умова: У якому випадку стрижень, що рухається в магнітному полі, не створює ЕРС індукції?

• А: рух перпендикулярно до ліній індукції

• Б: рух уздовж ліній індукції

• В: рух під кутом 45° до ліній індукції

• Г: рух із прискоренням упоперек ліній індукції

Розв'язання: ЕРС не виникає, коли провідник не перетинає лінії магнітної індукції, тобто коли швидкість напрямлена вздовж ліній. У цьому разі α = 0° або 180°, sin α = 0, ℰ = 0.

Відповідь: Б (рух уздовж ліній індукції).

Чому інші варіанти неправильні: А — ЕРС максимальна; В — ЕРС є (sin 45° ≠ 0); Г — наявність прискорення не впливає на формулу, ЕРС визначається миттєвою швидкістю.

Приклад 4. Струм у колі зі стрижнем на рейках

Умова: Стрижень завдовжки 0,5 м рухається перпендикулярно до ліній магнітного поля з індукцією 0,2 Тл зі швидкістю 4 м/с по рейках, замкнених опором 0,2 Ом. Знайди силу індукційного струму в амперах.

Розв'язання: Спочатку знайдемо ЕРС: ℰ = Bvl = 0,2·4·0,5 = 0,4 В. Потім за законом Ома: I = ℰ/R = 0,4 / 0,2 = 2 А.

Відповідь: 2 А.

Пам'ятай: опір кола — це сумарний опір стрижня, рейок і резистора. У задачі він заданий як повний опір R.

Приклад 5. Яка сила гальмує стрижень?

Умова: Стрижень ковзає без тертя по рейках у магнітному полі. Яка сила гальмує його рух?

• А: сила Лоренца, що діє на весь стрижень

• Б: сила Ампера

• В: сила тертя

• Г: сила тяжіння

Розв'язання: Коли в стрижні тече індукційний струм, на нього в магнітному полі діє сила Ампера. За правилом Ленца ця сила напрямлена проти руху — вона гальмує стрижень.

Відповідь: Б (сила Ампера).

Чому інші варіанти неправильні: А — сила Лоренца діє на окремі заряди, а не на весь стрижень як ціле; В — у задачі сказано «без тертя»; Г — сила тяжіння напрямлена вертикально, а не вздовж рейок.

• Визначати напрям індукційного струму за правилом лівої руки замість правила Ленца чи сили Лоренца. Правило лівої руки дає напрям сили Ампера, що діє на провідник зі струмом, а не напрям самого струму. Для індукційного струму застосовуй правило Ленца: струм напрямлений так, щоб протидіяти зміні потоку.

• Плутати кут у формулі ℰ = Bvl·sin α. α — це кут між вектором швидкості v⃗ і вектором магнітної індукції B⃗, а не між провідником і швидкістю. Наприклад, якщо провідник рухається під кутом 30° до ліній поля, то α = 30°.

• Брати для літака повну індукцію магнітного поля Землі замість потрібної складової. Магнітне поле Землі має горизонтальну й вертикальну складові. Для ЕРС між кінцями крил потрібна складова, перпендикулярна до швидкості й до крила — зазвичай це вертикальна складова B_⊥.

• Вважати, що в розімкненому провіднику є струм, бо є ЕРС. ЕРС і різниця потенціалів між кінцями існують, але без замкненого кола струму немає. Струм виникає лише в замкненому електричному колі.

• Забувати переводити одиниці в СІ. Сантиметри — у метри (1 см = 0,01 м), кілометри на годину — у метри на секунду (1 км/год = 1/3,6 м/с ≈ 0,278 м/с). Довжина, швидкість та індукція мають бути в основних одиницях СІ.

Формула ЕРС індукції в рухомому провіднику ℰ = Bvl·sin α є в довідкових матеріалах НМТ — її можна не запам'ятовувати, але треба вміти нею користуватися. Правила Ленца, лівої руки та свердлика в довідкових матеріалах відсутні — їх потрібно знати.

Програма НМТ (тема «Магнітне поле, електромагнітна індукція») вимагає обчислювати ЕРС індукції в рухомих провідниках. Завдання можуть бути двох форматів:

• Коротка відповідь (завдання № 17–22, 0 або 2 бали): потрібно вписати число в одиницях, указаних в умові. Наприклад, «знайди ЕРС у вольтах» — відповідь 0,5 або 1.

• Вибір однієї правильної відповіді з чотирьох (1 бал): наприклад, «у якому випадку ЕРС не виникає?» або «яка сила гальмує стрижень?».

• Завдання «як зміниться»: використовують пропорційність ℰ ∝ v·l·sin α без числових значень. Наприклад, «як зміниться ЕРС, якщо швидкість збільшити вдвічі?» — збільшиться вдвічі.

Стратегія розв'язання

1. З'ясуй, під яким кутом провідник перетинає лінії магнітної індукції. Це кут α між швидкістю v⃗ і B⃗.

2. Переведи всі величини в СІ: довжину в метри, швидкість у метри на секунду.

3. Підстав у формулу ℰ = Bvl·sin α. Якщо потрібен струм, використай I = ℰ/R.

4. Для напряму струму застосуй правило Ленца або напрям сили Лоренца на додатні заряди.

• ЕРС індукції в рухомому провіднику: ℰ = Bvl·sin α, де α — кут між швидкістю v⃗ і вектором магнітної індукції B⃗.

• Причина виникнення ЕРС — сила Лоренца, яка діє на вільні заряди в провіднику, що рухається в магнітному полі.

• Напрям індукційного струму визначають за правилом Ленца або за напрямом сили Лоренца на додатні заряди, а не за правилом лівої руки.

• У замкненому колі зі стрижнем на рейках: I = Bvl/R; сила Ампера гальмує рух: F = B²l²v/R.

• У розімкненому провіднику ЕРС і різниця потенціалів між кінцями є, але струму немає.

• Максимальна ЕРС — за руху перпендикулярно до ліній (α = 90°); ЕРС дорівнює нулю, якщо провідник рухається вздовж ліній (α = 0°).

• Для літака беруть складову магнітної індукції Землі, перпендикулярну до швидкості й крила.