Завдання 21 НМТ: стереометрія

Більшість стереометричних задач № 21 не потребують просторової уяви — їх розв’язують через плоский рисунок ключового перерізу. Алгоритм усього з трьох кроків.

1. Намалюй тіло й познач на ньому всі дані з умови: довжини, кути, співвідношення.

2. Виділи ключовий переріз або прямокутний трикутник, де збігаються висота тіла й елемент основи.

3. Застосуй формулу з довідки для шуканої величини (об’єму чи площі поверхні).

Ключові трикутники, які треба вміти знаходити в кожному тілі:

Формули з довідки НМТ, які стануть у пригоді:

• Пряма призма: $V=S_{\text{осн}}\cdot H$, $S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot H$

• Правильна піраміда: $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot H$, $S_{\text{біч}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot h_a$ (де $h_a$ — апофема)

• Циліндр: $V=\pi R^{2}H$, $S_{\text{біч}}=2\pi RH$

• Конус: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$, $S_{\text{біч}}=\pi Rl$ (де $l$ — твірна)

• Куля: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, сфера $S=4\pi R^2$

Площі повної поверхні в довідці немає. Її знаходять додаванням: $S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+\text{площі основ}$.

Якщо в результаті обчислення отримав $\pi$, а в умові написано «Знайдіть $V/\pi$» або «Знайдіть $S/\pi$», — запиши лише числовий коефіцієнт при $\pi$. Якщо $\pi$ лишилося, а таких слів в умові немає, — перечитай умову ще раз: можливо, ти пропустив вимогу.

Пряма призма з прямокутним трикутником в основі

Розгляньмо пряму призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник із катетами 6 і 8. Бічна грань, що спирається на гіпотенузу, має площу 50. Що можна знайти?

Спочатку обчислимо гіпотенузу основи за теоремою Піфагора: $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Площа бічної грані — це добуток ребра основи (гіпотенузи 10) на висоту призми $H$. Маємо $10\cdot H=50$, звідки $H=5$.

Тепер обчислимо: об'єм $V=S_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot 5=24\cdot 5=120$; площа бічної поверхні $S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot H=(6+8+10)\cdot 5=24\cdot 5=120$.

Прямокутний паралелепіпед

Для прямокутного паралелепіпеда з вимірами $a$, $b$, $c$ просторова діагональ обчислюється за формулою $d^2=a^2+b^2+c^2$. Діагональний переріз — це прямокутник, одна сторона якого дорівнює висоті $c$, а друга — діагоналі основи $\sqrt{a^2+b^2}$.

Наприклад, для паралелепіпеда з ребрами 3, 4 і 12 діагональ основи дорівнює $\sqrt{3^2+4^2}=5$, а просторова діагональ — $\sqrt{5^2+12^2}=13$. Цей прийом — звести просторову діагональ до двох поспіль застосованих теорем Піфагора — є дуже поширеним у задачах № 21.

Правильна чотирикутна піраміда

Нехай сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6, а висота — 4. Основа — квадрат, тому радіус вписаного кола $r=\frac{a}{2}=3$. Трикутник «висота — апофема — $r$» є прямокутним:

$h_a=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5$.

Тоді $S_{\text{біч}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot (4\cdot 6)\cdot 5=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60$, а $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$.

Правильна трикутна піраміда

У правильній трикутній піраміді (тетраедрі, у якого основа — рівносторонній трикутник) основа висоти збігається з центром правильного трикутника. Це точка перетину медіан, яка ділить кожну медіану у відношенні 2:1, рахуючи від вершини.

Радіус вписаного кола в правильний трикутник зі стороною $a$: $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Радіус описаного кола: $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Цих формул у довідці НМТ немає, тому їх варто запам'ятати або виводити з формули висоти правильного трикутника $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, третина якої припадає на $r$, а дві третини — на $R$.

У трикутнику «висота піраміди — апофема — $r$» гіпотенузою є апофема, а катетами — висота та $r$. У трикутнику «висота піраміди — бічне ребро — $R$» гіпотенузою є бічне ребро, а катетами — висота та $R$. Не плутай $r$ і $R$: $r$ — це відстань від центра основи до сторони, $R$ — до вершини основи.

Осьовий переріз — це перетин тіла обертання площиною, що проходить через його вісь. Саме він перетворює об'ємну задачу на плоску.

Осьовий переріз циліндра

Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами $2R$ (діаметр основи) і $H$ (висота циліндра). Якщо осьовий переріз — квадрат, то $2R=H$.

Приклад: циліндр має квадратний осьовий переріз площею $64$. Оскільки площа квадрата дорівнює $a^2$, маємо $a=8$. Отже, $2R=H=8$, звідки $R=4$. Об'єм циліндра: $V=\pi R^{2}H=\pi \cdot 16\cdot 8=128\pi$. Якщо в умові просять $V/\pi$, записуємо $128$.

Осьовий переріз конуса

Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою $2R$ (діаметр основи), бічними сторонами $l$ (твірна) і висотою $H$. За теоремою Піфагора: $l^2=R^2+H^2$.

Розберімо конус з твірною $10$ і висотою $8$. Радіус основи: $R=\sqrt{l^2-H^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$. Тоді:

• $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{3}\pi \cdot 36\cdot 8=96\pi$; якщо просять $V/\pi$ — відповідь $96$

• $S_{\text{біч}}=\pi Rl=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi$

• Площа осьового перерізу: $\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot H=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48$

Переріз, паралельний основі

Якщо конус перетнути площиною, паралельною основі, на половині висоти, утворюється круг. Радіус цього круга вдвічі менший за радіус основи, оскільки в осьовому перерізі утворюються подібні трикутники з коефіцієнтом подібності $\frac{H/2}{H}=\frac{1}{2}$. Загалом, якщо площина паралельна основі й перебуває на відстані $h$ від вершини, то радіус перерізу дорівнює $R\cdot \frac{h}{H}$.

Переріз кулі площиною

Будь-який переріз кулі площиною — круг. Якщо площина розташована на відстані $d$ від центра кулі, то радіус перерізу $r=\sqrt{R^2-d^2}$. Це випливає з прямокутного трикутника, утвореного радіусом кулі $R$, радіусом перерізу $r$ і відстанню $d$.

Наприклад, куля радіусом $5$, перетнута площиною на відстані $3$ від центра, дає переріз радіусом $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.

Куля: об'єм і площа сфери

Для кулі радіусом $3$: об'єм $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi$; площа сфери $S=4\pi R^2=4\pi \cdot 9=36\pi$. Зверни увагу: для кулі з $R=3$ числа збіглися ($36\pi$), але в загальному випадку це не так.

Завдання з координатами в просторі на НМТ зазвичай простіші, ніж задачі на тіла, — вони перевіряють уміння застосовувати формули з довідки. Обидві ключові формули є в довідкових матеріалах:

• Відстань між двома точками $A(x_1;y_1;z_1)$ і $B(x_2;y_2;z_2)$: $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

• Координати середини відрізка $AB$: $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right)$

Розгляньмо точки $A(1;-2;3)$ та $B(3;2;-1)$.

Відстань $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(2-(-2){)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{2^2+4^2+(-4{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$.

Середина $M$: $\left(\frac{1+3}{2};\frac{-2+2}{2};\frac{3+(-1)}{2}\right)=(2;0;1)$.

Довжина вектора та скалярний добуток

Довжина вектора $\vec{a}(a_1;a_2;a_3)$ обчислюється аналогічно відстані: $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$. Наприклад, для вектора $\vec{a}(2;-1;2)$ маємо $|\vec{a}|=\sqrt{4+1+4}=3$.

Скалярний добуток векторів $\vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ і $\vec{b}(x_2;y_2;z_2)$: $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$. Його використовують для знаходження кута між векторами: $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$. Модуль у чисельнику ставлять лише тоді, коли шукають кут між прямими: кут між векторами може бути тупим.

Типові сюжети-комбінації

• Вершини куба в координатах: якщо куб має ребро $a$, то відстань між протилежними вершинами (просторова діагональ) дорівнює $a\sqrt{3}$, що збігається з формулою відстані.

• Центр сфери — середина діаметра: дано дві точки — кінці діаметра сфери. Знайди центр як середину відрізка, а радіус — як половину відстані між точками.

• Відстань від точки до початку координат: $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ — окремий випадок формули відстані, коли одна з точок має координати $(0;0;0)$.

Для тренування рекомендую розв'язати серії по 5 задач на кожен тип тіла (призма, піраміда, циліндр, конус, куля, координати), а потім перейти до змішаних серій. Так ти навчишся швидко впізнавати, з яким саме тілом маєш справу, і вибирати правильний ключовий переріз.

Нижче — чотири типові задачі № 21 з короткою відповіддю. Кожну розв'язано покроково.

Приклад 1. Пряма призма з прямокутником в основі

Умова: «Основа прямої призми — прямокутник зі сторонами 5 і 12. Діагональ призми утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть об'єм призми.»

Розв'язання: діагональ основи прямокутника $d_{\text{осн}}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. Діагональ призми, її проєкція на основу (діагональ основи) і висота утворюють прямокутний трикутник. Кут між діагоналлю призми та площиною основи дорівнює куту між діагоналлю та її проєкцією, тобто $45°$. У прямокутному трикутнику з кутом $45°$ катети рівні, тому $H=d_{\text{осн}}=13$.

Площа основи $S_{\text{осн}}=5\cdot 12=60$. Об'єм $V=60\cdot 13=780$.

Пастка: відповідь 60 — це лише площа основи, без множення на висоту.

Приклад 2. Осьовий переріз конуса

Умова: «Осьовий переріз конуса — прямокутний рівнобедрений трикутник з гіпотенузою 12. Знайдіть $V/\pi$, де $V$ — об'єм конуса.»

Розв'язання: осьовий переріз — прямокутний рівнобедрений трикутник. Його гіпотенуза дорівнює $2R=12$, отже $R=6$. У рівнобедреному прямокутному трикутнику катети рівні, і $H=R=6$.

Об'єм конуса: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{3}\pi \cdot 36\cdot 6=\frac{1}{3}\pi \cdot 216=72\pi$. У відповідь записуємо $72$.

Пастка: 216 — це $R^{2}H$ без множника $1/3$.

Приклад 3. Правильна чотирикутна піраміда

Умова: «Сторона основи правильної чотирикутної піраміди $8\sqrt{2}$, бічне ребро 10. Знайдіть об'єм піраміди.»

Розв'язання: основа — квадрат зі стороною $a=8\sqrt{2}$. Діагональ квадрата $d=a\sqrt{2}=8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=16$. Половина діагоналі (від центра основи до вершини квадрата) дорівнює $R=\frac{d}{2}=8$.

У прямокутному трикутнику «висота — половина діагоналі — бічне ребро»: $H=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$.

Площа основи $S_{\text{осн}}=(8\sqrt{2}{)}^2=64\cdot 2=128$. Об'єм $V=\frac{1}{3}\cdot 128\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot 768=256$.

Пастка: 768 — це $S_{\text{осн}}\cdot H$ без множника $1/3$.

Приклад 4. Координати в просторі

Умова: «Точки $A(3;-2;1)$ і $B(-1;2;-1)$ — кінці діаметра сфери. Знайдіть радіус сфери.»

Розв'язання: спочатку знайдемо довжину діаметра — відстань $AB$:

$AB=\sqrt{(-1-3{)}^2+(2-(-2){)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+4^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6$.

Радіус сфери $R=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3$.

Пастка: 6 — це довжина діаметра, а не радіуса. Не забудь поділити на 2.

• Забувати множник 1/3 в об'ємі піраміди чи конуса. Найпоширеніша помилка: знаходять площу основи, множать на висоту й забувають поділити на 3. Записуй формулу з довідки до обчислення та щоразу звіряй, чи є 1/3.

• Плутати радіус і діаметр в осьовому перерізі. В осьовому перерізі циліндра та конуса основа трикутника чи прямокутника — це 2R, а не R. Якщо дано діаметр, не забудь поділити на 2, перш ніж підставляти у формулу об'єму.

• Плутати діагональ грані й діагональ тіла. У призмі діагональ бічної грані лежить в одній площині з ребрами, а діагональ призми з'єднує вершини різних основ. Перша дає трикутник (H, ребро, діагональ грані), друга — (H, діагональ основи, діагональ призми).

• Плутати апофему й висоту піраміди. Апофема — висота бічної грані, проведена з вершини піраміди до сторони основи. Висота піраміди — перпендикуляр з вершини до площини основи. Апофема завжди більша за висоту (як гіпотенуза більша за катет).

• Рахувати повну поверхню без основ. У довідці НМТ є формули лише для бічної поверхні. Якщо в задачі питають повну поверхню, не забудь додати площі основ. Наприклад, $S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+2S_{\text{осн}}$ для призми й циліндра, $S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}$ для піраміди й конуса.

• Підставляти $\pi \approx 3,14$, коли просять $V/\pi$, або записувати «$72\pi$». Якщо в умові є «Знайдіть $V/\pi$», це означає, що відповідь — число без $\pi$. Обчисли об'єм (він вийде з $\pi$), а потім поділи на $\pi$ — залишиться лише коефіцієнт. Ніколи не підставляй наближене значення $\pi \approx 3,14$.

• У правильній піраміді брати $R$ основи замість $r$ у трикутнику «висота — апофема». Апофема спирається на середину сторони основи, тому катет у трикутнику — радіус $r$ вписаного кола, а не $R$ описаного. $R$ використовуй, коли працюєш із бічним ребром.

Завдання № 21 — третє з чотирьох завдань з короткою відповіддю (№ 19–22). За нього можна отримати 0 або 2 бали. Відповідь — лише десятковий дріб.

• У демонстраційному варіанті НМТ-2026 на позиції № 21 подано задачу на об'єм прямої призми з ромбом в основі через діагональний переріз (теми 6.2 + 5.4 програми).

• У вибірці тестів 2023–2024 років на № 21 траплялися призма, циліндр, конус або координати в просторі. Стереометрія (розділ 6) у кожному тесті вибірки дала 3 завдання на різних позиціях.

• За експертною оцінкою (це не офіційні дані УЦОЯО), № 21 зі стереометрією з перерізом чи комбінацією тіл належить до найскладніших позицій тесту.

• Тема 6.2 (стереометрія) дає в середньому близько 2,25 завдання на один тест, тобто на одному тесті може бути 2 або 3 стереометричні задачі на різних позиціях.

Що є в довідці НМТ

У довідкових матеріалах, які видають на тесті, є:

• Формули об'єму та бічної поверхні прямої призми, правильної піраміди, циліндра, конуса.

• Формули об'єму кулі та площі сфери.

• Формули відстані між точками, координат середини відрізка, довжини вектора та скалярного добутку.

Чого в довідці НМТ немає:

• Площі повної поверхні — її доведеться обчислювати самостійно $S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+\text{площі основ}$.

• Формул для зрізаних тіл (зрізаної піраміди, зрізаного конуса).

• Радіусів вписаного й описаного кіл правильних многокутників.

Як записувати відповідь

Відповідь — лише десятковий дріб. Якщо в умові написано «Знайдіть $V/\pi$» або «Знайдіть $S/\pi$», то обчислюєш об'єм (або площу), отримуєш вираз з $\pi$, ділиш на $\pi$ й записуєш лише числовий коефіцієнт. Наприклад, $V=72\pi \Rightarrow V/\pi =72$. Ніколи не пиши одиниці вимірювання.

• Рисунок → ключовий трикутник чи переріз → формула з довідки. Це єдиний надійний алгоритм для будь-якої стереометричної задачі № 21.

• Піраміда й конус — множник 1/3. Об'єми цих тіл завжди мають $\frac{1}{3}$. Перевіряй формулу щоразу.

• Осьовий переріз: циліндр — прямокутник 2R × H, конус — трикутник з основою 2R. Запам'ятай: основа перерізу — це діаметр, не радіус!

• Повна поверхня = бічна + основи. Формули повної поверхні в довідці немає, але це просте додавання.

• $V/\pi$ — записуй коефіцієнт при $\pi$. Обчислив об'єм, отримав $96\pi$ — пиши 96.

• Відстань і середина відрізка в просторі — з довідки. Формули є, тож помилки тут лише арифметичні.