Властивості функції за графіком: нулі, знак, монотонність

Почнімо з найважливішого поняття цього юніта. Нуль функції — це значення аргументу x, при якому значення функції дорівнює нулю: f(x) = 0. На графіку нуль функції — це абсциса (координата x) точки, у якій графік перетинає або дотикається до осі Ox. Відповідь завжди записуємо числом: x = −2, а не точкою (−2; 0) і не значенням y = 0.

Точка перетину з віссю Oy — це точка з координатами (0; f(0)). Функція може мати не більше ніж одну таку точку, і вона існує лише тоді, коли нуль належить області визначення функції D(f). Наприклад, для функції y = 2x − 6 точка перетину з Oy — це (0; −6), а для y = 1/x такої точки немає, бо x = 0 не належить D(f).

Як знаходити нулі за формулою

Якщо функція задана формулою, нулі знаходять із рівняння f(x) = 0. Розгляньмо кілька прикладів.

• y = 2x − 6: 2x − 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3. Один нуль.

• y = x² − 4: x² − 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = −2 або x = 2. Два нулі.

• y = (x² − 1)/(x − 1): чисельник x² − 1 = 0 дає x = −1 і x = 1, але x = 1 не належить області визначення (ділення на нуль). Отже, функція має лише один нуль: x = −1.

Кількість нулів на відрізку за графіком

Коли функція задана графіком на певному відрізку, кількість нулів — це кількість точок, у яких графік перетинає або дотикається до осі Ox у межах цього відрізка. Враховуй також кінець відрізка, якщо в цій точці f = 0 і точка зафарбована (належить графіку). Виколота точка на осі Ox нулем не є — її не рахуємо.

Наприклад, на рисунку нижче графік ламаної на відрізку [−4; 5] проходить через точки (−4; 3), (−1; −2), (2; 4), (5; −1). Він перетинає вісь Ox тричі: між −4 і −1, між −1 і 2, та між 2 і 5. Отже, функція має три нулі.

Проміжок знакосталості — це проміжок, на якому функція набуває значень одного знака: або додатних, або від’ємних. Визначають його за графіком дуже просто:

• f(x) > 0 там, де графік лежить вище від осі Ox;

• f(x) < 0 там, де графік лежить нижче від осі Ox.

Межами проміжків знакосталості є нулі функції (де графік перетинає вісь) та кінці області визначення або заданого відрізка.

Як правильно записувати проміжки

Нулі функції не входять до проміжків, де f(x) > 0 чи f(x) < 0, тому біля них ставимо круглі дужки. Якщо ж нерівність нестрога — f(x) ≥ 0 або f(x) ≤ 0 — нулі додаємо, використовуючи квадратні дужки або записуючи окремі точки.

Розгляньмо приклад. Нехай графік функції задано на відрізку [−5; 6], нулі функції — у точках x = −3, x = 1 і x = 4. Графік лежить вище від осі Ox на проміжках [−5; −3) і (1; 4), а нижче — на (−3; 1) і (4; 6]. Отже:

• f(x) > 0 при x ∈ [−5; −3) ∪ (1; 4) — кінець −5 входить, бо точка зафарбована й f(−5) > 0;

• f(x) < 0 при x ∈ (−3; 1) ∪ (4; 6] — кінець 6 входить, бо точка зафарбована й f(6) < 0.

Розв’язування нерівностей за графіком

Щоб розв’язати нерівність f(x) ≤ 0 за графіком, знайди всі значення x, для яких графік не вище від осі Ox (тобто нижче або на осі). Для наведеного прикладу f(x) ≤ 0 при x ∈ [−3; 1] ∪ [4; 6] — нулі тепер входять, бо нерівність нестрога.

Якщо в завданні просять виписати цілі розв’язки нерівності, роби це окремо: перевір усі цілі числа на кожному проміжку, зокрема нулі й кінці відрізка. Наприклад, для f(x) ≥ 0 на [−5; 6] з нулями −3, 1, 4 цілими розв’язками будуть: −5, −4, −3, 1, 2, 3, 4 — усього 7 чисел.

Монотонність функції — це її поведінка: зростає вона чи спадає на певному проміжку. Означення:

• Функція зростає на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції: x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) > f(x₁).

• Функція спадає на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції: x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) < f(x₁).

На графіку це читають зліва направо: коли графік іде «угору» — функція зростає, коли «униз» — спадає. Горизонтальна ділянка означає, що функція ні зростає, ні спадає (стала).

Як записувати проміжки монотонності

Проміжки монотонності записують значеннями аргументу x. Розгляньмо ламану на відрізку [−4; 5], що проходить через точки (−4; 3), (−1; −2), (2; 4), (5; −1).

• На [−4; −1] графік іде вниз — функція спадає.

• На [−1; 2] графік іде вгору — функція зростає.

• На [2; 5] графік знову йде вниз — функція спадає.

Важливо! Два проміжки спадання [−4; −1] і [2; 5] не можна об’єднувати знаком ∪ в один. Чому? Бо на об’єднанні [−4; −1] ∪ [2; 5] функція не спадає: візьми x₁ = −1 і x₂ = 2, маємо x₂ > x₁, але f(−1) = −2 < f(2) = 4, тобто більшому аргументу відповідає більше значення — це зростання, а не спадання. Тому проміжки записують окремо.

Найбільше й найменше значення на відрізку

Найбільше значення функції на відрізку — це ордината (координата y) найвищої точки графіка в межах цього відрізка. Найменше значення — ордината найнижчої точки.

Для ламаної на [−4; 5] через (−4; 3), (−1; −2), (2; 4), (5; −1):

• Найбільше значення: 4 (досягається при x = 2).

• Найменше значення: −2 (досягається при x = −1).

А на відрізку [0; 5] найвища точка — (2; 4), найнижча — (5; −1). Отже, найбільше значення 4, найменше −1 (досягається на кінці відрізка x = 5).

Розрізняй запитання! «При якому x функція набуває найбільшого значення?» — відповідь x (наприклад, x = 2). «Знайдіть найбільше значення функції» — відповідь y (наприклад, 4).

Читання графіка — просте завдання, але на ньому легко втратити бал через неуважність. Ось кілька правил, які допоможуть тобі не помилятися.

Крок 1: Визнач, що питають — x чи y

Підкресли в умові ключове слово: «нулі», «проміжки», «найбільше значення» — і одразу виріши, що шукаєш.

Крок 2: Перевір масштаб

Одна клітинка на графіку може означати 0,5 одиниці, 1 одиницю або 2 одиниці. Не припускай, що клітинка завжди дорівнює 1. Випиши координати ключових точок у чернетку, щоб не помилитися.

Крок 3: Зафарбована чи виколота точка

Зафарбована точка належить графіку — її враховуємо. Виколота (порожнє коло) — не належить. Це впливає на:

• дужки біля кінців проміжків: зафарбована — квадратна дужка, виколота — кругла;

• відповідь про найбільше чи найменше значення: якщо найвища точка виколота, вона не враховується.

Крок 4: Значення функції та рівняння f(x) = c

Значення f(a) — це ордината точки графіка з абсцисою a. Щоб знайти f(3), проведи вертикальну лінію від x = 3 до графіка й прочитай y.

Рівняння f(x) = c має стільки коренів, скільки спільних точок графік має з горизонтальною прямою y = c. Наприклад, якщо провести пряму y = 2 через графік ламаної, кількість перетинів — це кількість коренів рівняння f(x) = 2.

Розв’яжімо кілька типових завдань НМТ на читання властивостей функції за графіком. Усі приклади — авторські, створені за зразком офіційних завдань.

Приклад 1. Проміжок спадання

На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [−4; 5]. Ламана проходить через точки (−4; 3), (−1; −2), (2; 4), (5; −1). Який із проміжків є проміжком спадання функції?

Варіанти відповіді: А) [−1; 2]; Б) [−2; 4]; В) [−4; 2]; Г) [2; 5]; Д) [0; 5].

Розв’язання. Читаємо графік зліва направо. На [−4; −1] графік іде вниз — спадання. На [−1; 2] — вгору, зростання. На [2; 5] — знову вниз, спадання. Отже, проміжками спадання є [−4; −1] і [2; 5]. Серед варіантів є [2; 5].

Відповідь: Г) [2; 5].

Чому інші неправильні: А) [−1; 2] — це проміжок зростання; Б) [−2; 4] — записано значення y замість x; В) [−4; 2] охоплює і спадання, і зростання; Д) [0; 5] — частина проміжку зростання й частина спадання.

Приклад 2. Кількість нулів функції

За тим самим графіком (ламана на [−4; 5] через (−4; 3), (−1; −2), (2; 4), (5; −1)) знайдіть кількість нулів функції.

Варіанти: А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4; Д) 5.

Розв’язання. Графік перетинає вісь Ox тричі: між −4 і −1 (один нуль), між −1 і 2 (другий нуль), між 2 і 5 (третій нуль). Кінці відрізка не є нулями, бо f(−4) = 3 ≠ 0 і f(5) = −1 ≠ 0.

Відповідь: В) 3.

Чому інші неправильні: Б) 2 — пропущено один нуль; А) 1, Г) 4, Д) 5 — не відповідають графіку.

Приклад 3. Логічні пари

Графік функції y = f(x) задано на відрізку [−5; 6]. Нулі функції: x = −3, x = 1, x = 4. У кожному нулі графік перетинає вісь Ox, кінці відрізка зафарбовані, найвища точка графіка — (2; 5). Установіть відповідність між запитанням (1–3) і відповіддю (А–Д).

Розв’язання.

• 1 → А. Графік нижче від осі Ox на (−3; 1) і (4; 6]. Кінець 6 входить, бо точка зафарбована.

• 2 → Б. Найвища точка (2; 5), її ордината — 5.

• 3 → В. Нулі — це абсциси точок перетину з Ox: −3, 1, 4.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Чому Д — пастка: варіант Д (6) — це найбільше значення x на відрізку, а не найбільше значення функції. Якщо не розрізнити, що питають, легко обрати Д замість Б.

Приклад 4. Кількість цілих розв’язків нерівності

За тим самим графіком (на [−5; 6], нулі −3, 1, 4) знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності f(x) ≥ 0.

Варіанти: А) 3; Б) 4; В) 6; Г) 7; Д) 8.

Розв’язання. f(x) ≥ 0 — графік не нижче від осі Ox. Це проміжки [−5; −3] (вище або на осі) і [1; 4] (вище або на осі). Цілі числа на цих проміжках: −5, −4, −3, 1, 2, 3, 4. Усього 7 чисел.

Відповідь: Г) 7.

Чому інші неправильні: Б) 4 — не враховано нулі (−3, 1, 4); В) 6 — пропущено кінець −5; А) 3 і Д) 8 — не відповідають графіку.

Навіть добре знаючи теорію, на НМТ легко припуститися помилки через неуважність. Ось типові пастки, яких варто уникати.

• Відповідь значеннями y замість x. Коли питають проміжок спадання, записують [−2; 4] (значення y) замість [2; 5] (значення x). Завжди питай себе: «Що я шукаю — x чи y?»

• Нуль функції записано неправильно. Пишуть точку (3; 0) або значення y = 0 замість x = 3. Нуль функції — це завжди число x.

• Неправильні дужки біля нулів. Нулі включають до проміжку, де f(x) > 0 (а їх не можна), або, навпаки, не включають до f(x) ≥ 0 (а їх треба).

• Об’єднання проміжків спадання знаком ∪. Два проміжки спадання, наприклад [−4; −1] і [2; 5], не можна записати як [−4; −1] ∪ [2; 5], бо на такому об’єднанні функція не спадає. Записуй їх окремо.

• Не враховано кінець відрізка. Найбільше чи найменше значення може досягатися на кінці відрізка, а не лише всередині. Наприклад, на [0; 5] найменше значення −1 — у точці x = 5.

• Виколоту точку прочитано як точку графіка. Порожнє коло означає, що точка не належить графіку. Її не враховують ні в нулях, ні в найбільшому/найменшому значенні.

• Графік прочитано справа наліво. Це плутає зростання зі спаданням. Завжди читай графік зліва направо.

Уміння «установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком» належить до теми «Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості» розділу «Функції» програми НМТ з математики. Це одна з базових навичок, яку перевіряють у кількох завданнях тесту.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026:

• Завдання 6 — вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), 0 або 1 бал. Наприклад, серед ескізів графіків квадратичних функцій вибрати той, на якому функція набуває лише додатних значень на всій області визначення.

• Завдання 16 — логічні пари (установлення відповідності), по 1 балу за кожну правильно встановлену пару. Тут можуть попросити зіставити графік функції з її властивістю (наприклад, проміжок зростання, нулі, знак на проміжку).

Читання графіків — просте завдання, але на ньому легко втратити бал через неуважність. Тому перевіряй, що саме питають, масштаб і кінці графіка. Пороговий бал тесту — 5 тестових балів із 32, тому безпомилкове читання графіка дає надійний внесок у подолання порогу.

Стратегія для успіху

• Підкресли в умові, що питають: значення x чи значення y.

• Випиши координати ключових точок графіка в чернетку.

• Окремо перевір кінці відрізка — чи входять вони, чи зафарбовані.

• Перечитай запитання перед тим, як записати відповідь у бланк.

• Нулі функції — це абсциси точок перетину графіка з віссю Ox. Відповідь — числа x, а не точки й не значення y.

• Знак функції визначають за розташуванням графіка: над віссю Ox — f(x) > 0, під віссю — f(x) < 0. Нулі розділяють проміжки знакосталості.

• Зростання й спадання читаємо зліва направо: «угору» — зростає, «униз» — спадає. Проміжки записуємо значеннями x, а не y. Два проміжки спадання не об’єднують знаком ∪.

• Найбільше й найменше значення — це ординати (y) найвищої й найнижчої точок графіка. Не забувай перевіряти кінці відрізка.

• Перш ніж відповісти, визнач, що питають: значення x (нулі, проміжки, абсциса) чи значення y (значення функції, найбільше, найменше).