Точки екстремуму функції

Коли ми досліджуємо функцію за допомогою похідної, нас цікавлять не лише проміжки, на яких вона зростає чи спадає, а й точки, у яких напрям зміни перемикається. Саме ці точки називають точками екстремуму, а значення функції в них — екстремумами.

Означення точки максимуму й точки мінімуму

Нехай функція f визначена в деякому околі точки x₀. Точку x₀ називають точкою максимуму функції f, якщо для всіх x ≠ x₀ із цього околу виконується нерівність f(x) < f(x₀). Інакше кажучи, значення функції в точці максимуму є найбільшим серед значень у найближчих сусідніх точках.

Точку x₀ називають точкою мінімуму, якщо для всіх x ≠ x₀ із деякого околу виконується f(x) > f(x₀). Тут значення функції в точці є найменшим серед сусідніх.

Точки максимуму й мінімуму об'єднують загальною назвою — точки екстремуму (від латинського extremum — «крайній»).

Позначення

Точку максимуму позначають x_max, а точку мінімуму — x_min. Це абсциси (координати по осі x). Значення функції в цих точках називають відповідно максимумом функції y_max = f(x_max) і мінімумом функції y_min = f(x_min). Максимуми й мінімуми разом називають екстремумами функції.

Важливо розрізняти: точка екстремуму — це абсциса x₀, а екстремум функції — це значення f(x₀). Завдання може питати або точку екстремуму, або екстремум функції — уважно читай умову!

Екстремум — локальне поняття

Екстремум — це локальна властивість: максимум у точці може бути меншим за мінімум в іншій точці тієї самої функції. Наприклад, функція f(x) = x + 1/x має максимум f(−1) = −2 і мінімум f(1) = 2 — максимум менший від мінімуму. Це нормально, адже йдеться про локальну поведінку, а не про найбільше й найменше значення на всьому відрізку. Поняття найбільшого й найменшого значення на відрізку — окрема тема, яку розглянемо в наступному юніті.

Необхідна умова екстремуму (теорема Ферма)

Якщо x₀ — точка екстремуму функції f і в цій точці існує похідна f′(x₀), то f′(x₀) = 0. Це твердження називають теоремою Ферма. Геометрично це означає, що дотична до графіка в точці екстремуму горизонтальна.

Однак f′(x₀) = 0 — це лише необхідна, але не достатня умова. Тобто, якщо похідна в точці дорівнює нулю, це ще не гарантує, що там екстремум. Далі побачимо приклади, коли похідна дорівнює нулю, а екстремуму немає.

Важливо також: точки екстремуму завжди лежать всередині області визначення функції. Кінці відрізка не можуть бути точками екстремуму — для них не існує околу з обох боків. Крім того, похідна може не існувати в точці екстремуму (наприклад, у функції y = |x| у нулі), тому існування похідної — умова теореми Ферма, а не властивість кожної точки екстремуму: теорема стверджує лише, що коли в точці екстремуму похідна існує, вона дорівнює нулю.

Щоб визначити, чи справді в критичній точці (де похідна дорівнює нулю або не існує) є екстремум, застосовують достатню умову: досліджують, як змінюється знак похідної під час переходу через цю точку.

Правило знаків

Нехай x₀ — критична точка функції f. Тоді:

• якщо похідна f′ змінює знак з «+» на «−» під час переходу через x₀, то x₀ — точка максимуму;

• якщо похідна змінює знак з «−» на «+», то x₀ — точка мінімуму;

• якщо похідна не змінює знака, то екстремуму в точці x₀ немає.

Схематично це зображують на числовій прямій: розставляють знаки похідної на проміжках і малюють стрілки — ↗ (зростання) там, де f′ > 0, і ↘ (спадання) там, де f′ < 0. Там, де стрілка змінює напрям, — точка екстремуму.

Приклад 1: f(x) = x³ − 3x

Знайдемо похідну: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1). Критичні точки: x = −1 і x = 1.

Дослідимо знаки похідної на проміжках:

Похідна змінює знак з «+» на «−» у точці x = −1 — це точка максимуму. У точці x = 1 знак змінюється з «−» на «+» — це точка мінімуму. Обчислимо екстремуми: y_max = f(−1) = (−1)³ − 3·(−1) = −1 + 3 = 2; y_min = f(1) = 1 − 3 = −2.

Приклад 2: критична точка без екстремуму — y = x³

Похідна: y′ = 3x² ≥ 0 для всіх x. У точці x = 0 похідна дорівнює нулю, але знак не змінюється (залишається «+» з обох боків). Отже, точка x = 0 не є точкою екстремуму — функція просто сповільнюється в нулі, але продовжує зростати.

Приклад 3: f(x) = x⁴ − 4x³

Похідна: f′(x) = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3). Критичні точки: x = 0 і x = 3. Дослідимо знаки:

У точці x = 0 знак похідної не змінюється (залишається «−»), тому екстремуму немає. У точці x = 3 знак змінюється з «−» на «+» — це точка мінімуму. y_min = f(3) = 81 − 108 = −27.

Приклад 4: додатний множник не впливає на знак — f(x) = x·eˣ

Похідна: f′(x) = eˣ + x·eˣ = eˣ(x + 1). Оскільки eˣ > 0 для всіх x, знак похідної визначає лише множник (x + 1). Критична точка: x = −1. Зліва похідна від'ємна (спадання), справа — додатна (зростання). Отже, x_min = −1, y_min = f(−1) = −1/e.

Приклад 5: похідна не існує в точці екстремуму — y = |x|

Функція y = |x| не має похідної в точці x = 0 (кут на графіку). Однак знак похідної змінюється: зліва f′ = −1 (спадання), справа f′ = 1 (зростання). Отже, x = 0 — точка мінімуму. Це показує, що точка екстремуму може існувати й там, де похідна не існує.

Приклад 6: урахування області визначення — f(x) = x² − 8 ln x

Область визначення: x > 0. Похідна: f′(x) = 2x − 8/x = (2x² − 8)/x = 2(x² − 4)/x. Чисельник дорівнює нулю при x = −2 і x = 2. Однак x = −2 не належить області визначення, тому єдина критична точка — x = 2. Зліва від 2 похідна від'ємна, справа — додатна, отже, x = 2 — точка мінімуму.

На НМТ можуть дати не формулу функції, а графік її похідної y = f′(x). За цим графіком треба визначити точки екстремуму самої функції f. Це завдання перевіряє, чи розумієш ти зв'язок між знаком похідної та поведінкою функції.

Як читати графік похідної

Нагадаємо: якщо f′(x) > 0 (графік похідної вище осі Ox), то функція f зростає; якщо f′(x) < 0 (графік нижче осі), то f спадає.

Точки екстремуму функції f — це ті точки, у яких похідна змінює знак. На графіку похідної це виглядає так:

• графік f′ перетинає вісь Ox (переходить з одного боку осі на інший) — це точка екстремуму f;

• графік f′ лише дотикається до осі Ox, не перетинаючи її, — екстремуму немає.

Напрям переходу:

• графік f′ переходить знизу вгору (з «−» на «+») — точка мінімуму функції f;

• графік f′ переходить згори вниз (з «+» на «−») — точка максимуму функції f.

Приклад

Розглянемо графік похідної y = f′(x) на проміжку (−6; 6). Нехай графік перетинає вісь Ox у точках −4, 0 і 3, а в точці 5 лише дотикається до осі знизу (не перетинаючи її).

Отже, функція f має точки максимуму x = −4 і x = 3, точку мінімуму x = 0, а точка x = 5 не є точкою екстремуму. Усього — три точки екстремуму.

Не плутай графік функції з графіком її похідної! На графіку самої функції точки екстремуму — це «вершини горбів і западин». На графіку похідної точки екстремуму функції — це точки перетину графіка похідної з віссю Ox.

Повне дослідження функції за допомогою похідної дає змогу побудувати ескіз її графіка — не точний рисунок за точками, а схематичне зображення, яке передає ключові властивості: нулі, проміжки монотонності, точки екстремуму та поведінку на нескінченності.

Схема дослідження функції

1. Область визначення D(f).

2. Точки перетину з осями координат (нулі функції та перетин з віссю Oy).

3. Похідна f′(x) і критичні точки.

4. Таблиця: проміжок — знак f′ — поведінка f.

5. Значення функції в точках екстремуму.

6. Ескіз графіка.

Приклад: f(x) = x³ − 3x

1. D(f) = R — функція визначена на всій числовій прямій.

1. Нулі: x³ − 3x = x(x² − 3) = 0 ⇒ x = 0, x = ±√3. Перетин з віссю Oy: f(0) = 0.

1. Похідна: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Критичні точки: x = −1, x = 1.

1. Таблиця:

1. Екстремуми: x_max = −1, y_max = f(−1) = 2; x_min = 1, y_min = f(1) = −2.

1. Ескіз: крива піднімається до точки (−1; 2), опускається до точки (1; −2), потім знову піднімається. Графік перетинає вісь Ox у трьох точках: −√3, 0, √3.

Як вибрати правильний ескіз серед варіантів

Якщо на НМТ дають кілька ескізів і просять вибрати той, що відповідає дослідженню, звіряй:

• точку перетину з віссю Oy — чи збігається f(0);

• кількість і розташування точок екстремуму;

• напрям графіка при великих |x| (чи йде вгору чи вниз).

Кількість коренів рівняння f(x) = c за ескізом

Ескіз графіка дає змогу визначити, скільки коренів має рівняння f(x) = c для заданого c. Достатньо провести горизонтальну пряму y = c й порахувати точки перетину з графіком.

Для f(x) = x³ − 3x: максимум дорівнює 2, мінімум дорівнює −2. Рівняння x³ − 3x = 1 має три корені, бо −2 < 1 < 2 (пряма y = 1 перетинає графік тричі). Рівняння x³ − 3x = 5 має лише один корінь, бо 5 > 2 (пряма вища за максимум).

Розв'яжемо кілька типових завдань НМТ на тему точок екстремуму. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Точка мінімуму многочлена

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Знайдіть точку мінімуму функції f(x) = x³ − 6x² + 9x − 2.

Розв'язання. Знаходимо похідну: f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3). Критичні точки: x = 1 і x = 3. Досліджуємо знаки:

У точці x = 1 знак змінюється з «+» на «−» — це точка максимуму. У точці x = 3 знак змінюється з «−» на «+» — це точка мінімуму.

Відповідь: 3.

Чому інші варіанти неправильні:

• 1 — це точка максимуму, а не мінімуму;

• −2 — це значення функції в точці мінімуму f(3) = 27 − 54 + 27 − 2 = −2, а в умові питають точку (абсцису), а не значення;

• 2 — це значення функції в точці максимуму f(1) = 1 − 6 + 9 − 2 = 2;

• −3 — хибний корінь, який не є критичною точкою.

Приклад 2. Максимум функції

Завдання (коротка відповідь). Знайдіть максимум функції f(x) = −x³ + 3x² + 1.

Розв'язання. Похідна: f′(x) = −3x² + 6x = −3x(x − 2). Критичні точки: x = 0 і x = 2. Досліджуємо знаки:

У точці x = 0 знак змінюється з «−» на «+» — це точка мінімуму. У точці x = 2 знак змінюється з «+» на «−» — це точка максимуму. В умові питають максимум функції, тобто значення: f(2) = −8 + 12 + 1 = 5.

Відповідь: 5.

Пастки: якщо поспішити й записати 2 (точку максимуму замість значення), відповідь буде неправильною. Також f(0) = 1 — це мінімум функції, а не максимум.

Приклад 3. Кількість точок екстремуму за графіком похідної

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). На рисунку зображено графік похідної y = f′(x) функції f, визначеної на проміжку (−6; 6). Графік перетинає вісь Ox у точках −4, 0 і 3, а в точці 5 дотикається до осі, не перетинаючи її. Скільки точок екстремуму має функція f?

Розв'язання. Точки екстремуму функції f — це нулі похідної, у яких графік f′ перетинає вісь Ox (знак змінюється). Точка дотику (5) не є точкою екстремуму, бо знак не змінюється. Отже, точки екстремуму: −4, 0, 3 — усього три.

Відповідь: 3.

Чому інші варіанти неправильні:

• 4 — зараховано точку дотику 5 як екстремум;

• 2 — враховано лише максимуми (−4 і 3), пропущено мінімум (0);

• 1 або 5 — не відповідають кількості перетинів.

Приклад 4. Точка екстремуму з урахуванням області визначення

Завдання (коротка відповідь). Знайдіть точку екстремуму функції f(x) = x² − 8 ln x.

Розв'язання. Область визначення: x > 0. Похідна: f′(x) = 2x − 8/x = (2x² − 8)/x = 2(x² − 4)/x. Чисельник дорівнює нулю при x = −2 і x = 2. Точка x = −2 не належить області визначення, тому єдина критична точка — x = 2. Зліва від 2 похідна від'ємна, справа — додатна, отже, x = 2 — точка мінімуму.

Відповідь: 2.

Пастка: поширена помилка — записати «−2 і 2», не перевіривши область визначення. Число −2 не входить в D(f), тому його не можна вважати критичною точкою.

Зібрали найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на точки екстремуму. Уважно прочитай — це допоможе не втратити бали на НМТ.

• Плутають точку екстремуму з екстремумом функції. Коли в умові написано «знайдіть точку мінімуму», треба записати абсцису x₀, а коли «знайдіть максимум функції» — значення f(x₀). Підкреслюй в умові ключове слово.

• Кожну критичну точку вважають точкою екстремуму. Якщо похідна дорівнює нулю, але знак не змінюється (наприклад, y = x³ у нулі), екстремуму немає. Завжди перевіряй зміну знака похідної.

• Плутають правило знаків. Зміна знака з «+» на «−» — це максимум, а не мінімум. Запам'ятай: плюс-мінус — вершина (максимум), мінус-плюс — яма (мінімум).

• На графіку похідної вважають екстремумами вершини графіка f′ або точки дотику до осі. Насправді точки екстремуму функції — це нулі f′, де графік перетинає вісь Ox, а не дотикається до неї.

• Беруть критичну точку поза областю визначення. Наприклад, для f(x) = x² − 8 ln x точка x = −2 не належить D(f), тому її не можна розглядати.

• Вважають кінець відрізка точкою екстремуму. Точка екстремуму завжди лежить усередині області визначення, для неї існує окіл з обох боків. Кінці відрізка не можуть бути точками екстремуму.

• Плутають максимум функції з найбільшим значенням на відрізку. Максимум — локальне поняття. Найбільше значення на відрізку — глобальне. Це різні теми, не плутай їх.

Тема «Екстремуми функції» входить до розділу 3.4 програми НМТ з математики (рівень стандарту). Програма вимагає вміння «знаходити екстремуми функції за допомогою похідної» та «досліджувати функції за допомогою похідної й будувати їх графіки».

У демоваріанті НМТ-2026 окремого завдання з теми 3.4 немає. У вибірці з чотирьох тестів 2023–2024 років — теж. Однак тема входить до програми, тому завдання можуть з'явитися в будь-якому варіанті. Тренуємо дві основні форми:

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал). У таких завданнях можуть питати точку екстремуму, значення екстремуму або кількість точок екстремуму за графіком похідної.

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали). Відповідь записують лише десятковим дробом. Якщо число від'ємне, мінус ставлять перед першою цифрою. Точка чи значення екстремуму — це одне число.

Стратегія виконання

Найважливіше — уважно прочитати умову. Підкресли слово «точка» чи «максимум (мінімум) функції». Від цього залежить, яке число вносити у відповідь:

• «Знайдіть точку мінімуму» — записуємо абсцису x₀.

• «Знайдіть максимум функції» — записуємо значення f(x₀).

• «Скільки точок екстремуму» — рахуємо кількість.

Алгоритм розв'язування: знайти похідну → прирівняти до нуля → визначити критичні точки → дослідити знак похідної на проміжках → за зміною знака визначити точки екстремуму → записати те, що питають в умові.

• Достатня умова екстремуму: похідна змінює знак з «+» на «−» — максимум, з «−» на «+» — мінімум.

• Необхідна, але не достатня умова: f′(x₀) = 0 — лише кандидат. Без зміни знака екстремуму немає.

• Розрізняй: точка екстремуму — це x₀ (абсциса), екстремум функції — це f(x₀) (значення).

• На графіку похідної: точки екстремуму функції — це перетини графіка f′ з віссю Ox, а не дотики.

• Область визначення: критичні точки беремо лише з D(f). Точка поза областю визначення не є кандидатом.

• Дослідження функції: D(f) → нулі → похідна → таблиця знаків → екстремуми → ескіз графіка.

• Екстремум — локальне поняття: максимум може бути меншим за мінімум тієї самої функції.