Текстові задачі на рух

Будь-яка задача на рух тримається на трьох величинах: відстань s, швидкість v і час t. Вони пов’язані формулою s = v · t. Звідси ж v = s : t і t = s : v. Якщо запам’ятати цю трійцю, половина задачі вже зроблена.

Узгодження одиниць вимірювання

Перше, про що спотикаються навіть сильні учні, — неузгоджені одиниці. Швидкість, час і відстань мають бути в одній системі: або кілометри — години — км/год, або метри — секунди — м/с. Ніколи не пиши 40 хв зі швидкістю 60 км/год, не перевівши хвилини в години: 40 хв = 40/60 = 2/3 год. Тоді відстань s = 60 · 2/3 = 40 км. Якщо ж помилково підставити 40 замість 2/3, вийде 60 · 40 = 2400 км — абсурд.

Переведення хвилин у години: ділимо кількість хвилин на 60. Найпоширеніші випадки:

Переведення км/год у м/с: 72 км/год = 72 000 м : 3600 с = 20 м/с. Загальне правило: поділи на 3,6.

Таблиця «швидкість — час — відстань»

Найнадійніший спосіб не заплутатися в задачі — накреслити таблицю. Кожен рядок — це один учасник руху або один етап шляху. Стовпці: швидкість v, час t, відстань s. Невідому величину позначаємо x. Другу величину беремо з умови задачі. Третю обчислюємо за формулою s = v · t. Рівняння складаємо зі зв’язку між рядками: сума відстаней дорівнює загальній відстані, різниця часу дорівнює заданій величині, або відстані однакові.

Наприклад, для задачі «З двох міст назустріч виїхали два автомобілі» таблиця матиме два рядки — перший і другий автомобіль. Стовпець v заповнюємо числами з умови, стовпець t — однаковою змінною x (час до зустрічі), а відстань кожного — добутком v · x. Рівняння: сума відстаней дорівнює відстані між містами.

Середня швидкість

Середня швидкість на всьому шляху — це весь шлях : увесь час. Вона не дорівнює середньому арифметичному швидкостей на окремих ділянках. Приклад: автомобіль проїхав 60 км зі швидкістю 60 км/год (1 год), а потім ще 60 км зі швидкістю 40 км/год (1,5 год). Весь шлях — 120 км, увесь час — 2,5 год. Середня швидкість: 120 : 2,5 = 48 км/год. Якби взяти середнє арифметичне (60 + 40) : 2 = 50, відповідь була б неправильною.

У задачах, де беруть участь двоє учасників, ключову роль відіграє поняття швидкості зближення або швидкості віддалення. Залежно від того, як рухаються учасники, ці швидкості знаходять по-різному.

Рух назустріч

Коли два об’єкти рухаються назустріч один одному, відстань між ними зменшується зі швидкістю, що дорівнює сумі їхніх швидкостей:

$$v_{\text{збл}}=v_1+v_2$$

Час до зустрічі знаходять як початкову відстань, поділену на швидкість зближення:

$$t=\frac{s}{v_1+v_2}$$

Приклад: відстань між двома містами 300 км. З них одночасно виїхали два автомобілі назустріч зі швидкостями 70 км/год і 80 км/год. Швидкість зближення: 70 + 80 = 150 км/год. Час до зустрічі: 300 : 150 = 2 год.

Рух навздогін

Якщо один об’єкт наздоганяє інший, і вони рухаються в одному напрямі, то швидкість зближення дорівнює різниці швидкостей (більша мінус менша):

$$v_{\text{збл}}=v_1-v_2(v_1>v_2)$$

Час, за який наздожене: t = s : (v₁ − v₂), де s — початкова відстань між ними.

Приклад: пішохід вийшов з пункту А зі швидкістю 4 км/год. Через 3 год за ним виїхав велосипедист зі швидкістю 10 км/год. Початкова відстань: 4 · 3 = 12 км. Швидкість зближення: 10 − 4 = 6 км/год. Час: 12 : 6 = 2 год.

Рух у протилежних напрямах

Коли два об’єкти рухаються з одного пункту в протилежні боки, відстань між ними зростає зі швидкістю віддалення, яка дорівнює сумі швидкостей:

$$v_{\text{від}}=v_1+v_2$$

Через t годин відстань між ними становитиме s = (v₁ + v₂) · t.

Виїхали не одночасно

Якщо учасники вирушили в різний час, спершу обчислюють відстань, яку подолав перший до моменту старту другого. Далі розв’язують задачу як звичайну на навздогін або назустріч.

Приклад: автобус виїхав з міста зі швидкістю 60 км/год. Через 1 год за ним вирушило авто зі швидкістю 80 км/год. Через скільки годин авто наздожене автобус? Початкова відстань: 60 · 1 = 60 км. Швидкість зближення: 80 − 60 = 20 км/год. Час: 60 : 20 = 3 год.

У задачах на рух по річці з’являється додаткова величина — швидкість течії u. Власна швидкість човна (або катера, теплохода) у стоячій воді позначається v. Тоді:

• за течією швидкість дорівнює v + u — течія допомагає

• проти течії швидкість дорівнює v − u — течія заважає (потрібно, щоб v > u)

• пліт не має власної швидкості, він пливе зі швидкістю течії u

Як знайти власну швидкість і швидкість течії

Якщо відомі швидкості за течією та проти течії, то:

$$v=\frac{v_{\text{за}}+v_{\text{проти}}}{2},u=\frac{v_{\text{за}}-v_{\text{проти}}}{2}$$

Приклад: моторний човен проходить 36 км за течією за 2 год, а проти течії — за 3 год. Швидкість за течією: 36 : 2 = 18 км/год. Проти течії: 36 : 3 = 12 км/год. Власна швидкість: (18 + 12) : 2 = 15 км/год. Швидкість течії: (18 − 12) : 2 = 3 км/год.

Складання рівняння: рух за течією й назад

Класичний тип задачі: човен пройшов відстань за течією, повернувся назад, і відомо загальний час. Тут складають дробове рівняння:

$$\frac{s}{v+u}+\frac{s}{v-u}=T$$

де s — відстань в один бік, T — загальний час.

Розгляньмо повністю: човен пройшов 48 км за течією й повернувся назад, витративши на весь шлях 7 год. Швидкість течії — 2 км/год. Знайдіть власну швидкість човна.

Позначаємо власну швидкість через v. За течією: v + 2, час 48/(v + 2). Проти течії: v − 2, час 48/(v − 2). Рівняння:

$$\frac{48}{v+2}+\frac{48}{v-2}=7$$

Множимо обидві частини на спільний знаменник (v + 2)(v − 2):

$$48(v-2)+48(v+2)=7(v^2-4)$$

$$48v-96+48v+96=7v^2-28$$

$$96v=7v^2-28$$

$$7v^2-96v-28=0$$

Дискримінант: D = 96² + 4 · 7 · 28 = 9216 + 784 = 10 000. Корені: v₁ = (96 + 100) / 14 = 14, v₂ = (96 − 100) / 14 = −4/14 = −2/7. Від’ємний корінь відкидаємо. Власна швидкість: 14 км/год. Перевірка: за течією 48 : 16 = 3 год, проти течії 48 : 12 = 4 год, разом 7 год.

У багатьох задачах умова містить фразу «на … год раніше» або «на … год менше». Це означає, що різниця часів дорівнює заданому числу. Рівняння складають так: від більшого часу віднімають менший і прирівнюють до різниці.

Загальна схема: якщо за однієї швидкості час більший, ніж за іншої, то t₁ − t₂ = Δt, де Δt — задана різниця (додатне число).

Покроковий приклад

Велосипедист проїхав 60 км. Якби його швидкість була на 5 км/год більшою, він витратив би на 1 год менше. Знайдіть його швидкість.

Позначаємо реальну швидкість через x км/год. Тоді:

Реальний час більший, ніж «якби», тому:

$$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+5}=1$$

Множимо обидві частини на спільний знаменник x(x + 5):

$$60(x+5)-60x=x(x+5)$$

$$60x+300-60x=x^2+5x$$

$$300=x^2+5x$$

$$x^2+5x-300=0$$

Дискримінант: D = 25 + 1200 = 1225, √D = 35. Корені: x₁ = (−5 + 35) / 2 = 15, x₂ = (−5 − 35) / 2 = −20. Від’ємний корінь відкидаємо. Швидкість велосипедиста — 15 км/год.

Важливі зауваження

• У рівнянні обов’язково множ на спільний знаменник обидві частини, включно з правою (числом). Пропуск цього кроку — найчастіша помилка.

• Перевіряй корені за змістом: швидкість і час мають бути додатними. Від’ємний корінь завжди відкидай.

• Якщо в умові «на … год більше», рівняння має вигляд t₂ − t₁ = Δt — головне, щоб ліворуч стояла додатна різниця.

Розв’яжемо п’ять типових задач на рух, які можуть зустрітися на НМТ. Кожна — з повним поясненням і розбором пасток.

Приклад 1. Рух назустріч

Задача: З двох міст, відстань між якими 260 км, одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі зі швидкостями 60 км/год і 70 км/год. Через скільки годин вони зустрінуться?

Розв’язання: Швидкість зближення: 60 + 70 = 130 км/год. Час до зустрічі: 260 : 130 = 2 год.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо поділити 260 на різницю швидкостей 70 − 60 = 10, вийде 26 — це пастка для тих, хто плутає назустріч і навздогін.

Приклад 2. Швидкість течії через два заміри

Задача: Моторний човен проходить 36 км за течією за 2 год, а проти течії — за 3 год. Знайдіть швидкість течії в км/год.

Розв’язання: Швидкість за течією: 36 : 2 = 18 км/год. Проти течії: 36 : 3 = 12 км/год. Швидкість течії: (18 − 12) : 2 = 3 км/год.

Відповідь: 3.

Поширені пастки: 15 — це власна швидкість (18 + 12) : 2, а не течії. 6 — різниця швидкостей без ділення на 2.

Приклад 3. Середня швидкість

Задача: Велосипедист їхав 40 хв зі швидкістю 18 км/год, а потім 20 хв зі швидкістю 12 км/год. Знайдіть середню швидкість на всьому шляху в км/год.

Розв’язання: Переводимо хвилини в години: 40 хв = 2/3 год, 20 хв = 1/3 год. Перша ділянка: 18 · 2/3 = 12 км. Друга: 12 · 1/3 = 4 км. Весь шлях: 12 + 4 = 16 км. Весь час: 2/3 + 1/3 = 1 год. Середня швидкість: 16 : 1 = 16 км/год.

Відповідь: 16.

Пастка: 15 — це середнє арифметичне (18 + 12) : 2 = 15, яке тут не збігається з правильною відповіддю.

Приклад 4. Човен за течією й назад

Задача: Човен пройшов 30 км за течією річки й повернувся назад, витративши на весь шлях 8 год. Швидкість течії — 2 км/год. Знайдіть власну швидкість човна в км/год.

Розв’язання: Позначаємо власну швидкість v. За течією: v + 2, час 30/(v + 2). Проти течії: v − 2, час 30/(v − 2). Рівняння:

$$\frac{30}{v+2}+\frac{30}{v-2}=8$$

Множимо на (v + 2)(v − 2): 30(v − 2) + 30(v + 2) = 8(v² − 4). Спрощуємо: 60v = 8v² − 32, 8v² − 60v − 32 = 0. Ділимо на 2: 4v² − 30v − 16 = 0. Ще на 2: 2v² − 15v − 8 = 0. Дискримінант: D = 225 + 64 = 289, √D = 17. Корені: v₁ = (15 + 17) / 4 = 8, v₂ = (15 − 17) / 4 = −0,5. Відкидаємо від’ємний.

Відповідь: 8.

Пастка: 7,5 — це 60 : 8 = 7,5, тобто середня швидкість на всьому шляху без урахування течії. Але шукали власну швидкість, а не середню.

Приклад 5. Різниця часу

Задача: Турист пройшов 24 км. Якби він ішов зі швидкістю на 2 км/год більшою, то витратив би на 2 год менше. Знайдіть швидкість туриста в км/год.

Розв’язання: Позначаємо швидкість x. Реальний час: 24/x. «Якби»: 24/(x + 2). Різниця — 2 год, реальний час більший:

$$\frac{24}{x}-\frac{24}{x+2}=2$$

Множимо на x(x + 2): 24(x + 2) − 24x = 2x(x + 2). Спрощуємо: 48 = 2x² + 4x. Ділимо на 2: x² + 2x − 24 = 0. Дискримінант: D = 4 + 96 = 100. Корені: x₁ = (−2 + 10) / 2 = 4, x₂ = (−2 − 10) / 2 = −6. Відкидаємо від’ємний.

Відповідь: 4.

Пастка: 6 — це швидкість у другому випадку x + 2 = 6, але в умові питали реальну швидкість.

Нижче — типові помилки в задачах на рух. Прочитай уважно, щоб не втратити бали через неуважність.

• Змішують хвилини й години. 20 хв підставляють у формулу як 20 або 0,2 год замість 1/3 год. Завжди переводи хвилини в години діленням на 60.

• Плутають додавання й віднімання швидкостей. Під час руху навздогін додають швидкості (треба віднімати), а під час руху назустріч — віднімають (треба додавати). Запам’ятай: назустріч — зближуються швидше, тому сума; навздогін — наздоганяє повільніше, тому різниця.

• Плутають додавання й віднімання течії. За течією віднімають швидкість течії (треба додавати), а проти течії — додають (треба віднімати). Течія допомагає — швидкість більша; заважає — менша.

• Середню швидкість рахують як середнє арифметичне. Це працює лише якщо час на кожній ділянці однаковий. У загальному випадку середня швидкість — це весь шлях поділити на весь час.

• У рівнянні за різницею часу віднімають від меншого часу більший. Тоді ліва частина від’ємна, а права додатна — рівняння не має додатних коренів. Завжди став більший час першим.

• Не відкидають корінь без змісту. Від’ємна швидкість, від’ємний час, власна швидкість, менша за швидкість течії (v ≤ u) — такі корені не мають фізичного змісту, їх треба відкидати.

• У відповідь записують не ту величину. Наприклад, знаходять власну швидкість, а в задачі питали швидкість течії, або навпаки. Уважно перечитай запитання перед тим, як записати відповідь.

Текстові задачі на рух входять до теми 2.1 програми НМТ: «Рівняння, нерівності та їх системи. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем». Вимога рівня стандарту: «застосовувати рівняння, нерівності й системи до текстових задач».

Форми завдань

Задачі на рух на НМТ трапляються серед завдань з вибором однієї відповіді з п’яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал). Тобі пропонують п’ять варіантів (А–Д), з яких лише один правильний.

Як записувати відповідь

У завданнях із короткою відповіддю (як-от у тренувальних завданнях до цього уроку) пишуть лише число, без одиниць вимірювання. Наприклад, якщо знайшов швидкість 7,5 км/год, у поле для відповіді вписуй 7,5. Десятковий дріб — через кому. Знак «мінус» ставлять перед першою цифрою, якщо відповідь від’ємна (але в задачах на рух такого не буває).

Стратегія

Формул руху в довідкових матеріалах НМТ немає — їх треба знати напам’ять. На чернетці рекомендують креслити таблицю «швидкість — час — відстань»: саме розв’язання в чернетці не перевіряють, але воно допомагає не помилитися. Обов’язково перевір корені рівняння за умовою задачі: чи мають вони зміст (додатна швидкість, додатний час, власна швидкість більша за швидкість течії).

• s = v · t — головна формула. Із неї v = s : t і t = s : v.

• Перед рівнянням переведи хвилини в години (поділи на 60). Ніколи не пиши хвилини в стовпець t, якщо швидкість у км/год.

• Назустріч і в протилежних напрямах — швидкості додають. Навздогін — віднімають.

• За течією швидкість v + u, проти течії — v − u. Пліт пливе зі швидкістю течії u.

• Таблиця «швидкість — час — відстань» для кожного учасника допомагає не заплутатися. Рівняння складають за зв’язком між рядками (сума відстаней, різниця часу, однакова відстань).

• Середня швидкість = весь шлях : увесь час, а не середнє арифметичне швидкостей.

• Корені без змісту відкидаємо: від’ємну швидкість, від’ємний час, v ≤ u.

• У відповідь записуй саме шукану величину, а не те, що знайшлося побіжно.