Таблиця квадратів у довідці НМТ: обчислення й оцінка коренів

Таблиця квадратів стоїть на першій сторінці довідкових матеріалів НМТ. Вона має вигляд таблиці, де рядки — десятки (від 1 до 4), а стовпці — одиниці (від 0 до 9). На перетині рядка 3 і стовпця 7 стоїть число 1369 — це $37^2=1369$. Загалом таблиця охоплює числа від 10 до 49, тобто квадрати від 100 до 2401.

Зворотний пошук — добування кореня

Щоб добути квадратний корінь, знайди підкореневе число серед значень таблиці, а потім прочитай десятки з рядка, одиниці зі стовпця. Наприклад, число 1369 стоїть на перетині рядка 3 і стовпця 7, тому $\sqrt{1369}=37$. Так само $\sqrt{2116}=46$ (рядок 4, стовпець 6), а $\sqrt{729}=27$ (рядок 2, стовпець 7).

Зверни увагу: у довідці подано квадрати чисел від 10 до 49. Квадратів чисел 1–9 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) у таблиці немає — їх треба пам'ятати.

Перевірка за останньою цифрою

• Квадрат числа закінчується на ту саму цифру, що й квадрат його одиниць. Наприклад, $7^2=49$, тож $37^2$ теж закінчується на 9. Тому $\sqrt{1369}$ треба шукати серед чисел, які закінчуються на 3 або 7 (бо $3^2=9$ і $7^2=49$).

• Якщо число закінчується на 2, 3, 7 або 8, воно не є точним квадратом цілого числа.

Десяткові дроби

Правило: у квадраті десяткового дробу кількість цифр після коми подвоюється. $3,7^2=13,69$ (одна цифра після коми — стало дві). $0,37^2=0,1369$ (дві цифри після коми — стало чотири). Тому зворотний пошук: $\sqrt{13,69}=3,7$, а $\sqrt{0,1369}=0,37$.

Увага: $\sqrt{0,169}\ne 0,13$, бо $0,13^2=0,0169$. Правильна відповідь: $\sqrt{0,169}\approx 0,41$, оскільки $0,41^2=0,1681$, а це найближче до 0,169.

Таблиця квадратів у довідці НМТ містить квадрати лише чисел від 10 до 49. Однак на тестуванні тобі можуть трапитися числа поза цим діапазоном. Для таких випадків є кілька прийомів.

Квадрати 1–9 і круглих десятків

Квадрати чисел від 1 до 9 і круглих десятків (10, 20, …, 100) треба знати напам'ять: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $8^2=64$, $9^2=81$, $10^2=100$, $20^2=400$, $30^2=900$, $40^2=1600$, $50^2=2500$, $60^2=3600$, $70^2=4900$, $80^2=6400$, $90^2=8100$, $100^2=10000$. Квадрати 10, 20, 30 і 40 є і в таблиці, а квадратів чисел 1–9 і круглих десятків від 50 до 100 у ній немає — вони поза її діапазоном, але без них не обійтися.

Розклад на множники

Якщо потрібно піднести до квадрата число, більше за 49, або добути корінь із числа, більшого за 2401, розклади основу (або підкореневе число) на множники-квадрати.

Наприклад, $56^2$: числа 56 у таблиці немає. Розкладаємо: $56=4\cdot 14$. Тоді $56^2=(4\cdot 14{)}^2=4^2\cdot 14^2=16\cdot 196$. Квадрат 14 (тобто 196) уже можна знайти в таблиці (рядок 1, стовпець 4). Отже, $16\cdot 196=3136$. Те саме для $64^2=(2\cdot 32{)}^2=4\cdot 1024=4096$.

Зворотний хід — добування кореня з числа поза таблицею. $\sqrt{3136}=\sqrt{16\cdot 196}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{196}=4\cdot 14=56$. $\sqrt{4096}=\sqrt{4\cdot 1024}=2\cdot 32=64$.

Виділення точного квадрата з числа, що не є квадратом

Якщо підкореневе число не є точним квадратом, винеси з-під кореня найбільший можливий точний квадрат. Наприклад, $\sqrt{1800}=\sqrt{900\cdot 2}=\sqrt{900}\cdot \sqrt{2}=30\sqrt{2}$. Аналогічно $\sqrt{2000}=\sqrt{400\cdot 5}=20\sqrt{5}$.

Числа, близькі до круглих

Для чисел, близьких до круглих (наприклад, 51, 49, 99, 101), зручно використати формулу квадрата суми або різниці з довідки НМТ: $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$. Наприклад, $51^2=(50+1{)}^2=2500+2\cdot 50\cdot 1+1=2500+100+1=2601$. $99^2=(100-1{)}^2=10000-2\cdot 100\cdot 1+1=10000-200+1=9801$. Такий прийом значно швидший за множення стовпчиком.

Не кожне число є точним квадратом. Наприклад, $\sqrt{1400}$ не можна знайти в таблиці, бо 1400 немає серед її значень. Однак ти можеш визначити, між якими двома послідовними цілими числами лежить цей корінь, і навіть наблизити його до десятих.

Основне правило

Якщо $n^2<a<(n+1{)}^2$, то $n<\sqrt{a}<n+1$. Іншими словами: знайди в таблиці два сусідні квадрати, між якими потрапляє число $a$, — і корені будуть між відповідними цілими числами.

Приклад: $37^2=1369$, $38^2=1444$. Оскільки $1369<1400<1444$, то $37<\sqrt{1400}<38$.

Уточнення до десятих

Щоб отримати наближення до десятих, скористайся пропорцією. Різниця між сусідніми квадратами: $1444-1369=75$. Відстань від 1400 до нижнього квадрата: $1400-1369=31$. Частка $31/75\approx 0,4$. Отже, $\sqrt{1400}\approx 37,4$.

Перевірка: $37,4^2=1398,76<1400$, а $37,5^2=1406,25>1400$. Тому 37,4 — справді найкраще наближення до десятих.

Оцінка виразів із коренем

Іноді корінь стоїть у виразі, як-от $2\sqrt{7}$. Внеси множник під корінь: $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}$. Тепер $5^2=25<28<36=6^2$, отже $5<2\sqrt{7}<6$.

Для порівняння чисел зведи обидва до квадрата. Наприклад, порівняй $4\sqrt{3}$ і 7. $(4\sqrt{3}{)}^2=16\cdot 3=48$, а $7^2=49$. Оскільки $48<49$, то $4\sqrt{3}<7$.

Кількість цілих чисел на проміжку з ірраціональними кінцями

Припустимо, потрібно знайти, скільки цілих чисел лежить на проміжку $[\sqrt{200};\sqrt{700}]$.

Спочатку знайди межі: $14^2=196<200<225=15^2$, отже $14<\sqrt{200}<15$. Тому перше ціле число, що потрапляє в проміжок, — 15.

Далі: $26^2=676<700<729=27^2$, отже $26<\sqrt{700}<27$. Останнє ціле число в проміжку — 26.

Цілі числа від 15 до 26 включно: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26. Їхня кількість: $26-15+1=12$.

Таблиця квадратів стає в пригоді не лише для простих обчислень, а й у складніших темах — теоремі Піфагора, квадратних рівняннях і порівнянні чисел.

Теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: $c^2=a^2+b^2$. За допомогою таблиці квадратів можна швидко знайти невідому сторону.

Приклад: катети дорівнюють 20 і 21. Тоді $c^2=20^2+21^2=400+441=841$. У таблиці квадратів знаходимо 841 на перетині рядка 2 і стовпця 9, отже $c=29$.

Інший приклад: гіпотенуза 37, один катет 12. Тоді $b^2=37^2-12^2=1369-144=1225$. У таблиці 1225 стоїть на перетині рядка 3 і стовпця 5, отже другий катет дорівнює 35.

Важливо: $\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$, а не $20+21=41$. Корінь із суми не дорівнює сумі коренів!

Дискримінант квадратного рівняння

Дискримінант $D=b^2-4ac$ часто виявляється точним квадратом, який можна знайти в таблиці.

Розв'яжемо $x^2-6x-391=0$. $D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-391)=36+1564=1600$. У таблиці 1600 — це $40^2$. Тоді $x=\frac{6\pm 40}{2}$, отже $x_1=23$, $x_2=-17$.

Інший приклад: $x^2+2x-440=0$. $D=4+1760=1764$. У таблиці 1764 — це $42^2$. Тоді $x=\frac{-2\pm 42}{2}$, отже $x_1=20$, $x_2=-22$.

Порівняння чисел із коренями

Щоб порівняти числа з коренями, зведи обидва до квадрата (якщо обидва додатні). Наприклад, порівняємо $\sqrt{1500}$ і 39. $39^2=1521$. Оскільки $1500<1521$, то $\sqrt{1500}<39$.

Порівняємо $3\sqrt{170}$ і 39. $(3\sqrt{170}{)}^2=9\cdot 170=1530$. $39^2=1521$. Оскільки $1530>1521$, то $3\sqrt{170}>39$.

Приклад 1. Обчисліть $\sqrt{1681}-\sqrt{441}$

Умова: варіант відповіді — вибір однієї з п'яти (А–Д).

Розв'язання: знаходимо в таблиці квадратів число 1681. Воно стоїть на перетині рядка 4 і стовпця 1, отже $\sqrt{1681}=41$. Число 441 — на перетині рядка 2 і стовпця 1, отже $\sqrt{441}=21$. Тоді $41-21=20$.

Відповідь: 20.

Чому інші варіанти хибні: $\sqrt{1240}\approx 35,2$ — це результат, якщо спочатку відняти числа під коренем ($1681-441=1240$) і лише потім добути корінь, що є грубою помилкою. 62 — це сума коренів ($41+21$). 22 і 18 — помилка в зчитуванні рядка або стовпця таблиці.

Приклад 2. Між якими двома послідовними цілими числами лежить $\sqrt{1900}$?

Умова: варіант відповіді — вибір однієї з п'яти. Варіанти: між 42 і 43; між 43 і 44; між 44 і 45; між 13 і 14; між 190 і 191.

Розв'язання: шукаємо в таблиці квадрати, між якими лежить 1900. $43^2=1849$, $44^2=1936$. Оскільки $1849<1900<1936$, то $43<\sqrt{1900}<44$.

Відповідь: між 43 і 44.

Чому інші хибні: варіант «між 42 і 43» (42² = 1764, 43² = 1849 — 1900 більше за обидва); «між 44 і 45» — хибно, бо 44² = 1936 > 1900, тобто √1900 < 44; «між 13 і 14» — помилка на порядок (оцінили $\sqrt{190}$ замість $\sqrt{1900}$); «між 190 і 191» — плутають число з його коренем.

Приклад 3. Катети прямокутного трикутника 12 і 35. Знайдіть гіпотенузу.

Умова: коротка відповідь — десятковий дріб.

Розв'язання: за теоремою Піфагора $c^2=12^2+35^2=144+1225=1369$. У таблиці 1369 — це $37^2$, отже $c=37$.

Відповідь: 37.

Поширені пастки: 47 — це сума катетів ($12+35$), а не гіпотенуза. 1369 — це квадрат гіпотенузи, а не сама гіпотенуза; корінь треба добути.

Приклад 4. Скільки цілих чисел лежить на проміжку $[\sqrt{300};\sqrt{1300}]$?

Умова: коротка відповідь — число.

Розв'язання: знаходимо межі. $17^2=289<300<324=18^2$, отже $17<\sqrt{300}<18$. Перше ціле число в проміжку — 18. $36^2=1296<1300<1369=37^2$, отже $36<\sqrt{1300}<37$. Останнє ціле число в проміжку — 36.

Цілі числа від 18 до 36 включно: $36-18+1=19$.

Відповідь: 19.

Поширена пастка: 18 — це різниця кінців ($36-18$) без додавання 1. Не забувай, що обидва кінці входять у проміжок, тому потрібне додавання одиниці.

Приклад 5. Обчисліть $\sqrt{4096}$.

Умова: варіант відповіді — вибір однієї з п'яти. Варіанти: 62, 64, 66, 32, 2048.

Розв'язання: числа 4096 в таблиці квадратів немає, бо це квадрат числа, більшого за 49. Розкладаємо на множники: $4096=4\cdot 1024=2^2\cdot 32^2=(2\cdot 32{)}^2=64^2$. Отже, $\sqrt{4096}=64$.

Відповідь: 64.

Чому інші хибні: 62 і 66 — близькі числа, але $62^2=3844$, $66^2=4356$. 32 — це корінь лише з частини числа ($\sqrt{1024}=32$), забули помножити на 2. 2048 — це половина від 4096, а не корінь.

• Шукають у таблиці квадрат чи корінь числа поза діапазоном 10–49 (56², √3136) замість розкладу на множники. Пам'ятай: таблиця працює лише для чисел 10–49 (квадрати 100–2401). Якщо число більше або менше — розкладай на множники або зсувай кому.

• Читають рядок і стовпець навпаки: 73 замість 37. Уважно: рядок — це десятки (перша цифра), стовпець — одиниці (друга цифра). На перетині рядка 3 і стовпця 7 стоїть 1369 — це 37², а не 73².

• Помиляються з комою: 3,7² = 1,369 замість 13,69. У квадраті десяткового дробу кількість цифр після коми подвоюється: одна цифра → дві, дві → чотири. І навпаки: √0,169 не дорівнює 0,13, бо 0,13² = 0,0169.

• Оцінюють корінь за самим числом, а не за квадратами сусідніх цілих, або вважають наближення √1400 ≈ 37,4 точним значенням. Правило: спочатку знайди два найближчі квадрати з таблиці, потім — пропорцію.

• Розбивають корінь із суми: √(400 + 441) = 20 + 21. Це груба помилка: √(a + b) ≠ √a + √b. Спочатку обчисли суму під коренем, потім добувай корінь: √841 = 29.

• Рахують цілі числа на проміжку як різницю кінців, забуваючи +1. На проміжку [√300; √1300] цілі числа від 18 до 36: 36 − 18 + 1 = 19, а не 18.

Таблиця квадратів чисел від 10 до 49 розташована на першій сторінці довідкових матеріалів НМТ. Під час тестування довідку надають в електронній формі разом з паперовою чернеткою. Усі розв'язання виконуй у чернетці — її не перевіряють, тому записувати пояснення не обов'язково, але варто залишати проміжні результати, щоб не помилитися.

За програмою НМТ корінь n-го степеня й дії з коренями належать до теми 1.1 «Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними». У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 9 — це обчислення з коренями n-го степеня у форматі вибору однієї відповіді з п'яти (А–Д). Таке завдання оцінюють у 0 або 1 бал.

Теорема Піфагора — це тема 5.3 «Трикутники». У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 18 перевіряло знаходження відрізків прямокутної трапеції через теорему Піфагора у форматі відповідності «логічні пари». За нього можна отримати до 3 балів (по 1 балу за кожну правильну пару).

Завдання з короткою відповіддю (№ 19–22) оцінюють у 0 або 2 бали — без часткових балів. Відповідь — лише десятковий дріб з урахуванням коми й знака «мінус» (за потреби).

Стратегія роботи з таблицею квадратів на НМТ: якщо число не потрапляє в діапазон 100–2401, розклади його на множники в чернетці. Для оцінки кореня візьми дві сусідні клітинки таблиці, що обмежують підкореневе число, і знайди пропорцію.

• Таблиця квадратів дає квадрати чисел 10–49 (від 100 до 2401) і, читаючи навпаки, точні квадратні корені.

• Число поза таблицею розклади на множники: √3136 = 4 · 14 = 56.

• У квадраті десяткового дробу цифр після коми вдвічі більше: 3,7² = 13,69.

• Якщо n² < a < (n + 1)², то n < √a < n + 1. Десяті — пропорцією між сусідніми квадратами.

• Таблиця пришвидшує теорему Піфагора, дискримінант і порівняння чисел із коренями.

• Корінь із суми не дорівнює сумі коренів.