Системи лінійних рівнянь: підстановка й додавання

Лінійне рівняння з двома змінними має загальний вигляд ax + by = c, де x і y — змінні, а a, b, c — числа (коефіцієнти). Наприклад, 3x − 2y = 4 — лінійне рівняння з двома змінними. Його розв'язком є будь-яка пара чисел (x; y), яка перетворює рівняння на правильну числову рівність. Таких пар зазвичай безліч.

Система двох лінійних рівнянь — це два лінійні рівняння, які мають виконуватися одночасно. Їх записують одне під одним і об'єднують фігурною дужкою:

$$\{\begin{array}{l}x+y=3,\\ 2x-y=3\end{array}$$

Розв'язком системи називають таку пару чисел (x; y), яка перетворює на правильну числову рівність кожне рівняння окремо. Наприклад, пара (2; 1) є розв'язком наведеної системи, бо 2 + 1 = 3 і 2·2 − 1 = 3. Обидві рівності правильні — отже, пара підходить.

Якщо пара задовольняє лише одне рівняння, вона не є розв'язком системи. Перевірмо пару (3; 0) для тієї самої системи: 3 + 0 = 3 — правильна рівність, але 2·3 − 0 = 6 ≠ 3. Отже, (3; 0) не є розв'язком системи.

Зверни увагу на порядок чисел у парі: на першому місці завжди записують x, на другому — y. Тому (1; 2) і (2; 1) — це різні пари, і вони можуть давати різні результати під час перевірки.

Розв'язати систему — означає знайти всі її розв'язки або довести, що їх немає. Далі ти познайомишся з двома основними методами розв'язування: методом підстановки й методом додавання.

Метод підстановки — це спосіб, за якого одну змінну виражають через іншу з одного рівняння, а потім підставляють цей вираз у друге рівняння. Так система двох рівнянь зводиться до одного лінійного рівняння з однією змінною.

Алгоритм методу підстановки

1. Вирази з одного рівняння одну змінну через іншу. Найзручніше брати ту змінну, коефіцієнт при якій дорівнює 1 або −1.

2. Підстав отриманий вираз у друге рівняння. Не забудь взяти вираз у дужки!

3. Розв'яжи отримане лінійне рівняння з однією змінною.

4. Знайдену змінну підстав у вираз з першого кроку, щоб знайти другу змінну.

5. Запиши відповідь як пару чисел (x; y).

Приклад застосування

Розв'яжемо систему:

$$\{\begin{array}{l}y=2x-3,\\ 3x+2y=8\end{array}$$

У першому рівнянні змінна y уже виражена: y = 2x − 3. Підставляємо цей вираз у друге рівняння, обов'язково взявши його в дужки:

$$3x+2(2x-3)=8$$

Розкриваємо дужки: 3x + 4x − 6 = 8. Зводимо подібні: 7x − 6 = 8. Звідси 7x = 14, x = 2. Тепер знаходимо y з першого рівняння: y = 2·2 − 3 = 1. Відповідь: (2; 1).

Чому дужки обов'язкові?

Розгляньмо систему:

$$\{\begin{array}{l}y=4-x,\\ 5x-3y=4\end{array}$$

Правильна підстановка: 5x − 3(4 − x) = 4. Розкриваємо дужки: 5x − 12 + 3x = 4, звідси 8x = 16, x = 2, y = 2. Якщо ж дужки пропустити й написати 5x − 3·4 − x = 4, то за порядком дій спершу виконається множення 3·4 = 12, а потім віднімання: 5x − 12 − x = 4, тобто 4x = 16, x = 4, і відповідь буде хибною. Тому завжди став вираз у дужки!

Коли метод підстановки найзручніший

Метод підстановки варто застосовувати, коли одна зі змінних уже виражена (як у прикладі вище) або має коефіцієнт 1 чи −1. Наприклад, у системі x − 2y = 1, 3x + y = 10 зручно виразити x з першого рівняння (x = 1 + 2y) або y з другого (y = 10 − 3x). Якщо ж обидві змінні мають коефіцієнти, відмінні від ±1, то під час вираження виникають дроби, і тоді зручніше скористатися методом додавання.

Метод додавання ґрунтується на тому, що рівняння системи можна почленно додавати (або віднімати), унаслідок чого одна зі змінних зникає. Щоб цього досягти, спочатку домножують одне або обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при одній змінній стали протилежними (або рівними).

Алгоритм методу додавання

1. Домнож одне або обидва рівняння на числа так, щоб коефіцієнти при x або при y стали протилежними (наприклад, 2 і −2) або рівними.

2. Додай (або відніми) рівняння почленно. Змінна з протилежними коефіцієнтами зникне.

3. Розв'яжи отримане лінійне рівняння з однією змінною.

4. Знайдену змінну підстав у будь-яке з початкових рівнянь, щоб знайти другу змінну.

5. Запиши відповідь як пару чисел (x; y).

Найпростіший випадок: коефіцієнти вже протилежні

Розв'яжемо систему:

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=7,\\ 5x-2y=9\end{array}$$

Коефіцієнти при y уже протилежні: +2 і −2. Додаємо рівняння почленно:

$$(3x+5x)+(2y-2y)=7+9\Rightarrow 8x=16\Rightarrow x=2$$

Підставляємо x = 2 у перше рівняння: 3·2 + 2y = 7, звідки 6 + 2y = 7, 2y = 1, y = 0,5. Відповідь: (2; 0,5).

Випадок, коли потрібно домножувати обидва рівняння

Розв'яжемо систему:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=12,\\ 3x+2y=13\end{array}$$

Тут коефіцієнти не є ні рівними, ні протилежними. Щоб зрівняти коефіцієнти при x, перше рівняння множимо на 3, а друге — на 2:

$$\{\begin{array}{l}6x+9y=36,\\ 6x+4y=26\end{array}$$

Тепер коефіцієнти при x однакові. Віднімаємо друге рівняння від першого почленно. Важливо: віднімаючи рівняння, змінюємо знак кожного члена другого рівняння:

$$(6x-6x)+(9y-4y)=36-26\Rightarrow 5y=10\Rightarrow y=2$$

Підставляємо y = 2 у перше початкове рівняння: 2x + 3·2 = 12, 2x + 6 = 12, 2x = 6, x = 3. Відповідь: (3; 2).

Важливі зауваження

• Множити на число треба всі члени рівняння, зокрема й праву частину. Помилка «множу лише ліву частину» призводить до хибної відповіді.

• Віднімаючи рівняння, змінюй знак кожного члена другого рівняння, а не лише першого.

• Інколи потрібний вираз можна отримати, навіть не знаходячи x і y окремо. Наприклад, додавши рівняння 2x + 3y = 12 і 3x + 2y = 13, отримаємо 5x + 5y = 25, тобто x + y = 5. Якщо в завданні просять саме x + y, відповідь — 5.

Система двох лінійних рівнянь може мати один розв'язок, жодного або безліч. Це легко зрозуміти, якщо уявити графіки: кожне лінійне рівняння з двома змінними задає пряму на координатній площині. Розв'язок системи — це точка перетину цих прямих.

Графічна інтерпретація

• Прямі перетинаються — система має один розв'язок.

• Прямі паралельні (не перетинаються) — система не має розв'язків.

• Прямі збігаються — система має безліч розв'язків.

Аналітичний спосіб: відношення коефіцієнтів

Нехай система має вигляд:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1,\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$

За відношенням коефіцієнтів (за умови, що a₂, b₂, c₂ не дорівнюють нулю) можна визначити кількість розв'язків:

Приклади

Система 2x − y = 3, 4x − 2y = 5: 2/4 = (−1)/(−2) = 0,5, але 3/5 = 0,6. Отже, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — розв'язків немає. Якщо спробувати розв'язати методом додавання, отримаємо суперечність: 0 = 1.

Система 2x − y = 3, 4x − 2y = 6: 2/4 = (−1)/(−2) = 3/6 = 0,5. Усі відношення рівні — безліч розв'язків. Метод додавання дає 0 = 0, що означає: друге рівняння є просто першим, помноженим на 2.

Завдання з параметром

Іноді в системі один із коефіцієнтів невідомий — це параметр. Наприклад, система x + ky = 3, 2x + 6y = 5 не має розв'язків, коли 1/2 = k/6, тобто k = 3, і водночас 3/5 ≠ 1/2. Якщо k = 3, то прямі паралельні, а не збігаються, тому розв'язків немає.

Що саме записати у відповідь?

У завданнях НМТ можуть попросити не саму пару (x; y), а якийсь вираз із неї. Це може бути, зокрема, x + y, x · y, x − y або x/y. Наприклад, якщо знайдено пару (2; 1), то:

• x + y = 3

• x · y = 2

• x − y = 1

• x / y = 2

Завжди уважно перечитуй запитання: якщо просять x · y, не пиши x окремо чи x + y. Відповідь — одне число (десятковий дріб), яке може бути від'ємним.

Розгляньмо чотири типові завдання, які трапляються на НМТ. Кожне розв'яжемо покроково.

Приклад 1. Система з вимогою знайти x + y

Завдання: «Розв'яжіть систему рівнянь. У відповідь запишіть x + y».

$$\{\begin{array}{l}x-2y=1,\\ 3x+y=10\end{array}$$

Розв'язання. Використаємо метод підстановки. З першого рівняння виразимо x: x = 1 + 2y. Підставляємо в друге рівняння:

$$3(1+2y)+y=10\Rightarrow 3+6y+y=10\Rightarrow 3+7y=10$$

Звідси 7y = 7, y = 1. Тоді x = 1 + 2·1 = 3. Пара розв'язку: (3; 1). У відповіді просять x + y: 3 + 1 = 4.

Відповідь: 4.

Поширені пастки: вписати лише x = 3 (відповідь 3 — неправильно) або лише y = 1 (відповідь 1 — неправильно). Завжди обчислюй саме той вираз, якого вимагає завдання.

Приклад 2. Вибір пари чисел, що є розв'язком

Завдання: «Укажіть пару чисел, яка є розв'язком системи».

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=1,\\ x-y=3\end{array}$$

Розв'язання. З другого рівняння x = 3 + y. Підставляємо в перше:

$$2(3+y)+3y=1\Rightarrow 6+2y+3y=1\Rightarrow 6+5y=1$$

Звідси 5y = −5, y = −1. Тоді x = 3 + (−1) = 2. Правильна пара: (2; −1).

Відповідь: (2; −1).

Чому інші варіанти хибні:

• (−1; 2) — переставлено x і y місцями; перевірка: 2·(−1) + 3·2 = 4 ≠ 1.

• (4; 1) — задовольняє лише друге рівняння: 4 − 1 = 3, але 2·4 + 3·1 = 11 ≠ 1.

• (−1; 1) — задовольняє лише перше рівняння: 2·(−1) + 3·1 = 1, але −1 − 1 = −2 ≠ 3.

• (2; 1) — не задовольняє жодне: 2·2 + 3·1 = 7 ≠ 1 і 2 − 1 = 1 ≠ 3.

Приклад 3. Знайти x · y

Завдання: «Знайдіть x · y, якщо (x; y) — розв'язок системи».

$$\{\begin{array}{l}5x+2y=11,\\ 3x-2y=13\end{array}$$

Розв'язання. Коефіцієнти при y уже протилежні: +2 і −2. Додаємо рівняння почленно:

$$(5x+3x)+(2y-2y)=11+13\Rightarrow 8x=24\Rightarrow x=3$$

Підставляємо x = 3 у перше рівняння: 5·3 + 2y = 11, 15 + 2y = 11, 2y = −4, y = −2. Обчислюємо x · y = 3 · (−2) = −6.

Відповідь: −6.

Пастки: вписати лише x = 3 (відповідь 3 — неправильно) або 6 (забули знак «мінус» перед y).

Приклад 4. Визначення кількості розв'язків

Завдання: «Скільки розв'язків має система?»

$$\{\begin{array}{l}3x-6y=9,\\ x-2y=4\end{array}$$

Розв'язання. Порівнюємо відношення коефіцієнтів:

$$\frac{3}{1}=\frac{-6}{-2}=3,\frac{9}{4}=2,25\ne 3$$

Маємо a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — система не має розв'язків.

Відповідь: жодного.

Пастка: побачивши, що 3/1 = (−6)/(−2), дехто робить висновок «безліч», не перевіривши відношення вільних членів. Але 9/4 ≠ 3, тому прямі паралельні, а не збігаються.

Навіть добре знаючи алгоритми, легко припуститися дрібної помилки, яка коштує бала. Розгляньмо найпоширеніші пастки.

• Знаходять лише x і вписують його замість x + y чи x · y. Уважно читай запитання: якщо просять x + y, обчисли суму, а не x окремо.

• Перед додаванням множать на число лише ліву частину рівняння. Наприклад, для рівняння 2x + 3y = 12 множення на 3 дає 6x + 9y = 36, а не 6x + 9y = 12. Праву частину теж треба множити!

• Не беруть підставлений вираз у дужки. Запис 3x + 2 · 2x − 3 замість 3x + 2(2x − 3) змінює порядок дій і веде до хибної відповіді. Завжди став вираз у дужки!

• Віднімаючи рівняння, змінюють знак лише першого члена другого рівняння. Якщо віднімаємо 6x + 4y = 26 від 6x + 9y = 36, то отримуємо (6x − 6x) + (9y − 4y) = 36 − 26. Змінюється знак кожного члена другого рівняння, а не лише першого.

• Переставляють x і y у записі пари. Пара (1; 2) — це x = 1, y = 2; пара (2; 1) — це x = 2, y = 1. Це різні пари!

• Перевіряють пару лише в одному рівнянні системи. Пара має задовольняти обидва рівняння одночасно. Якщо вона підходить лише в одне, це не розв'язок системи.

Тема «Системи лінійних рівнянь» входить до змісту рівня стандарту теми 2.1 програми НМТ з математики: «означення розв'язку системи рівнянь, основні методи розв'язування систем» і «системи лінійних рівнянь».

У демоваріанті НМТ-2026 розділ «Рівняння, нерівності та їх системи» містить 4 завдання з 22. Системи лінійних рівнянь можуть перевірятися в різних форматах:

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал). Пропонують або пару чисел, або кількість розв'язків. Найнадійніший спосіб — перевірити кожен варіант підстановкою в обидва рівняння.

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали без часткових). Потрібно вписати одне число — x + y, x · y тощо. Число записують десятковим дробом; якщо воно від'ємне, знак «мінус» ставлять перед першою цифрою.

• Системи як модель текстових задач. Програма вимагає «застосовувати рівняння, нерівності й системи до текстових задач». Тобто систему можна скласти за умовою задачі на рух або роботу, а потім розв'язати одним із вивчених методів.

Стратегія: перед тим як записати відповідь, перечитай запитання. Переконайся, що записуєш саме те, про що питають: x + y, x · y, кількість розв'язків чи пару чисел.

• Розв'язок системи — пара чисел (x; y), яка задовольняє обидва рівняння одночасно.

• Метод підстановки: вирази змінну з коефіцієнтом ±1 і підстав її вираз у дужках у друге рівняння.

• Метод додавання: зрівняй коефіцієнти при одній змінній множенням усіх членів рівняння (зокрема правої частини), потім додай або відніми рівняння почленно.

• Кількість розв'язків: прямі перетинаються — один розв'язок; паралельні — жодного; збігаються — безліч.

• Суперечність 0 = 5 після додавання — розв'язків немає; тотожність 0 = 0 — безліч.

• У відповідь записуй саме той вираз, про який питають: x + y, x · y тощо. Перечитай запитання перед тим, як увести число.