Пропорція та її основна властивість

Відношенням двох чисел $a$ і $b$ (де $b\ne 0$) називають їхню частку $a:b$, яку можна записати й дробом $\frac{a}{b}$. Числа $a$ і $b$ — члени відношення. Відношення показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину перше число становить від другого. Наприклад, $12:4=3$ — число 12 утричі більше за 4, а $4:12=\frac{1}{3}$ — число 4 становить третину від 12.

Основна властивість відношення: якщо обидва члени помножити або поділити на те саме число, відмінне від нуля, відношення не зміниться. Це та сама властивість, що й у дробу, тому відношення «скорочують»: $18:24=3:4$ (обидва члени поділили на 6). Так само позбуваються десяткових і звичайних дробів у членах відношення:

Останній рядок важливий: величини у відношенні мають бути в однакових одиницях. Запис «50 : 2 = 25» тут — груба помилка: 50 сантиметрів не у 25 разів більші за 2 метри, а вчетверо менші.

Порядок членів має значення. Якщо в класі 12 хлопців і 15 дівчат, то відношення кількості хлопців до кількості дівчат дорівнює $12:15=4:5$, а дівчат до хлопців — $5:4$. Це різні числа: $0,8$ і $1,25$. Завжди читай, що до чого відносять: величина, названа першою, — перший член відношення.

Відношення зручно тлумачити через частини. Запис «хлопців і дівчат $4:5$» означає: якщо хлопці — це 4 однакові частини, то дівчата — 5 таких самих частин, а весь клас — $4+5=9$ частин. Отже, хлопці становлять $\frac{4}{9}$ класу, а не $\frac{4}{5}$. Відношення «частина до частини» і частка частини в цілому — різні речі, і саме на цій різниці побудовано багато пасток у задачах на суміші, сплави й поділ грошей.

Пропорція — це рівність двох відношень: $a:b=c:d$, або $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, де всі члени відмінні від нуля. Числа $a$ і $d$ — крайні члени пропорції, $b$ і $c$ — середні. Читають так: «$a$ відноситься до $b$, як $c$ до $d$». Наприклад, $3:4=9:12$ — пропорція, бо обидва відношення дорівнюють $0,75$.

Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх.

$$a:b=c:d⟺a\cdot d=b\cdot c$$

Чому це так? Помнож обидві частини рівності $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ на $bd$: зліва залишиться $ad$, справа — $bc$. Правильне й обернене твердження: якщо $ad=bc$ і всі числа ненульові, то $a:b=c:d$. Тому, щоб перевірити, чи утворюють чотири числа пропорцію, досить порівняти два добутки. Рівність $1,5:2=6:8$ — пропорція, бо $1,5\cdot 8=12$ і $2\cdot 6=12$.

Як знайти невідомий член. З основної властивості випливають два правила:

• невідомий крайній член дорівнює добутку середніх, поділеному на відомий крайній: з $x:15=4:6$ маємо $6x=60$, $x=10$;

• невідомий середній член дорівнює добутку крайніх, поділеному на відомий середній: з $8:x=12:9$ маємо $12x=72$, $x=6$.

У записі дробами це «множення навхрест»: з $\frac{x}{15}=\frac{4}{6}$ отримуємо $6\cdot x=15\cdot 4$.

Якщо член пропорції — вираз, бери його в дужки: з $\frac{x+2}{3}=\frac{2x-1}{5}$ маємо $5(x+2)=3(2x-1)$, тобто $5x+10=6x-3$ і $x=13$. Перевірка: $\frac{15}{3}=5$ і $\frac{25}{5}=5$.

Які перестановки дозволені. Пропорція залишиться правильною, якщо поміняти місцями середні члени ($a:c=b:d$), крайні члени ($d:b=c:a$) або самі відношення. А от переставити члени лише в одному відношенні не можна: з $3:4=9:12$ вийде $4:3=9:12$, а це неправильна рівність, бо $\frac{4}{3}\ne \frac{3}{4}$. Саме так виникає «обернене відношення» — найчастіша помилка в задачах на пропорції.

Перш ніж множити навхрест, перевір, що в обох відношеннях однакові величини стоять на однакових місцях: наприклад, «порції до грамів» і ліворуч, і праворуч.

Поділити число $N$ у відношенні $a:b:c$ означає розбити його на три доданки, які відносяться як $a:b:c$. Найнадійніший спосіб — позначити через $x$ одну частину:

1. Тоді доданки дорівнюють $ax$, $bx$ і $cx$.

2. Їхня сума дорівнює $N$: $ax+bx+cx=N$, тобто $(a+b+c)\cdot x=N$.

3. Звідси $x=\frac{N}{a+b+c}$ — ділимо на суму частин, а не на одне з чисел відношення.

4. Множимо $x$ на кожне число відношення й перевіряємо суму.

Приклад: поділимо 120 у відношенні $2:3:5$. Усього $2+3+5=10$ частин, одна частина $x=120:10=12$. Доданки: $24$, $36$ і $60$. Перевірка: $24+36+60=120$, а $24:36:60=2:3:5$ після ділення на 12.

Метод працює й тоді, коли відома не сума, а інші дані:

• відома різниця. Числа відносяться як $3:7$, друге на 20 більше за перше: $7x-3x=4x=20$, $x=5$, числа $15$ і $35$;

• відома одна частина. Відношення $2:5$, менший доданок дорівнює 14: $2x=14$, $x=7$, більший доданок $35$, разом $49$;

• відношення з дробами. Поділ у відношенні $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$ спершу зводимо до цілих: множимо обидва члени на $6$ і отримуємо $3:2$.

Той самий алгоритм розв’язує геометричні задачі. Якщо кути трикутника відносяться як $2:3:4$, то одна частина дорівнює 180° : 9 = 20°, а кути — 40°, 60° і 80°. Якщо відомий периметр прямокутника й відношення його сторін, ділимо півпериметр на суму частин. Щоразу корисно спитати себе: яка величина відповідає всім частинам разом — саме її ділимо на $a+b+c$.

Більшість «життєвих» задач на пропорції мають одну схему: дві величини змінюються в однакову кількість разів, відомі три числа, треба знайти четверте. Щоб не переплутати місця, запиши умову у два рядки так, щоб кожна величина мала свій стовпчик:

Складаємо пропорцію за стовпчиками: $4:6=300:x$, звідки $4x=1800$ і $x=450$ г. Можна й «через одиницю»: на одну порцію йде $300:4=75$ г, на шість — $75\cdot 6=450$ г. Обидва способи дають те саме; другий зручніший для усного рахунку.

Масштаб — це відношення довжини на карті чи плані до відповідної довжини на місцевості. Масштаб $1:25000$ означає, що 1 см на карті відповідає 25 000 см, тобто 250 м, на місцевості. Відрізок 6,4 см на такій карті — це $6,4\cdot 25000=160000$ см, тобто 1,6 км. Переводь одиниці наприкінці й пам’ятай ланцюжок: 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м = 100 000 см. Зручно одразу переписати масштаб словами: «в 1 см — 250 м».

Витрата. Якщо автомобіль витрачає 7,5 л пального на 100 км, то на 340 км піде $7,5\cdot 3,4=25,5$ л: відстань більша в 3,4 раза, і витрата більша в стільки ж разів. Так само рахують фарбу на площу, корм на кількість днів чи тканину на кількість виробів.

Схема «два рядки — два стовпчики» працює лише тоді, коли величини прямо пропорційні: у скільки разів зростає одна, у стільки ж разів зростає інша. Якщо ж зі збільшенням однієї величини інша зменшується (більше робітників — менше днів), пропорцію складають інакше. Це тема наступного юніта про пряму й обернену пропорційність. А коли результат — кількість упаковок чи банок, його ще доведеться округлити за змістом задачі.

Чотири задачі у форматі НМТ: невідомий член пропорції, поділ у відношенні, масштаб і суміш.

Приклад 1. Невідомий член пропорції з виразом

Знайди $x$, якщо $(x-3):4=9:6$.

1. Крайні члени — $x-3$ і $6$, середні — $4$ і $9$.

2. За основною властивістю: $6(x-3)=4\cdot 9$, тобто $6(x-3)=36$.

3. Ділимо обидві частини на 6: $x-3=6$, отже, $x=9$.

4. Перевірка: $(9-3):4=1,5$ і $9:6=1,5$.

Відповідь: $x=9$. Хто розкриває дужки й забуває помножити друге число ($6x-3=36$), отримує хибне $x=6,5$. А хто множить «не навхрест» ($9(x-3)=4\cdot 6$), отримує $x\approx 5,67$ — перевірка одразу покаже, що відношення не рівні.

Приклад 2. Поділ числа у відношенні 2 : 3 : 5

Поділи число 120 на три доданки у відношенні $2:3:5$.

1. Одна частина — $x$, тоді доданки $2x$, $3x$, $5x$.

2. $2x+3x+5x=120$, $10x=120$, $x=12$.

3. Доданки: $24$, $36$, $60$.

4. Перевірка сумою: $24+36+60=120$.

Відповідь: 24, 36 і 60. Дві пастки. Перша — поділити 120 на кожне число відношення: $120:2=60$, $120:3=40$, $120:5=24$. Сума $60+40+24=124$, а не 120, і найбільше число опинилося там, де мала бути найменша частина: вийшов обернений поділ. Друга — поділити 120 порівну, по 40, проігнорувавши відношення. Перевірка сумою ловить першу пастку, а перевірка відношенням — другу.

Приклад 3. Відстань за масштабом

На карті з масштабом $1:200000$ відстань між двома селами дорівнює 3,6 см. Яка відстань між селами на місцевості?

1. 1 см на карті — це 200 000 см, тобто 2 км на місцевості.

2. 3,6 см на карті — це $3,6\cdot 2=7,2$ км.

Відповідь: 7,2 км. Варіанти 72 км і 0,72 км з’являються через помилку в переведенні сантиметрів у кілометри: у кілометрі 100 000 см, а не 10 000 чи 1 000 000. Допомагає й прикидка: 1 см на цій карті — 2 км, тож 3,6 см — це «трохи менше за 4 см», тобто трохи менше за 8 км. Ні 72 км, ні 720 м у таку оцінку не вкладаються.

Приклад 4. Частина й ціле в суміші

Для мийного розчину змішують концентрат і воду у відношенні $1:4$. Скільки мілілітрів концентрату потрібно, щоб отримати 2 л готового розчину?

1. Відношення $1:4$ означає: 1 частина концентрату й 4 частини води, разом 5 частин.

2. 2 л = 2000 мл, одна частина: $2000:5=400$ мл.

3. Концентрату потрібна одна частина — 400 мл, води — 1600 мл.

Відповідь: 400 мл. Спокуслива помилка — $2000:4=500$ мл: так читають «$1:4$» як «концентрат становить чверть розчину». Насправді концентрат — п’ята частина розчину, бо у відношенні частина порівнюється з частиною, а не з цілим.

Ці помилки дають більшість неправильних відповідей у задачах на пропорції:

• Переставили члени в одному відношенні. З умови «на 4 порції — 300 г» пишуть $4:300=x:6$ і отримують $x=0,08$ г. Правильно: однакові величини на однакових місцях, $4:6=300:x$, звідки $x=450$ г. Нереальна відповідь — сигнал перевірити запис.

• Поділили на число відношення, а не на суму частин. Щоб знайти одну частину в поділі $2:3:5$, число ділять на 2, 3 чи 5. Правильно: на суму $2+3+5=10$, а потім множать на потрібне число частин.

• Сплутали «частину до частини» з «частиною від цілого». Воду й сироп змішують у відношенні $4:1$, а вважають, що сироп становить $\frac{1}{4}$ напою. Правильно: усього $4+1=5$ частин, тож сироп — $\frac{1}{5}$ напою, а вода — $\frac{4}{5}$. Частка компонента в суміші — його кількість частин, поділена на суму всіх частин.

• Різні одиниці в одному відношенні. Відношення 50 см до 2 м записують як $50:2$. Правильно: спершу переведи в однакові одиниці, $50:200=1:4$.

• Загубили дужки під час множення навхрест. З $\frac{x+2}{3}=\frac{2x-1}{5}$ пишуть $5x+2=6x-1$. Правильно: $5(x+2)=3(2x-1)$, тобто $5x+10=6x-3$.

• Помилилися в масштабі на порядок. Сантиметри ділять на 1000, щоб отримати кілометри. Правильно: 1 км = 100 000 см, тому 3,6 см у масштабі $1:200000$ — це 720 000 см = 7,2 км.

У НМТ-2026 з математики пропорції не мають окремої позиції, але на них тримається кілька завдань тестової частини.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–15, 1 бал). На перших позиціях тесту зазвичай стоїть арифметична «життєва» задача — рецепт, масштаб, витрата матеріалу, поділ грошей чи маси у відношенні. У демоваріанті НМТ-2026 завдання 3 перевіряє саме відношення величин (разом з подільністю), а завдання 7 — текстову задачу на відсотки, яку теж зручно розв’язувати пропорцією. Орієнтир — 1–2 хвилини на таке завдання.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 19–22, 2 бали). Пропорційний поділ чи невідомий член пропорції буває кроком складнішої задачі, наприклад у геометрії, коли кути чи сторони задано відношенням. Відповідь — лише число (десятковий дріб), без одиниць вимірювання; часткових балів немає, тож одна переставлена пара членів коштує двох балів.

Як діяти:

1. Випиши величини у два стовпчики або познач одну частину через $x$.

2. Розв’яжи й перевір результат: суму частин, рівність відношень або здоровий глузд.

3. Лише потім обирай варіант: серед п’яти можуть бути й числа, які виходять, якщо переставити члени пропорції чи поділити не на ту суму, тож збіг із варіантом ще не доводить правильності.

У довідкових матеріалах НМТ немає ні основної властивості пропорції, ні правила поділу у відношенні — їх треба знати напам’ять. На всю математичну частину відведено орієнтовно 60 хвилин на 22 завдання, тому швидкі й надійні бали за пропорції варто забирати першими: вони наближають до порогу (5 тестових балів з 32) і звільняють час для складних позицій.

• Відношення $a:b$ — це частка чисел; обидва члени можна множити й ділити на те саме ненульове число.

• Пропорція $a:b=c:d$ правильна тоді й лише тоді, коли $ad=bc$.

• Невідомий крайній член = добуток середніх : відомий крайній; невідомий середній = добуток крайніх : відомий середній.

• Переставляти можна середні або крайні члени, але не члени одного відношення.

• У поділі $a:b:c$ одна частина дорівнює $N:(a+b+c)$; результат перевіряй сумою.

• Відношення порівнює частину з частиною; частка в цілому — кількість частин, поділена на суму всіх частин.

• Масштаб $1:n$ — 1 см на карті відповідає $n$ см на місцевості; 1 км = 100 000 см.