Послідовні зміни на відсотки: знижки, націнки, вклади

Збільшити величину $A$ на $p\%$ означає додати до неї $p\%$ від неї самої:

$$A+A\cdot \frac{p}{100}=A\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)$$

Так само зменшити на $p\%$ означає помножити на $1-\frac{p}{100}$. Число $1\pm \frac{p}{100}$ називають множником (коефіцієнтом) зміни. Це головний інструмент усього юніта: будь-яку відсоткову зміну можна виконати одним множенням.

Множник читається й у зворотному напрямку: множник 1,3 означає зростання на 30 %, множник 0,85 — зменшення на 15 %, а 0,6 — зменшення на 40 %. Якщо множник більший за 1, величина зросла, якщо менший — зменшилася.

Чому множник зручніший за дві дії «знайти відсоток і додати»? По-перше, одна дія замість двох: ціна 1250 грн після підвищення на 12 % — це просто $1250\cdot 1,12=1400$ грн. По-друге, множники легко поєднувати в ланцюжок, коли змін кілька. По-третє, зворотна задача розв’язується діленням: якщо після підвищення на 12 % ціна стала 1400 грн, то до нього вона була $1400:1,12=1250$ грн.

Зверни увагу на межі: зменшити на 100 % — означає довести до нуля, тож знижка понад 100 % не має змісту. А от зростання може бути будь-яким: +150 % — це множник 2,5.

Корисно тримати в голові кілька множників: $1,1^2=1,21$, $1,1^3=1,331$, $1,2^2=1,44$, $0,9^2=0,81$, $0,8^2=0,64$. Вони постійно трапляються в задачах на дві-три зміни.

Коли величина змінюється кілька разів поспіль, кожну наступну зміну рахують від нового значення, а не від початкового. Тому множники перемножують:

$$A\to A\cdot k_1\to A\cdot k_1\cdot k_2$$

Дві знижки по 10 % дають множник $0,9\cdot 0,9=0,81$. Нова ціна — 81 % початкової, тобто вона знизилася на 19 %, а не на 20 %. Друга знижка менша за першу в гривнях, бо рахується від уже зменшеної ціни.

Типові поєднання варто пам’ятати:

Із таблиці видно дві закономірності. Перша: порядок змін не важливий, бо множення переставне. Знизити на 20 %, а потім підвищити на 20 % — те саме, що навпаки: в обох випадках множник 0,96. Друга: якщо підвищити й знизити на ту саму кількість відсотків, величина завжди зменшиться, бо $(1+x)(1-x)=1-x^2<1$, де $x=\frac{p}{100}>0$. Що більший відсоток, то більша втрата: ±10 % дають −1 %, а ±50 % — уже −25 %.

Щоб знайти загальну зміну, дій за алгоритмом: запиши множник кожної зміни, перемнож їх, а потім переклади результат назад у відсотки. Добуток 0,882 означає, що від величини залишилося 88,2 %, тобто вона зменшилася на 11,8 %. Добуток 1,134 означає зростання на 13,4 %.

Банк нараховує на вклад $p\%$ річних. Якщо відсотки щороку додають до вкладу, а наступного року нараховують уже на всю суму разом із попередніми відсотками, говорять про складні відсотки (капіталізацію). Щороку сума множиться на той самий множник $1+\frac{p}{100}$, тому через $n$ років:

$$A_n=A_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$$

де $A_0$ — початковий вклад. Для порівняння, за простими відсотками щороку нараховують ту саму суму — $p\%$ від початкового вкладу, і через $n$ років на рахунку $A_0\cdot \left(1+\frac{pn}{100}\right)$.

Першого року різниці немає. Далі складні відсотки обганяють прості, бо відсотки нараховуються й на вже нараховані відсотки: другого року — на 11 000 грн, а не на 10 000 грн.

Та сама формула описує будь-яке рівномірне зростання чи спадання у відсотках:

• кількість населення міста щороку зменшується на 2 %: $P_n=P_0\cdot 0,98^n$;

• автомобіль щороку дешевшає на 15 %: через 2 роки його ціна — $0,85^2=0,7225$ початкової;

• кількість бактерій щогодини зростає на 50 %: за 2 год — у $1,5^2=2,25$ раза.

Якщо ставка щороку різна, множники просто різні: 20 000 грн під 10 % першого року й 12 % другого перетворюються на $20000\cdot 1,1\cdot 1,12=24640$ грн.

Суми на рахунку рік за роком утворюють геометричну прогресію зі знаменником $q=1+\frac{p}{100}$. Формула $n$-го члена геометричної прогресії є в довідкових матеріалах НМТ, а окремої формули складних відсотків там немає — її варто знати самому. Уважно читай і питання: «яка сума буде на рахунку» і «скільки гривень становитиме прибуток» — різні числа.

Множники дають змогу «прокрутити» зміни назад. Розглянемо три типи зворотних задач.

1. Знайти початкове значення. Відомий результат після кількох змін — поділи його на добуток множників. Після двох знижок, на 20 % і на 10 %, товар коштує 1440 грн. Добуток множників $0,8\cdot 0,9=0,72$, тому початкова ціна $1440:0,72=2000$ грн. Перевірка: $2000\cdot 0,8=1600$, $1600\cdot 0,9=1440$.

2. Повернути величину до початкового значення. Після зниження на 20 % ціна становить 0,8 початкової. Щоб повернутися, треба помножити на $\frac{1}{0,8}=1,25$, тобто підвищити на 25 %, а не на 20 %. І навпаки: після підвищення на 25 % повертає зниження на 20 %.

3. Знайти невідомий відсоток. Якщо величина двічі змінилася на той самий відсоток, множник однієї зміни дорівнює $k$, а обох — $k^2$. Ціна двічі зросла на однаковий відсоток: з 2500 до 3025 грн. Тоді $k^2=3025:2500=1,21$, $k=1,1$ (беремо додатний корінь), отже, щоразу ціна зростала на 10 %. Ділити загальну зміну (21 %) навпіл не можна: вийшло б 10,5 %, а це неправильно.

Якщо невідомий лише один із двох відсотків, складаємо рівняння. Ціну підвищили на 30 %, а потім знизили на $p\%$, і вона стала на 9 % нижчою за початкову: $1,3\cdot \left(1-\frac{p}{100}\right)=0,91$. Звідси $1-\frac{p}{100}=0,7$ і $p=30$. Цікавий наслідок: ±30 % дають −9 %, як і передбачає формула $1-x^2=1-0,3^2=0,91$.

Чотири задачі у форматі НМТ — від прямого ланцюжка змін до зворотних задач.

Приклад 1. Подорожчання, а потім знижка

Ціна велосипеда 2000 грн. Спочатку її підвищили на 15 %, а потім знизили на 15 %. Скільки коштує велосипед тепер і на скільки відсотків змінилася ціна?

1. Множники: $1,15$ і $0,85$.

2. Нова ціна: $2000\cdot 1,15\cdot 0,85=2000\cdot 0,9775=1955$ грн.

3. Множник 0,9775 означає 97,75 % початкової ціни, тобто зниження на 2,25 %.

Відповідь: 1955 грн, ціна знизилася на 2,25 %. Відповідь «2000 грн, ціна не змінилася» — наслідок додавання відсотків: $+15\%-15\%=0$. Але 15 % від 2300 грн більше, ніж 15 % від 2000 грн, тож зниження «з’їдає» більше, ніж дало підвищення.

Приклад 2. Вклад на три роки

Вкладник поклав 50 000 грн під 12 % річних зі щорічною капіталізацією. Скільки гривень буде на рахунку через 3 роки?

1. Щороку сума множиться на $1,12$.

2. $1,12^2=1,2544$, $1,12^3=1,2544\cdot 1,12=1,404928$.

3. $50000\cdot 1,404928=70246,4$ грн.

Відповідь: 70 246,40 грн. За простими відсотками вийшло б $50000\cdot 1,36=68000$ грн: так рахує той, хто просто множить 12 % на 3 роки. Різниця — 2246,40 грн — це відсотки на відсотки.

Приклад 3. Ціна до двох знижок

Після двох послідовних знижок, спочатку на 20 %, а потім на 10 %, куртка коштує 1440 грн. Скільки коштувала куртка спочатку?

1. Добуток множників: $0,8\cdot 0,9=0,72$.

2. Початкова ціна: $1440:0,72=2000$ грн.

Відповідь: 2000 грн. Спокуслива помилка — вважати, що загальна знижка 30 %, і рахувати $1440:0,7\approx 2057$ грн. Інша — додати до 1440 грн 30 % від неї: $1440\cdot 1,3=1872$ грн. Обидві помилки викриває перевірка: від 2057 чи 1872 грн після знижок не вийде 1440 грн.

Приклад 4. Однаковий відсоток двічі

Ціна абонемента двічі зросла на однакову кількість відсотків: з 2500 до 3025 грн. На скільки відсотків зростала ціна щоразу?

1. Нехай множник однієї зміни $k$. Тоді $2500\cdot k^2=3025$.

2. $k^2=1,21$, $k=1,1$.

3. Щоразу ціна зростала на 10 %.

Відповідь: на 10 %. Загальне зростання становить 21 %, і хибна відповідь 10,5 % виникає, якщо поділити його навпіл. Перевірка: $2500\cdot 1,1=2750$, $2750\cdot 1,1=3025$.

Ці помилки дають більшість хибних відповідей у задачах на послідовні зміни:

• Додали відсотки послідовних змін. +20 % і −25 % вважають сумарною зміною −5 %. Правильно: перемножити множники, $1,2\cdot 0,75=0,9$, тобто −10 %.

• Рахували другий відсоток від початкового значення. Знижку 25 % після подорожчання беруть від старої ціни. Правильно: кожну зміну рахують від значення, яке величина мала перед нею.

• Порахували складні відсотки як прості. 10 % річних за 2 роки перетворюють на +20 %. Правильно: $1,1^2=1,21$, тобто +21 %; відсотки нараховують і на нараховані раніше відсотки.

• Замінили степінь множенням. $1,1^2$ рахують як $1,1\cdot 2=2,2$ — і вклад «подвоюється». Правильно: $1,1^2=1,1\cdot 1,1=1,21$.

• Повертали значення тим самим відсотком. Після зниження на 20 % підвищують на 20 % і чекають початкової ціни. Правильно: треба підвищити на 25 %, бо $0,8\cdot 1,25=1$.

• Поділили загальну зміну на кількість кроків. Два однакові зниження дали −19 %, і кожне вважають −9,5 %. Правильно: $k^2=0,81$, $k=0,9$, кожне зниження — 10 %.

Послідовні зміни на відсотки належать до теми 1.2 програми («основні задачі на відсотки», «текстові задачі»), а складні відсотки пов’язують її з темою 3.1 — геометричною прогресією.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–15, 1 бал). Можливі сюжети: подорожчання, а потім знижка; вклад на два-три роки; зміна кількості населення чи виробництва. У демоваріанті НМТ-2026 завдання 7 — текстова задача на відсотки. Результат додавання відсотків, результат простих відсотків чи самі лише нараховані відсотки цілком можуть бути серед п’яти варіантів, тому рахуй множниками й перевіряй, яку величину питають. Орієнтир — 2–3 хвилини на завдання.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 19–22, 2 бали). У трьох із чотирьох розібраних тестів НМТ 2023–2024 років на позиції № 19 стояла прогресія (у демоваріанті 2026 — похідна). Суми вкладу рік за роком — геометрична прогресія зі знаменником $1+\frac{p}{100}$, тож прийоми цього юніта там прямо знадобляться. Відповідь — лише число десятковим дробом, без «%» і «грн»; часткових балів немає: або 2 бали, або 0.

Як діяти:

1. Переклади кожну зміну в множник: +12 % — 1,12; −15 % — 0,85.

2. Перемнож множники й лише наприкінці переклади результат у відсотки чи гривні.

3. У зворотній задачі діли результат на добуток множників; для однакових змін шукай $k$ з рівняння $k^n=\frac{A_n}{A_0}$.

4. Перевір відповідь прямим обчисленням.

Формули складних відсотків у довідкових матеріалах НМТ немає, хоча є формула $n$-го члена геометричної прогресії, з якою вона збігається за змістом. Цей юніт належить до рівня «Складні завдання: 180+», тож берися за нього, коли впевнено розв’язуєш основні задачі на відсотки: відсоток від числа, число за його відсотком і відсоткову зміну.

• Збільшення на $p\%$ — множення на $1+\frac{p}{100}$, зменшення — на $1-\frac{p}{100}$.

• Послідовні зміни перемножують: дві знижки по 10 % дають 0,81, тобто −19 %.

• Відсотки різних змін не додають: +20 % і −25 % — це −10 %, а не −5 %.

• Підвищення й зниження на той самий відсоток завжди зменшують величину: $(1+x)(1-x)=1-x^2$, де $x=\frac{p}{100}$.

• Складні відсотки: $A_n=A_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$; прості: $A_0\cdot \left(1+\frac{pn}{100}\right)$.

• Початкове значення знаходять діленням на добуток множників.

• Щоб скасувати −20 %, потрібно +25 %; однаковий відсоток двох змін шукають з $k^2$.