Площі паралелограма, ромба й трапеції

Площа прямокутника — це найпростіша з формул у планіметрії: S = ab, де a і b — довжини сусідніх сторін. Для квадрата, у якого всі сторони рівні, формула набуває вигляду S = a². Але квадрат має ще одну корисну формулу — через діагональ: S = d²/2. Чому так? Діагональ квадрата ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. Якщо діагональ дорівнює d, то сторона a = d/√2, звідки a² = d²/2. Наприклад, квадрат з діагоналлю 6 має площу 18: 6²/2 = 36/2 = 18.

Одиниці площі

На НМТ і в практичних задачах важливо вміти переводити одиниці площі. Запам'ятай співвідношення:

Поширена помилка — вважати, що 1 м² = 100 см². Насправді 1 м = 100 см, тому 1 м² = 100 см · 100 см = 10 000 см².

Площа паралелограма: S = a · hₐ

Паралелограм — це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні. Його площу можна знайти так: S = a · hₐ, де a — довжина сторони, а hₐ — висота, проведена саме до цієї сторони. Якщо подумки «відрізати» прямокутний трикутник з одного боку паралелограма й приєднати його з іншого, отримаємо прямокутник із тією самою основою та висотою. Звідси й формула.

Дві висоти паралелограма

У паралелограма дві пари сторін, а отже, дві різні висоти. Важливо: a · hₐ = b · h_b. Це означає, що площу можна знайти, узявши будь-яку сторону й висоту, проведену саме до неї. Розгляньмо приклад: сторони паралелограма дорівнюють 12 і 8, висота, проведена до більшої сторони (12), дорівнює 4. Тоді площа S = 12 · 4 = 48. Щоб знайти висоту, проведену до меншої сторони, скористаймося рівністю: 12 · 4 = 8 · h_b ⇒ h_b = 48 : 8 = 6.

Площа паралелограма через дві сторони й кут: S = ab sin α

Якщо відомі дві сусідні сторони паралелограма й кут між ними, площу обчислюють за формулою S = ab sin α. Наприклад, сторони дорівнюють 6 і 10, а кут між ними 30°. Оскільки sin 30° = 0,5, площа S = 6 · 10 · 0,5 = 30. Якщо кут 150°, синус теж дорівнює 0,5 (sin 150° = sin 30°), тому площа буде та сама. Це логічно, адже паралелограм із кутом 150° має гострий кут 30°, і фігура залишається тією самою.

Формула S = ab sin α випливає з попередньої: висоту h можна виразити через сторону й кут у прямокутному трикутнику. Якщо кут 45°, а бічна сторона b = 4√2, то h = b · sin 45° = 4√2 · (√2/2) = 4.

Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Тому всі формули площі паралелограма працюють і для ромба. Але в ромба є особлива формула — через діагоналі.

Площа ромба через діагоналі: S = d₁d₂/2

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Вони розбивають ромб на чотири однакові прямокутні трикутники, катети яких дорівнюють половині діагоналей (d₁/2 і d₂/2). Площа одного такого трикутника: ½ · (d₁/2) · (d₂/2) = d₁d₂/8. Помноживши на 4, одержуємо S = d₁d₂/2.

Приклад: діагоналі ромба дорівнюють 10 і 24. Тоді S = (10 · 24)/2 = 240/2 = 120.

Інші формули для ромба

Оскільки ромб — паралелограм, його площа також дорівнює добутку сторони на висоту: S = a · h. Крім того, через сторону й кут: S = a² sin α. Наприклад, сторона ромба дорівнює 8, а гострий кут 30°. Тоді S = 8² · 0,5 = 64 · 0,5 = 32.

Обернена задача

За відомою площею й однією діагоналлю можна знайти другу діагональ, сторону, висоту й навіть периметр. Приклад: площа ромба дорівнює 96, одна з діагоналей 12. Знайдемо другу діагональ: 96 = (12 · d₂)/2 ⇒ 12 · d₂ = 192 ⇒ d₂ = 16. Сторону знаходимо за теоремою Піфагора: a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Висота: h = S : a = 96 : 10 = 9,6.

Увага! Серед паралелограмів формула S = d₁d₂/2 працює лише для ромба й квадрата, бо лише в них діагоналі перпендикулярні. Для довільного паралелограма, діагоналі якого не обов'язково перпендикулярні, ця формула неправильна. Для квадрата, як часткового випадку ромба, формула набуває вигляду S = d²/2.

Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші — ні (бічні сторони). Площу трапеції обчислюють за формулою:

S = (a + b)/2 · h, де a і b — основи, а h — висота (відстань між основами).

Оскільки середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, формулу можна записати ще простіше: S = m · h, де m — середня лінія.

Наприклад, основи трапеції дорівнюють 5 і 11, а висота 4. Тоді S = (5 + 11)/2 · 4 = 16/2 · 4 = 8 · 4 = 32.

Як знайти висоту рівнобічної трапеції

У рівнобічній трапеції бічні сторони рівні. Щоб знайти висоту, опускають перпендикуляри з обох вершин меншої основи на більшу. Утворюються два прямокутні трикутники. Проєкція бічної сторони на більшу основу дорівнює половині різниці основ: (a - b)/2.

Приклад: сторони через теорему Піфагора

У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 6 і 16, бічна сторона 13. Різниця основ 10, тому проєкція бічної сторони на більшу основу (16 - 6)/2 = 5. За теоремою Піфагора знаходимо висоту: h = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12. Площа: S = (6 + 16)/2 · 12 = 22/2 · 12 = 11 · 12 = 132.

Приклад: висота через кут

Рівнобічна трапеція має гострий кут 45° при основі, а основи дорівнюють 4 і 10. Проєкція бічної сторони: (10 - 4)/2 = 3. Оскільки кут 45°, у прямокутному трикутнику катети рівні, тож висота дорівнює проєкції: h = 3. Площа: S = (4 + 10)/2 · 3 = 14/2 · 3 = 7 · 3 = 21.

Прямокутна трапеція

У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. Саме вона й є висотою. Якщо відомі основи й ця бічна сторона-висота, площа обчислюється прямо за формулою.

Обернена задача: знайти висоту за площею

Якщо площа трапеції 60, а основи 7 і 13, то півсума основ дорівнює (7 + 13)/2 = 10. Тоді h = S / m = 60 / 10 = 6.

Пам'ятай: якщо площа невідома, висоту трапеції шукають з прямокутного трикутника — через проєкцію бічної сторони на основу або через кут при основі.

У реальному житті кімнати, ділянки та фасади рідко мають форму ідеального прямокутника. Ти навчишся обчислювати площу складених фігур двома способами: розбиттям на прості фігури або доповненням до прямокутника з відніманням зайвих частин.

Розбиття та доповнення

Г-подібна кімната має розміри 6 м × 4 м з вирізом 2 м × 1,5 м. Можна обчислити площу двома способами:

• Розбити фігуру на два прямокутники й додати їхні площі.

• Знайти площу великого прямокутника 6 × 4 = 24 м² й відняти площу вирізу 2 × 1,5 = 3 м². Результат: 24 - 3 = 21 м².

Кількість матеріалу

Практичні задачі часто вимагають не просто знайти площу, а визначити кількість матеріалу. Наприклад, підлога кімнати має розміри 5 м × 4 м = 20 м². Плитка має розміри 50 × 50 см, тобто 0,5 м × 0,5 м = 0,25 м². Щоб покрити всю підлогу, потрібно 20 : 0,25 = 80 плиток.

Якщо матеріал продають упаковками, кількість упаковок завжди округлюють угору — інакше матеріалу не вистачить. Приклад: площа підлоги 21 м², ламінат продають упаковками по 2,2 м². Кількість упаковок: 21 : 2,2 ≈ 9,55 ⇒ 10 упаковок.

Ніколи не округлюй кількість упаковок униз — матеріалу не вистачить, і докупити таку саму партію може бути неможливо.

Ділянки та одиниці площі

Ділянка має розміри 40 м × 25 м. Її площа: 40 · 25 = 1000 м² = 10 а = 0,1 га. Якщо розміри подано в різних одиницях (наприклад, довжина в метрах, а ширина в сантиметрах), спершу зводь усе до однієї одиниці. 1 м = 100 см, тому 1 м² = 100 · 100 = 10 000 см².

Площа стін без прорізів

Коли потрібно обчислити площу фасаду або стін для фарбування, від площі прямокутника віднімають площі вікон і дверей. Наприклад, стіна 4 м × 2,8 м має площу 11,2 м². У ній є вікно 1,5 м × 1,2 м = 1,8 м². Площа для фарбування: 11,2 - 1,8 = 9,4 м².

Приклад 1. Сторони паралелограма 10 см і 6 см, кут між ними 30°. Знайти площу.

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д).

Розв'язання: у паралелограмі відомі дві сторони й кут між ними, тому застосовуємо формулу S = ab sin α. S = 10 · 6 · sin 30° = 60 · 0,5 = 30 см².

Чому інші варіанти неправильні?

• 60 см² — взяли добуток сторін без множення на sin α. Це формула площі прямокутника, а не паралелограма.

• 30√3 см² — помилково взяли cos 30° = √3/2 замість sin 30° = 0,5.

• 15 см² — поділили 30 навпіл (ніби взяли половину добутку сторін).

• 32 см² — обчислили периметр 2·(10 + 6) = 32, а не площу.

Приклад 2. Основи рівнобічної трапеції 9 і 21, бічна сторона 10. Знайти площу.

Завдання: коротка відповідь (десятковий дріб).

Розв'язання. Різниця основ: 21 - 9 = 12. Проєкція бічної сторони на більшу основу: 12/2 = 6. За теоремою Піфагора знаходимо висоту: h = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8. Півсума основ: (9 + 21)/2 = 15. Площа: S = 15 · 8 = 120.

Пастка: різниця основ 12 дає проєкцію 6. Якби хтось узяв різницю основ як одну зі сторін прямокутного трикутника без ділення навпіл, отримав би √(100 - 144), що неможливо, бо 12 > 10.

Приклад 3. Логічні пари: зіставте фігури 1–3 з їхніми площами А–Д.

1) Ромб з діагоналями 6 і 8. 2) Квадрат з діагоналлю 6. 3) Паралелограм зі сторонами 4 і 6 та кутом 30° між ними.

Площі: А) 24, Б) 18, В) 12, Г) 48, Д) 36.

Розв'язання:

• Ромб: S = 6 · 8 / 2 = 24 ⇒ 1 – А.

• Квадрат: S = d²/2 = 36/2 = 18 ⇒ 2 – Б.

• Паралелограм: S = 4 · 6 · sin 30° = 24 · 0,5 = 12 ⇒ 3 – В.

Г (48) — це добуток діагоналей ромба без ділення на 2. Д (36) — квадрат діагоналі квадрата без ділення на 2.

Приклад 4. Підлога кімнати 5 м × 4,2 м. Ламінат продають упаковками по 2,2 м². Скільки упаковок треба купити?

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання: площа підлоги S = 5 · 4,2 = 21 м². Кількість упаковок: 21 : 2,2 ≈ 9,55. Оскільки 9 упаковок не вистачить, округлюємо вгору: 10 упаковок.

• 9 — округлили вниз, матеріалу не вистачить.

• 11, 21, 8 — довільні числа, не пов'язані з правильним розрахунком.

Приклад 5. Площа ромба 120, одна з діагоналей 10. Знайти периметр.

Завдання: коротка відповідь.

Розв'язання. Знаходимо другу діагональ: 120 = (10 · d₂)/2 ⇒ d₂ = 24. Сторона ромба: a = √((10/2)² + (24/2)²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Периметр: P = 4 · 13 = 52.

Пастка: якщо взяти половини діагоналей 10 і 24 (без ділення навпіл), то сторона 26, а периметр 104 — це вдвічі більше правильного.

• У паралелограмі множать сторону на сусідню сторону замість висоти. Формула S = ab працює лише для прямокутника, де сторона й висота збігаються.

• Множать сторону на висоту, проведену до іншої сторони. Пам'ятай: a · hₐ = b · h_b, але a · h_b — неправильно.

• Забувають поділити добуток діагоналей ромба на 2. Якщо діагоналі 6 і 8, площа не 48, а 24.

• У площі трапеції беруть суму основ, а не півсуму: S = (a + b) · h — це вдвічі більше правильного. Або беруть бічну сторону замість висоти.

• У формулі S = ab sin α беруть косинус кута замість синуса, або беруть кут, що не лежить між цими сторонами (наприклад, протилежний).

• Не переводять одиниці: плутають сантиметри й метри в одній формулі. Особливо небезпечно: 1 м² ≠ 100 см², насправді 1 м² = 10 000 см².

• Округлюють кількість упаковок униз (9,55 → 9). Матеріалу не вистачить — завжди округлюй угору.

Тема площ чотирикутників входить до планіметричної частини програми НМТ з математики: «формули для обчислення площ … паралелограма, ромба, квадрата, трапеції». Від тебе вимагають уміння «використовувати формули площ геометричних фігур для розв'язування планіметричних задач і задач практичного змісту».

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, наведено формули площ паралелограма (двома способами: S = a · hₐ та S = ab sin α), прямокутника, ромба через діагоналі й трапеції. Тобто формули заучувати не треба, але треба вміти застосувати їх, а головне — правильно знайти висоту.

Формати завдань

Стереометричний контекст

Площа чотирикутника може бути кроком до розв'язання стереометричної задачі. Наприклад, у демоваріанті НМТ-2026 завдання № 21 вимагало знайти об'єм прямої призми, в основі якої лежить ромб. Тобто спершу треба обчислити площу основи, а потім помножити на висоту призми.

• Паралелограм: S = a · hₐ = ab sin α. Висота обов'язково має бути проведена до тієї сторони, яку взято за основу.

• Прямокутник: S = ab. Окремий випадок — квадрат: S = a² = d²/2.

• Ромб: S = d₁d₂/2 = a · h = a² sin α. Формула через діагоналі працює, бо діагоналі ромба перпендикулярні.

• Трапеція: S = (a + b)/2 · h = m · h, де m — середня лінія.

• Висоту шукай з прямокутного трикутника — через проєкцію бічної сторони на основу або через кут.

• У практичних задачах спершу переводь усі одиниці до однієї, а кількість упаковок матеріалу завжди округлюй угору.

• У довідці НМТ є всі потрібні формули — не заучуй їх, а вчись застосовувати.