Метод інтервалів

Раціональна нерівність — це нерівність, що містить добуток або дріб многочленів. Наприклад:

• $(x-1)(x+4)>0$

• $\frac{x+2}{x-3}\le 0$

• $\frac{3}{x-1}<1$

Метод інтервалів дає змогу розв'язати будь-яку таку нерівність, не вгадуючи знака знаменника. Розгляньмо алгоритм покроково.

Крок 1 — у правій частині лише нуль

Перенеси все ліворуч і зведи до спільного знаменника. Нехай маємо $\frac{3}{x-1}<1$. Переносимо:

$\frac{3}{x-1}-1<0\Rightarrow \frac{3-(x-1)}{x-1}<0\Rightarrow \frac{4-x}{x-1}<0$.

Чому не можна помножити обидві частини на $x-1$? Знак виразу $x-1$ залежить від $x$: він додатний при $x>1$ і від'ємний при $x<1$. Множення нерівності на від'ємне число змінює знак нерівності на протилежний. Оскільки ми не знаємо заздалегідь, який $x$, множити на знаменник зі змінною — груба помилка.

Крок 2 — розкладаємо чисельник і знаменник на лінійні множники

Якщо чисельник або знаменник — многочлен степеня вищого за 1, розклади його на множники. Найчастіше це роблять за формулами скороченого множення або через корені квадратного тричлена:

• $x^2-4=(x-2)(x+2)$

• $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

• $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$

Зверни увагу на множник вигляду $4-x$. Його зручно перетворити: $4-x=-(x-4)$. Після цього можна помножити нерівність на $-1$, не забувши змінити знак нерівності на протилежний. Для нашого прикладу:

$\frac{4-x}{x-1}<0\Rightarrow \frac{-(x-4)}{x-1}<0\Rightarrow \frac{x-4}{x-1}>0$ (помножили на $-1$, знак змінився з $<$ на $>$).

Множник, який завжди додатний при всіх $x$ (наприклад $x^2+1$ або $x^2+x+1$, де дискримінант $D<0$), можна просто відкинути — він не впливає на знак дробу. Наприклад:

$\frac{x-5}{x^2+1}\ge 0\iff x-5\ge 0\iff x\ge 5$, бо $x^2+1>0$ за будь-якого $x$.

Після цих кроків маємо ліву частину у вигляді добутку множників $(x-c_1)(x-c_2)\cdots$ над рискою дробу й аналогічних множників під рискою. Далі — наносимо нулі на числову пряму.

Після того як чисельник і знаменник розкладено на лінійні множники, знаходимо нулі кожного множника — тобто значення $x$, при яких множник дорівнює нулю. Ці числа називають нулями чисельника й нулями знаменника.

Наносимо нулі на числову пряму

Познач усі знайдені нулі на числовій прямій. Вони розбивають її на кілька проміжків (інтервалів). На кожному такому проміжку вираз зберігає знак, тому що змінити знак він може лише в нулі якогось множника.

Визначаємо знаки справа наліво

Якщо всі множники мають вигляд $(x-c)$, то на крайньому правому інтервалі (праворуч від найбільшого нуля) знак дробу — «+». Чому? Бо для дуже великого $x$ кожен множник $(x-c)$ додатний, а добуток додатних чисел — додатний.

Далі рухаємося ліворуч. При переході через кожен нуль непарної кратності знак змінюється на протилежний. При переході через нуль парної кратності знак не змінюється — про це докладно в наступному розділі.

Контроль пробним числом

Найнадійніший спосіб перевірити знак на інтервалі — підставити будь-яке зручне число з цього інтервалу в початковий вираз. Розгляньмо приклад:

Нехай маємо $\frac{(x-2)(x+3)}{x-5}\ge 0$. Нулі: $x=2$, $x=-3$, $x=5$. Наносимо їх на пряму: $-3$, $2$, $5$. Проміжки: $(-\infty ;-3)$, $(-3;2)$, $(2;5)$, $(5;+\infty )$.

Візьмемо пробне число $x=0$ з проміжку $(-3;2)$: $\frac{(0-2)(0+3)}{0-5}=\frac{(-2)\cdot 3}{-5}=\frac{-6}{-5}=1,2>0$. Отже, на $(-3;2)$ знак «+».

Знаки на інших інтервалах (справа наліво): на $(5;+\infty )$ — «+», на $(2;5)$ — «−», на $(-3;2)$ — «+», на $(-\infty ;-3)$ — «−». Схема знаків: $+,-,+,-$.

Записуємо відповідь

Для нерівності $\frac{(x-2)(x+3)}{x-5}\ge 0$ нас цікавлять інтервали зі знаком «+». Нулі чисельника $-3$ і $2$ зафарбовуємо (квадратна дужка), бо нерівність нестрога ($\ge$). Нуль знаменника $5$ виколюємо (кругла дужка), бо на нуль ділити не можна.

Відповідь: $[-3;2]\cup (5;+\infty )$.

Загальне правило: для $>$ і $\ge$ беремо інтервали зі знаком «+», для $<$ і $\le$ — зі знаком «−», і об'єднуємо їх.

Квадратну нерівність теж можна розв'язати методом інтервалів. Наприклад, $(x+1)(x-4)<0$: нулі $-1$ і $4$, знаки справа наліво $+,-$, беремо «−» → $(-1;4)$. Це той самий результат, що й через ескіз параболи.

Два найважливіші нюанси методу інтервалів — виколоті точки (нулі знаменника) та корені парної кратності. Саме в цих деталях легко помилитися.

Нулі знаменника завжди виколоті

На нуль ділити не можна. Тому значення $x$, при яких знаменник дорівнює нулю, ніколи не входять до відповіді — навіть якщо нерівність нестрога ($\ge$ або $\le$). На числовій прямій такі точки позначають кружечком (виколота точка, кругла дужка в записі проміжку).

Нулі чисельника, навпаки, зафарбовують (квадратна дужка), коли нерівність нестрога ($\ge$, $\le$), і виколюють, коли нерівність строга ($>$, $<$).

Корінь парної кратності

Корінь парної кратності — це число $c$, для якого множник $(x-c)$ входить у розклад з парним показником степеня: $(x-c{)}^2$, $(x-c{)}^4$ тощо. Особливість: при переході через такий корінь знак виразу не змінюється.

Чому? Бо $(x-c{)}^2$ завжди невід'ємне (квадрат числа). Воно дорівнює нулю в точці $c$ і додатне з обох боків від неї. Тому знак усього добутку ліворуч і праворуч від $c$ однаковий.

Приклади

Розгляньмо $(x-1{)}^2(x+3)>0$. Нулі: $x=1$ (кратність 2 — парна) і $x=-3$ (кратність 1 — непарна). Знаки справа наліво: на $(1;+\infty )$ — «+» (обидва множники додатні); при переході через $1$ знак не змінюється, тому на $(-3;1)$ теж «+»; при переході через $-3$ знак змінюється на «−». Отже, відповідь: $(-3;1)\cup (1;+\infty )$. Точку $1$ виключаємо, бо нерівність строга.

Для $(x-1{)}^2(x+3)\ge 0$: знаки ті самі, але тепер $x=1$ задовольняє нерівність (добуток дорівнює нулю). Відповідь: $[-3;+\infty )$. Точка $1$ входить автоматично.

Для $(x-1{)}^2(x+3)\le 0$: беремо інтервали зі знаком «−». Це $(-\infty ;-3]$. Але чи входить $x=1$? Підставимо: $(1-1{)}^2(1+3)=0\cdot 4=0\le 0$ — так, входить. Тому відповідь: $(-\infty ;-3]\cup \{1\}$. Ізольовану точку $\{1\}$ легко загубити — це типова пастка.

Множник непарної кратності

Множник $(x-c{)}^3$ поводиться так само, як $(x-c)$: знак при переході через $c$ змінюється. Непарний степінь зберігає знак основи.

Однаковий множник у чисельнику й знаменнику

Якщо один і той самий множник $(x-c)$ є і в чисельнику, і в знаменнику, його можна скоротити. Але точку $x=c$ обов'язково виколюємо, бо в знаменнику вона дає нуль.

Приклад: $\frac{x-2}{(x-2)(x+1)}>0$. Скорочуємо $(x-2)$: отримуємо $\frac{1}{x+1}>0$. Нуль знаменника $x=-1$ виколюємо. Але й $x=2$ теж виколюємо, бо в початковому дробі знаменник обнуляється. Відповідь: $(-1;2)\cup (2;+\infty )$.

Розгляньмо чотири завдання, які охоплюють усі ключові прийоми методу інтервалів.

Приклад 1. Нерівність із добутком у чисельнику

Завдання: Розв'яжіть нерівність $\frac{(x+4)(x-1)}{x-3}\le 0$.

Розв'язання:

1. Знаходимо нулі чисельника: $x+4=0\Rightarrow x=-4$; $x-1=0\Rightarrow x=1$.

2. Знаходимо нуль знаменника: $x-3=0\Rightarrow x=3$.

3. Наносимо на пряму: $-4$, $1$, $3$. Нулі чисельника зафарбовуємо (нерівність $\le$), нуль знаменника виколюємо.

4. Визначаємо знаки справа наліво. На $(3;+\infty )$: всі множники додатні → «+». При переході через $3$ знак змінюється → на $(1;3)$ знак «−». При переході через $1$ знак змінюється → на $(-4;1)$ знак «+». При переході через $-4$ знак змінюється → на $(-\infty ;-4)$ знак «−».

5. Нас цікавить $\le 0$, тобто знак «−». Беремо $(-\infty ;-4]$ і $[1;3)$.

Відповідь: $(-\infty ;-4]\cup [1;3)$.

Чому інші варіанти неправильні?

• $(-\infty ;-4]\cup [1;3]$ — зафарбували нуль знаменника $3$, але дріб при $x=3$ не визначений.

• $[-4;1]\cup (3;+\infty )$ — переплутали знаки: взяли «+» замість «−».

• $(-\infty ;-4)\cup (1;3)$ — не зафарбували нулі чисельника $-4$ і $1$, хоча нерівність нестрога.

• $[-4;1]$ — розв'язали лише $(x+4)(x-1)\le 0$, проігнорувавши знаменник; насправді на $(-4;1)$ дріб додатний, тож ці числа не є розв'язками.

Приклад 2. Кількість цілих розв'язків

Завдання: Знайдіть кількість цілих розв'язків нерівності $\frac{x+2}{5-x}\ge 0$.

Розв'язання:

1. Перетворюємо знаменник: $5-x=-(x-5)$. Маємо $\frac{x+2}{-(x-5)}\ge 0$. Множимо на $-1$: $\frac{x+2}{x-5}\le 0$.

2. Нулі чисельника: $x=-2$ (зафарбована). Нуль знаменника: $x=5$ (виколота).

3. Знаки справа наліво: на $(5;+\infty )$ — «+», на $(-2;5)$ — «−», на $(-\infty ;-2)$ — «+».

4. Беремо знак «−» (нерівність $\le 0$): $[-2;5)$.

5. Цілі числа на цьому проміжку: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ — усього $7$ чисел.

Відповідь: $7$.

Пастка: якщо включити $x=5$, отримаємо $8$ цілих розв'язків, але $x=5$ не входить, бо знаменник обертається на нуль.

Приклад 3. Нерівність із числом у правій частині

Завдання: Розв'яжіть нерівність $\frac{2}{x-1}>1$.

Розв'язання:

1. Переносимо $1$ ліворуч: $\frac{2}{x-1}-1>0$.

2. Зводимо до спільного знаменника: $\frac{2-(x-1)}{x-1}>0\Rightarrow \frac{3-x}{x-1}>0$.

3. Перетворюємо $3-x=-(x-3)$: $\frac{-(x-3)}{x-1}>0$. Множимо на $-1$: $\frac{x-3}{x-1}<0$.

4. Нулі: чисельник $x=3$, знаменник $x=1$. Обидві точки виколоті (нерівність строга).

5. Знаки: на $(3;+\infty )$ — «+», на $(1;3)$ — «−», на $(-\infty ;1)$ — «+». Беремо «−» → $(1;3)$.

Відповідь: $(1;3)$.

Пастка: якщо помножити обидві частини на $x-1$, отримаємо $2>x-1\Rightarrow x<3$, тобто $(-\infty ;3)$. Перевірка: при $x=0$ маємо $\frac{2}{0-1}=-2$, а $-2>1$ — хибно. Отже, множити на знаменник не можна.

Приклад 4. Корінь парної кратності

Завдання: Знайдіть суму цілих розв'язків нерівності $\frac{(x-2{)}^2(x+1)}{x-4}<0$.

Розв'язання:

1. Нулі чисельника: $x=2$ (кратність 2 — парна), $x=-1$ (кратність 1). Нуль знаменника: $x=4$.

2. Знаки справа наліво: на $(4;+\infty )$ — «+». При переході через $4$ знак змінюється → на $(2;4)$ — «−». При переході через $2$ (парна кратність) знак не змінюється → на $(-1;2)$ — «−». При переході через $-1$ знак змінюється → на $(-\infty ;-1)$ — «+».

3. Беремо знак «−»: $(-1;2)\cup (2;4)$. Цілі числа: $0$, $1$, $3$. Сума: $0+1+3=4$.

Відповідь: $4$.

Пастка: якщо не врахувати парну кратність кореня $x=2$, то можна отримати $(-1;4)$ і цілі числа $0$, $1$, $2$, $3$ із сумою $6$. Але $x=2$ не входить (нерівність строга), а знак на $(-1;2)$ і $(2;4)$ однаковий.

• Множать обидві частини на знаменник невідомого знака. Наприклад, $\frac{2}{x-1}>1$ перетворюють на $2>x-1$, звідки $x<3$. Перевірка: при $x=0$ ліва частина дорівнює $-2$, що не більше за $1$. Правильно: перенести все ліворуч і звести до спільного знаменника.

• Зафарбовують нуль знаменника в нестрогій нерівності. У відповідь потрапляє точка, де дріб не визначений. Наприклад, для $\frac{(x+4)(x-1)}{x-3}\le 0$ помилково пишуть $[1;3]$ замість $[1;3)$.

• Змінюють знак при переході через корінь парної кратності. Для $(x-2{)}^2(x+1)<0$ помилково чергують знаки, наче всі корені непарної кратності. Насправді біля $x=2$ знак не змінюється.

• Розставляють знаки, не перенісши праву частину. Для $\frac{3}{x-1}<1$ беруть інтервали, де $\frac{3}{x-1}<0$, ігноруючи одиницю праворуч. Це дає зовсім інший набір проміжків.

• Залишають множник $(5-x)$ і ставлять «+» на правому інтервалі. Якщо не перетворити $5-x$ на $-(x-5)$, то на правому інтервалі $(5;+\infty )$ множник $5-x$ від'ємний, а не додатний. Правило «на правому інтервалі +» працює лише для множників виду $(x-c)$.

• Гублять ізольовану точку. Для $(x-1{)}^2(x+3)\le 0$ записують лише $(-\infty ;-3]$, забуваючи про $x=1$, який теж задовольняє нерівність.

• Скорочують однаковий множник у чисельнику й знаменнику й забувають виколоти його нуль. У $\frac{x-2}{(x-2)(x+1)}>0$ після скорочення отримують $\frac{1}{x+1}>0$, але $x=2$ обов'язково виколюють.

Метод інтервалів входить до теми 2.1 програми НМТ: «методи розв'язування найпростіших … раціональних … нерівностей» на рівні стандарту. У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 13 — система нерівностей з вибором однієї відповіді, для якої метод інтервалів не потрібен. Метод інтервалів знадобиться для раціональних нерівностей і нерівностей, що зводяться до добутку множників.

Формати завдань

Що варто знати

• У довідкових матеріалах НМТ методу інтервалів немає — його треба знати напам'ять.

• Стратегія: підстав пробне число з кожного вибраного інтервалу в початкову нерівність і перевір, чи справді вона виконується. Окремо перевір нуль знаменника — він ніколи не входить.

• На всі 22 завдання з математики відведено орієнтовно 60 хвилин. На завдання з методом інтервалів вистачає $3$–$5$ хвилин, якщо алгоритм відпрацьований.

• Праворуч лише 0: переносимо все ліворуч і зводимо до спільного знаменника.

• На знаменник зі змінною не множимо — знак нерівності може змінитися.

• Нулі чисельника й знаменника — на пряму. Знаки справа наліво, починаючи з «+».

• При непарній кратності знак змінюється; при парній — не змінюється.

• Нулі знаменника завжди виколоті (кругла дужка). Нулі чисельника зафарбовані лише при $\ge$ чи $\le$.

• Біля кореня парної кратності знак не змінюється; ізольовану точку не губимо.

• Кожен вибраний інтервал перевір одним пробним числом.