Лінійні нерівності та їх системи

Лінійна нерівність з однією змінною має вигляд $ax+b>0$, де $a$ і $b$ — числа, а замість знака $>$ може стояти $<$, $\ge$ або $\le$. Наприклад, $3x-7<5$ або $4-2x\ge x+10$: після перенесення доданків обидві зводяться до вигляду $ax+b>0$ з тим чи іншим знаком.

Розв’язок нерівності — це значення змінної, яке перетворює її на правильну числову нерівність. Число $5$ є розв’язком нерівності $3x-7<10$, бо $3\cdot 5-7=8<10$, а число $6$ — ні, бо $11<10$ неправильно. На відміну від рівняння, лінійна нерівність зазвичай має безліч розв’язків, тому розв’язати нерівність означає знайти множину всіх її розв’язків або довести, що їх немає.

Розв’язують нерівність рівносильними перетвореннями — такими, що не змінюють множину розв’язків:

1. До обох частин можна додати те саме число чи вираз, тобто перенести доданок в іншу частину з протилежним знаком.

2. Обидві частини можна помножити чи поділити на те саме додатне число — знак нерівності залишається.

3. Обидві частини можна помножити чи поділити на те саме від’ємне число, але тоді знак нерівності змінюється на протилежний: $<$ на $>$, $\le$ на $\ge$.

Чому третє правило саме таке? Порівняй: $2<5$, але після множення на $-1$ отримуємо $-2$ і $-5$, а $-2>-5$. Множення на від’ємне число «перевертає» числову пряму, тож порядок чисел стає зворотним.

Змінювати знак треба щоразу, коли ділиш або множиш на від’ємне число, навіть якщо це $-1$. На це правило припадає найбільше помилок у нерівностях.

Після спрощення можливі три випадки для нерівності $ax>c$:

Третій рядок легко пропустити. Наприклад, $2(x+3)>2x+1$ після розкриття дужок дає $0\cdot x>-5$ — це правильно для будь-якого $x$, тож відповідь $(-\infty ;+\infty )$. А нерівність $2(x+3)<2x+1$ зводиться до $0\cdot x<-5$ і розв’язків не має.

Відповідь до нерівності записують числовим проміжком — множиною всіх чисел між двома межами. Кругла дужка означає, що межу не включено (нерівність строга: $<$ або $>$), квадратна — що включено (нестрога: $\le$ або $\ge$). На числовій прямій невключену межу позначають «порожньою» (виколотою) точкою, включену — зафарбованою.

Три правила запису, на яких побудовано варіанти в завданнях з вибором відповіді:

• нескінченність ($+\infty$ чи $-\infty$) — не число, її не можна «включити», тому біля неї дужка завжди кругла;

• межі пишуть у порядку зростання: спочатку менше число, потім більше, між ними — крапка з комою;

• якщо розв’язків немає, відповідь — порожня множина $\varnothing$; якщо підходить будь-яке число — $(-\infty ;+\infty )$.

Щоб не переплутати напрям, прочитай нерівність від змінної: «$x$ менше або дорівнює трьом» означає, що всі розв’язки лежать лівіше від $3$, разом із самим числом $3$. Тоді проміжок іде від $-\infty$ до $3$, а дужка біля $3$ квадратна.

Цілі розв’язки. Часто питають не проміжок, а кількість, суму чи найменший із цілих розв’язків. Для проміжку $(-2,5;4]$ цілі числа такі: $-2,-1,0,1,2,3,4$ — їх сім. Уважно перевір межі: $-2,5$ не ціле, а $4$ включено, бо дужка квадратна. Якщо межа — ціле число при круглій дужці, наприклад $(-2;4]$, то $-2$ вже не рахуємо.

Система нерівностей — кілька нерівностей, які мають виконуватися одночасно. Її розв’язок — спільна частина (переріз) розв’язків усіх нерівностей. Записують систему фігурною дужкою:

$$\{\begin{array}{l}2x-1>3,\\ 5-x\ge 1.\end{array}$$

Алгоритм розв’язання:

1. Розв’яжи кожну нерівність окремо: $2x>4$, отже, $x>2$; $-x\ge -4$, отже, $x\le 4$ (поділили на $-1$ і змінили знак).

2. Познач обидві множини на одній числовій прямій: перша йде праворуч від $2$ (точка виколота), друга — ліворуч від $4$ (точка зафарбована).

3. Візьми ділянку, де штрихування перекривається: $2<x\le 4$, тобто $x\in (2;4]$.

Спільної ділянки може не бути. Система $x<1$ і $x\ge 3$ не має розв’язків, бо жодне число не може бути водночас меншим від $1$ і не меншим від $3$. Якщо ж обидві нерівності «дивляться» в один бік, наприклад $x>2$ і $x>5$, переріз — це «сильніша» умова: $x>5$.

Подвійна нерівність $-3<2x+1\le 7$ — це скорочений запис системи з двох нерівностей. Її зручно розв’язувати відразу в трьох частинах, виконуючи одну й ту саму дію з усіма трьома: відняти $1$ — отримаємо $-4<2x\le 6$; поділити на $2$ — отримаємо $-2<x\le 3$. Відповідь: $(-2;3]$. Якщо в середній частині коефіцієнт при $x$ від’ємний, після ділення на нього обидва знаки змінюються, і запис зручно «перевернути», щоб менше число стояло зліва.

Системи виникають і там, де слова «система» немає. Наприклад, вираз $\sqrt{x+2}+\frac{1}{\sqrt{6-2x}}$ має зміст, коли одночасно $x+2\ge 0$ і $6-2x>0$, тобто при $x\in [-2;3)$. Так лінійні нерівності з’являються в завданнях на область визначення та в задачах з параметром.

Нижче чотири задачі: відповідь-проміжок (так питають у завданнях з вибором відповіді), кількість і сума цілих розв’язків (типова відповідь-число) і текстова задача.

Приклад 1. Нерівність із від’ємним коефіцієнтом

Розв’яжи нерівність $3-2x\ge 7$.

1. Переносимо $3$ праворуч: $-2x\ge 4$.

2. Ділимо на $-2$ і змінюємо знак: $x\le -2$.

3. Записуємо проміжок: $(-\infty ;-2]$ — біля $-2$ квадратна дужка, бо нерівність нестрога.

Перевірка числом: $x=-3$ дає $3+6=9\ge 7$ — правильно; $x=0$ дає $3\ge 7$ — неправильно. Відповідь $[-2;+\infty )$ обирає той, хто забув змінити знак; перевірка будь-яким числом одразу це викриває.

Приклад 2. Система і кількість цілих розв’язків

Скільки цілих розв’язків має система $2x-5<3$ і $4-x\le 6$?

1. $2x<8$, отже, $x<4$.

2. $-x\le 2$, отже, $x\ge -2$.

3. Переріз: $-2\le x<4$, тобто $[-2;4)$.

4. Цілі числа: $-2,-1,0,1,2,3$ — 6 чисел. Число $4$ не входить, бо дужка кругла, а $-2$ входить.

Типові «пасткові» відповіді тут — $5$ (не врахували $-2$) і $7$ (додали $4$).

Приклад 3. Подвійна нерівність із дробом

Знайди суму цілих розв’язків нерівності $-1\le \frac{3x-2}{4}<2$.

1. Множимо всі три частини на $4$: $-4\le 3x-2<8$.

2. Додаємо $2$: $-2\le 3x<10$.

3. Ділимо на $3$: $-\frac{2}{3}\le x<\frac{10}{3}$, тобто приблизно від $-0,67$ до $3,33$.

4. Цілі розв’язки: $0,1,2,3$; їх сума $0+1+2+3=6$.

Відповідь: 6. Пастка — округлити $-\frac{2}{3}$ до $-1$ і додати його до розв’язків: $-1<-\frac{2}{3}$, тож $-1$ нерівність не задовольняє (перевір: $\frac{3\cdot (-1)-2}{4}=-1,25<-1$), а сума вийшла б хибною — 5. У короткій відповіді НМТ записуєш лише число, тому проміжні результати тримай у чернетці.

Приклад 4. Текстова задача

Поїздка таксі коштує $45$ грн за посадку і $14$ грн за кожен кілометр. Яку найбільшу цілу кількість кілометрів можна проїхати, маючи $300$ грн?

1. Нехай $x$ — кількість кілометрів. Тоді вартість $45+14x$ не має перевищувати $300$: $45+14x\le 300$.

2. $14x\le 255$, отже, $x\le \frac{255}{14}\approx 18,2$.

3. Найбільше ціле число, що задовольняє умову, — 18.

Округлення вгору до $19$ — помилка: $45+14\cdot 19=311>300$. Якщо забути про плату за посадку, вийде $300:14\approx 21,4$, тобто хибні $21$ км.

Ці помилки дають більшість неправильних відповідей у завданнях на лінійні нерівності:

• Не змінили знак після ділення на від’ємне число. З $-3x<12$ пишуть $x<-4$. Правильно: $x>-4$. Перевір будь-яким числом із «відповіді».

• Переплутали дужки. Для $x\ge 5$ пишуть $(5;+\infty )$. Правильно: $[5;+\infty )$, бо нестрогий знак включає межу. Біля $\pm \infty$ дужка завжди кругла.

• Об’єднали замість перетнути. У системі $x>-1$ і $x\le 3$ беруть «усі числа, що задовольняють хоча б одну умову». Правильно: лише спільні, тобто $(-1;3]$.

• У подвійній нерівності змінили лише одну частину. З $-3<2x+1\le 7$ віднімають $1$ тільки в середині. Правильно: кожну дію виконують з усіма трьома частинами.

• Помножили на вираз зі змінною. Нерівність $\frac{5}{x}>1$ не можна просто помножити на $x$: знак $x$ невідомий. Це вже раціональна нерівність, її розв’язують методом інтервалів (наступні юніти).

• Неправильно порахували цілі розв’язки. Для $(-3;2]$ рахують $-3$ або пропускають $2$. Правильно: $-2,-1,0,1,2$ — п’ять чисел. Випиши їх, а не віднімай межі.

У НМТ-2026 з математики лінійні нерівності не мають окремої позиції, але трапляються в кількох формах.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–15, 1 бал). У демоваріанті 2026 року завдання 13 — система нерівностей. Якщо варіанти відповіді — проміжки, вони можуть відрізнятися лише дужками, межами чи напрямом, тож кожну деталь запису перевіряй окремо. Питання «знайди найменший цілий розв’язок» чи «скільки цілих розв’язків» — теж швидкий бал: після розв’язання лишається виписати числа. Орієнтир — 1–2 хвилини на завдання; для учня, який іде на поріг (5 тестових балів з 32), це один із найпевніших балів.

• Коротка відповідь (№ 19–22, 2 бали). Окремої задачі на лінійну нерівність на цих позиціях у демоваріанті 2026 і розібраних тестах не було, але вона може стати кроком складнішої задачі: область визначення виразу, умова на параметр у № 22 (у демоваріанті 2026 — показникове рівняння з параметром). Відповідь — лише число десятковим дробом. Часткових балів немає, тому одна помилка зі знаком коштує двох балів.

Стратегія:

1. Спочатку розв’яжи нерівність у чернетці.

2. Потім перевір відповідь числом з отриманого проміжку та числом поза ним.

3. Лише після цього обирай варіант.

Для завдань про цілі розв’язки виписуй числа явно. У довідкових матеріалах цих правил немає, тож зміну знака й запис проміжків треба знати напам’ять.

• Розв’язати нерівність означає знайти множину всіх її розв’язків і записати її проміжком.

• Ділення чи множення на від’ємне число змінює знак нерівності; на додатне — ні.

• Строгий знак — кругла дужка, нестрогий — квадратна; біля нескінченності дужка завжди кругла.

• Розв’язок системи — переріз розв’язків усіх нерівностей; якщо перерізу немає, відповідь $\varnothing$.

• Подвійну нерівність розв’язують, виконуючи ту саму дію з усіма трьома частинами.

• Цілі розв’язки виписуй явно й перевіряй, чи входять межі.