Квадратні нерівності

Квадратною нерівністю називають нерівність вигляду $a{x}^2+bx+c>0$ (або $<$, $\ge$, $\le$), де $a\ne 0$. Перш ніж застосовувати алгоритм, усі доданки треба перенести в ліву частину. Наприклад, $x^2>3x+4$ перетворюємо на $x^2-3x-4>0$.

Графічний зміст квадратної нерівності дуже наочний. Розв’язки нерівності $a{x}^2+bx+c>0$ — це абсциси тих точок графіка функції $y=a{x}^2+bx+c$, які лежать вище від осі $Ox$. Розв’язки $a{x}^2+bx+c<0$ — абсциси точок, які лежать нижче від осі $Ox$. Для побудови ескізу параболи достатньо знати два елементи: корені квадратного тричлена (де графік перетинає вісь $Ox$) і напрям віток (куди «дивляться» вітки). Вершину параболи будувати не треба.

Алгоритм покроково:

• Знайти корені рівняння $a{x}^2+bx+c=0$ через дискримінант $D=b^2-4ac$ або за теоремою Вієта. Формула коренів $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ і розклад $a(x-x_1)(x-x_2)$ є в довідкових матеріалах НМТ.

• Позначити корені на числовій осі $Ox$: виколоті точки — для строгих нерівностей ($>$ або $<$), зафарбовані — для нестрогих ($\ge$ або $\le$).

• Провести уявну параболу: при $a>0$ вітки вгору, при $a<0$ вітки вниз.

• Заштрихувати на осі ті проміжки, де парабола лежить вище від $Ox$ (для $>0$) або нижче (для $<0$).

• Записати відповідь: один проміжок або об’єднання двох, з круглими чи квадратними дужками.

Приклад із додатним старшим коефіцієнтом

Розв’яжімо $x^2-x-6>0$. Маємо $a=1>0$. Знаходимо корені: $x^2-x-6=0\Rightarrow D=1+24=25$, $x_1=\frac{1-5}{2}=-2$, $x_2=\frac{1+5}{2}=3$. Вітки вгору. Нерівність $>0$ — беремо проміжки, де парабола над віссю. Відповідь: $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$. Для нестрогої нерівності $x^2-x-6\le 0$ корені входять у відповідь, тому $[-2;3]$.

Приклад із від’ємним старшим коефіцієнтом

Розв’яжімо $-x^2+2x+8\ge 0$. Найпростіший спосіб — домножити нерівність на $-1$ і змінити її знак на протилежний: $x^2-2x-8\le 0$. Корені $x^2-2x-8=0$: $x_1=-2$, $x_2=4$. $a=1>0$, нерівність $\le 0$ — проміжок між коренями з включенням меж. Відповідь: $[-2;4]$. Можна й не множити: при $a<0$ вітки вниз, $\ge 0$ означає «над віссю» — проміжок між коренями, той самий $[-2;4]$.

Для квадратної нерівності з додатним старшим коефіцієнтом ($a>0$) і двома різними коренями $x_1<x_2$ існує просте мнемонічне правило:

• $a{x}^2+bx+c<0\iff x_1<x<x_2$ — один проміжок між коренями;

• $a{x}^2+bx+c>0\iff x<x_1$ або $x>x_2$ — об’єднання двох крайніх проміжків.

Чому це так? Розкладімо тричлен на множники: $a(x-x_1)(x-x_2)$. Оскільки $a>0$, знак добутку $(x-x_1)(x-x_2)$ збігається зі знаком усього виразу. Добуток двох множників від’ємний тоді й лише тоді, коли множники мають різні знаки. Це можливо саме між коренями. Наприклад, $(x+2)(x-3)<0$: при $x=0$ маємо $(+2)\cdot (-3)=-6<0$, отже $-2<x<3$.

Перевірка пробним числом

Якщо сумніваєшся, який проміжок обрати, підстав у нерівність число з проміжку між коренями. Для $x^2-x-6>0$ візьми $x=0$: $0-0-6=-6>0$ — хибно. Отже, проміжок між коренями $(-2;3)$ не входить. Правильна відповідь — крайні проміжки $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.

Неповні квадратні нерівності $x^2\vee c$

Нерівність $x^2<c$ розв’язують без дискримінанта. Якщо $c\le 0$, розв’язків немає (квадрат не буває від’ємним). Якщо $c>0$, то $x^2<c\iff -\sqrt{c}<x<\sqrt{c}$. Наприклад, $x^2<9\iff -3<x<3$, тобто $(-3;3)$. Запис «$x<\pm 3$» — груба помилка: позначення $\pm 3$ не є числом і не може стояти в нерівності.

Для $x^2\ge 5$ маємо $x\le -\sqrt{5}$ або $x\ge \sqrt{5}$. Для $x^2>-4$ — усі дійсні числа, бо квадрат завжди більший за від’ємне число.

Нерівності вигляду $a{x}^2+bx$ (без вільного члена)

Розв’язуємо через розклад на множники. Наприклад, $3x^2-12x\le 0\iff 3x(x-4)\le 0$. Корені: $x=0$ і $x=4$. $a=3>0$, нерівність $\le 0$ — проміжок між коренями: $[0;4]$.

Ні в якому разі не діли $x^2>4x$ на $x$! Знак $x$ невідомий, тому ділення може змінити знак нерівності. Розкладай: $x^2-4x>0\iff x(x-4)>0$. $a=1>0$, нерівність $>0$ — два крайні проміжки: $(-\infty ;0)\cup (4;+\infty )$. Якби ти поділив на $x$, отримав би $x>4$ і втратив би всі від’ємні розв’язки.

Запам’ятай: на змінну в нерівності ніколи не ділимо — тільки розкладаємо на множники!

Досі ми розглядали випадок $D>0$, коли парабола перетинає вісь $Ox$ у двох точках. Але квадратний тричлен може мати дискримінант, що дорівнює нулю або від’ємний. Розв’язки нерівності в цих випадках відрізняються якісно.

Випадок $D<0$: парабола не перетинає вісь $Ox$

Коли $D<0$, квадратний тричлен не має дійсних коренів. Парабола цілком лежить або над віссю $Ox$ (якщо $a>0$), або під віссю $Ox$ (якщо $a<0$). Відповідь залежить від знака нерівності.

Розгляньмо $x^2+2x+5>0$. Обчислимо $D=4-20=-16<0$. $a=1>0$, тому парабола лежить над віссю $Ox$ при всіх $x$. Нерівність $>0$ виконується для всіх дійсних чисел: $(-\infty ;+\infty )$. А от $x^2+2x+5\le 0$ — розв’язків немає, бо жодна точка параболи не лежить на осі або нижче неї.

Якщо $a<0$ і $D<0$, ситуація протилежна. Наприклад, $-x^2+x-3<0$: $D=1-12=-11<0$, $a=-1<0$, парабола лежить під віссю $Ox$ при всіх $x$, тому нерівність $<0$ виконується для всіх $x$.

Випадок $D=0$: парабола дотикається до осі $Ox$

Коли $D=0$, квадратний тричлен має один корінь (кратності 2): $x_0=\frac{-b}{2a}$. Парабола дотикається до осі $Ox$ у точці $x_0$ й не перетинає її. Розгляньмо $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$.

• $(x-3{)}^2>0\iff x\ne 3$, тобто $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$ — усі числа, крім 3.

• $(x-3{)}^2\ge 0$ — усі дійсні числа $(-\infty ;+\infty )$, бо квадрат завжди невід’ємний.

• $(x-3{)}^2<0$ — розв’язків немає, квадрат не буває від’ємним.

• $(x-3{)}^2\le 0\iff x=3$ — лише одне число.

Зведена таблиця для $a>0$

У таблиці $\varnothing$ означає «розв’язків немає». Для $a<0$ спершу помнож нерівність на $-1$ і зміни її знак — тоді застосовуй цю таблицю.

При $D<0$ не пиши автоматично «розв’язків немає» — спочатку подивися на знак $a$ і знак нерівності! Якщо парабола вся над віссю, то $>0$ дає всі числа, а $<0$ — жодного.

У завданнях можуть питати не лише проміжок, а й кількість, суму або найменший цілий розв’язок квадратної нерівності. Розгляньмо різні ситуації.

Проміжок між коренями: скінченна кількість цілих розв’язків

Нехай $x^2-5x+4\le 0$. Знаходимо корені: $x^2-5x+4=0\Rightarrow x_1=1$, $x_2=4$. $a=1>0$, нерівність $\le 0$ — проміжок між коренями з включенням меж: $[1;4]$. Цілі числа з цього проміжку: 1, 2, 3, 4. Їхня кількість — 4, сума — $1+2+3+4=10$.

Якби нерівність була строгою $x^2-5x+4<0$, відповіддю був би проміжок $(1;4)$, і цілі розв’язки — лише 2 і 3. Їхня кількість — 2, сума — 5.

Скінченну кількість цілих розв’язків дає лише проміжок між коренями. Для двох крайніх проміжків цілих розв’язків нескінченно багато, тому там можуть питати найменший натуральний або найбільший від’ємний розв’язок.

Два крайні проміжки: найменший натуральний / найбільший від’ємний

Розв’яжімо $x^2-3x-10>0$. Корені: $x^2-3x-10=0\Rightarrow x_1=-2$, $x_2=5$. $a=1>0$, нерівність $>0$ — два крайні проміжки: $(-\infty ;-2)\cup (5;+\infty )$. Найменший натуральний розв’язок — 6 (бо 5 не входить, а 6 — перше натуральне число з проміжку $(5;+\infty )$). Найбільший цілий від’ємний розв’язок — $-3$ (бо $-2$ не входить, а $-3$ — найбільше від’ємне ціле з проміжку $(-\infty ;-2)$).

Ірраціональні корені: оцінюємо наближено

Розв’яжімо $x^2-2x-4<0$. $D=4+16=20$, корені $x=\frac{2\pm \sqrt{20}}{2}=1\pm \sqrt{5}$. $\sqrt{5}\approx 2,236$, тому $x_1\approx 1-2,236=-1,236$, $x_2\approx 1+2,236=3,236$. Проміжок: $(-1,236;3,236)$. Цілі розв’язки: $-1$, 0, 1, 2, 3 — п’ять чисел. Сума: $-1+0+1+2+3=5$.

Квадратна нерівність як крок іншої задачі

Квадратна нерівність часто є частиною складнішого завдання. Наприклад, вираз $\sqrt{6+x-x^2}$ має зміст, коли підкореневий вираз невід’ємний: $6+x-x^2\ge 0$. Домножимо на $-1$: $x^2-x-6\le 0$. Корені $x^2-x-6=0$: $x_1=-2$, $x_2=3$. Відповідь: $x\in [-2;3]$. Саме так квадратна нерівність визначає область допустимих значень.

Розберімо чотири типові завдання, які можуть зустрітися на НМТ. Кожне розв’яжемо покроково й пояснимо, чому інші варіанти неправильні.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність $x^2+3x-10<0$

Це завдання з вибором однієї відповіді з п’яти (А–Д).

Крок 1. Знайдемо корені квадратного тричлена $x^2+3x-10=0$. За теоремою Вієта: $x_1+x_2=-3$, $x_1\cdot x_2=-10$, звідки $x_1=-5$, $x_2=2$. Розклад: $(x+5)(x-2)<0$.

Крок 2. $a=1>0$, тому вітки параболи вгору. Нерівність $<0$ — проміжок між коренями, де парабола нижче від осі $Ox$.

Крок 3. Оскільки нерівність строга, корені не входять у відповідь. Відповідь: $(-5;2)$.

Чому інші варіанти неправильні?

• $(-\infty ;-5)\cup (2;+\infty )$ — узяли крайні проміжки замість проміжку між коренями (плутанина зі знаком $>$).

• $(-2;5)$ — помилка в знаках коренів: корені $-5$ і $2$, а не $-2$ і $5$.

• $[-5;2]$ — квадратні дужки при строгому знаку $<$: корені не входять.

• $(2;+\infty )$ — узяли лише один із двох крайніх проміжків, ігноруючи ліву частину.

Приклад 2. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності $2x^2-7x-4\le 0$

Це завдання з короткою відповіддю — число, записане десятковим дробом.

Крок 1. Обчислимо дискримінант: $D=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81$. Корені: $x=\frac{7\pm 9}{4}$, $x_1=\frac{7-9}{4}=-0,5$, $x_2=\frac{7+9}{4}=4$.

Крок 2. $a=2>0$, нерівність $\le 0$ — проміжок між коренями з включенням меж: $[-0,5;4]$.

Крок 3. Цілі числа з цього проміжку: 0, 1, 2, 3, 4. Їхня кількість — 5.

Типові пастки

• Відповідь 6 — помилка: округлили $-0,5$ до $-1$ і додали його, хоча $-1$ не входить у проміжок $[-0,5;4]$.

• Відповідь 4 — помилка: пропустили межу 4, вважаючи, що $4$ не входить, хоча нерівність нестрога ($\le$).

Приклад 3. Укажіть нерівність, яка виконується при всіх дійсних значеннях $x$

Завдання з вибором однієї відповіді з п’яти. Потрібно знайти нерівність, чиїм розв’язком є $(-\infty ;+\infty )$.

Ключ: $x^2-4x+5>0$. Обчислимо $D=16-20=-4<0$. $a=1>0$, тому парабола лежить над віссю $Ox$ при всіх $x$. Отже, нерівність $>0$ виконується для всіх дійсних $x$.

Чому інші варіанти неправильні?

• $x^2-4x+4>0$ — це $(x-2{)}^2>0$, що хибно при $x=2$.

• $x^2-4>0$ — має корені $-2$ і $2$, не виконується на проміжку $(-2;2)$.

• $-x^2+4x-5>0$ — $D=16-20=-4<0$, але $a=-1<0$, тому парабола вся під віссю, і нерівність $>0$ не має розв’язків.

• $x^2-4x-5<0$ — має корені $-1$ і $5$, виконується лише на проміжку $(-1;5)$.

Приклад 4. Знайдіть суму цілих розв’язків нерівності $12+x-x^2>0$

Завдання з короткою відповіддю.

Крок 1. Старший коефіцієнт від’ємний ($a=-1$). Домножимо нерівність на $-1$ і змінимо знак: $x^2-x-12<0$.

Крок 2. Корені $x^2-x-12=0$: $x_1=-3$, $x_2=4$. $a=1>0$, нерівність $<0$ — проміжок між коренями: $(-3;4)$.

Крок 3. Цілі числа з цього проміжку: $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3. Сума: $-2-1+0+1+2+3=3$.

Типові пастки

• Відповідь 4 — помилка: включили межі $-3$ і $4$, хоча нерівність строга ($>$), тому корені не входять.

• Відповідь «нескінченно багато» — помилка: не змінили знак нерівності після множення на $-1$, отримали $x^2-x-12>0$ і два крайні проміжки з нескінченною кількістю цілих розв’язків.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв’язування квадратних нерівностей. Уникай їх — і твоя відповідь буде правильною.

• Для $a{x}^2+bx+c>0$ при $a>0$ записують проміжок між коренями, хоча потрібні два крайні. Наприклад, $x^2-x-6>0$ дає $(-2;3)$ замість $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$. Запам’ятай: «більше» — це «зовні», «менше» — це «всередині».

• Множать нерівність на $-1$ і забувають змінити її знак — або змінюють і знак, і напрям віток, отримуючи «подвійну» зміну. Роби так: помножив на $-1$ — обов’язково переверни знак нерівності, а далі працюй з новим $a>0$.

• Ділять $x^2>4x$ на $x$ і отримують $x>4$, втрачаючи всі від’ємні розв’язки. Ніколи не діли нерівність на змінну — завжди розкладай на множники.

• З $x^2<9$ пишуть $x<\pm 3$ або $x<3$ замість $-3<x<3$. Запис «$x<\pm 3$» безглуздий: $\pm 3$ — не число. З $x^2>9$ пишуть $x>\pm 3$ — це те саме, що $x>3$ і $x>-3$, тобто лише $x>3$, втрачаючи $x<-3$.

• При $D<0$ автоматично пишуть «розв’язків немає», не дивлячись на знак $a$ і знак нерівності. Наприклад, $x^2+2x+5>0$ має $D<0$, але відповідь — усі числа, а не «немає».

• Вважають $(x-3{)}^2>0$ правильною для всіх $x$, забуваючи виключити $x=3$. Квадрат дорівнює нулю при $x=3$, тому строга нерівність там не виконується.

• Ставлять квадратні дужки біля коренів у строгій нерівності чи біля нескінченності. Нескінченність завжди з круглою дужкою: $(-\infty ;a)$, ніколи $[-\infty ;a)$.

Розв’язувати нерівності першого та другого степенів — вимога рівня стандарту теми 2.1 програми НМТ з математики. У демоваріанті НМТ-2026 розділ «Рівняння, нерівності та їх системи» містить 4 завдання з 22 (№ 4, 11, 13, 22).

Завдання з вибором однієї відповіді з п’яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал) пропонують варіанти-проміжки, які відрізняються вибором «між коренями / зовні» й типом дужок. У демоваріанті 2026 завдання № 6 перевіряє знак квадратичної функції за ескізом графіка — це та сама навичка читання параболи, що й у квадратних нерівностях.

Завдання з короткою відповіддю (завдання 19–22, 0 або 2 бали без часткових) можуть питати кількість чи суму цілих розв’язків. Відповідь — лише число, записане десятковим дробом.

У довідкових матеріалах НМТ є дискримінант, формула коренів і розклад квадратного тричлена на множники, але правила вибору проміжків там немає. Тому стратегія така: зроби ескіз параболи в чернетці, познач корені, визнач напрям віток, заштрихуй потрібні ділянки — і запиши відповідь. Для перевірки підстав одне число з відповіді та одне число поза нею: перше має задовольняти нерівність, а друге — ні.

Пам’ятай: ескіз параболи — твій головний інструмент. Він займає 10 секунд у чернетці й гарантує правильний вибір проміжків.

• Спершу всі доданки ліворуч і корені тричлена, потім ескіз параболи за знаком $a$.

• $a>0$: «$<0$» — між коренями, «$>0$» — два крайні проміжки, об’єднані знаком $\cup$.

• $a<0$ — помнож нерівність на $-1$ і зміни її знак.

• $D<0$ — «усі числа» або «розв’язків немає»; $D=0$ — «усі, крім $x_0$», «лише $x_0$», «усі» чи «жодного».

• На змінну не ділимо: $x^2>4x\iff x(x-4)>0$.

• Цілі розв’язки виписуй явно, ірраціональні межі оцінюй наближено.