Корені й коефіцієнти квадратного рівняння: теорема Вієта як прийом

Квадратне рівняння, у якого перший коефіцієнт дорівнює 1, називають зведеним. Його записують у вигляді:

$$x^2+px+q=0$$

Тут $p$ і $q$ — деякі числа. Будь-яке повне квадратне рівняння $a{x}^2+bx+c=0$ можна зробити зведеним, поділивши обидві частини на $a$ (за умови $a\ne 0$).

Формулювання теореми Вієта

Нехай зведене квадратне рівняння $x^2+px+q=0$ має дійсні корені $x_1$ і $x_2$ (тобто його дискримінант $D=p^2-4q\ge 0$). Тоді:

$$x_1+x_2=-p,x_1\cdot x_2=q$$

Це і є теорема Вієта, названа на честь французького математика Франсуа Вієта (XVI ст.). Вона встановлює простий зв'язок між коренями квадратного рівняння та його коефіцієнтами.

Чому це так?

Корені зведеного рівняння знаходять за формулою:

$$x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{D}}{2},D=p^2-4q$$

Додамо корені:

$$x_1+x_2=\frac{-p+\sqrt{D}}{2}+\frac{-p-\sqrt{D}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p$$

Перемножимо корені (скористаємося формулою різниці квадратів):

$$x_1\cdot x_2=\frac{(-p+\sqrt{D})(-p-\sqrt{D})}{4}=\frac{p^2-D}{4}=\frac{p^2-(p^2-4q)}{4}=\frac{4q}{4}=q$$

Отже, сума коренів дорівнює $-p$, а добуток — $q$. Це випливає безпосередньо з формули коренів — ніякої магії.

Теорема Вієта для загального рівняння

Якщо квадратне рівняння має вигляд $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) і $D\ge 0$, то спершу ділимо обидві частини на $a$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Тоді $p=b/a$, $q=c/a$, і за теоремою Вієта:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Розгляньмо приклад: $2x^2-7x+3=0$. Тут $a=2$, $b=-7$, $c=3$. Дискримінант $D=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25>0$ — корені існують. Сума коренів: $-b/a=7/2=3,5$. Добуток коренів: $c/a=3/2=1,5$. Справді, корені цього рівняння — $3$ і $0,5$, і $3+0,5=3,5$, $3\cdot 0,5=1,5$.

Обов'язкова умова: дискримінант невід'ємний

Теорема Вієта працює лише тоді, коли рівняння має дійсні корені. Якщо $D<0$, дійсних коренів немає, і говорити про їхню суму чи добуток безглуздо.

Наприклад, для $x^2+2x+5=0$ маємо $D=2^2-4\cdot 5=4-20=-16<0$. Хоча формально $-p=-2$ і $q=5$, ці числа не є сумою й добутком коренів, бо коренів (дійсних) просто не існує.

Коли $D=0$, рівняння має один корінь (два збіжні): $x_1=x_2=-p/2$. Теорема Вієта теж працює: $x_1+x_2=2\cdot (-p/2)=-p$, $x_1\cdot x_2=(-p/2{)}^2=p^2/4=q$ (бо при $D=0$ маємо $p^2=4q$).

Теорема Вієта на НМТ

У довідкових матеріалах НМТ є формула дискримінанта та коренів квадратного рівняння, але теореми Вієта там немає. Її потрібно знати напам'ять. Програма НМТ (тема 2.1) вимагає «аналізувати й досліджувати рівняння … залежно від коефіцієнтів», і теорема Вієта — це прийом, який дає змогу робити це швидко, без обчислення коренів.

Теорема Вієта працює в обидва боки. Якщо для двох чисел $m$ і $n$ виконуються умови $m+n=-p$ і $m\cdot n=q$, то ці числа є коренями рівняння $x^2+px+q=0$. Це твердження називають оберненою теоремою Вієта.

Усний підбір коренів

Найчастіше обернену теорему використовують для того, щоб усно знайти корені зведеного квадратного рівняння, коли вони цілі.

Розгляньмо $x^2-7x+10=0$. Тут $p=-7$, $q=10$. За теоремою Вієта:

$$x_1+x_2=-(-7)=7,x_1\cdot x_2=10$$

Шукаємо пару чисел, добуток яких дорівнює 10, а сума — 7. Перебираємо пари множників числа 10: $1\cdot 10$ (сума 11 — не підходить), $2\cdot 5$ (сума 7 — підходить). Отже, корені: $2$ і $5$.

Перевірка: $2^2-7\cdot 2+10=4-14+10=0$, $5^2-7\cdot 5+10=25-35+10=0$.

Від'ємний добуток — корені різних знаків

Якщо $q<0$, то добуток коренів від'ємний, а отже, корені мають різні знаки. Це звужує пошук.

Приклад: $x^2+2x-15=0$. Тут $p=2$, $q=-15$. Маємо:

$$x_1+x_2=-2,x_1\cdot x_2=-15$$

Добуток від'ємний — корені різних знаків. Пари множників числа 15: $1\cdot 15$, $3\cdot 5$. Один з коренів від'ємний. Підбираємо: $3$ і $-5$ дають добуток $-15$ і суму $-2$. Отже, корені: $3$ і $-5$.

Складання рівняння за коренями

Обернена теорема дає змогу скласти зведене квадратне рівняння, якщо відомі його корені. Нехай корені дорівнюють $m$ і $n$. Тоді:

$$x^2-(m+n)x+mn=0$$

Зверни увагу на знак «мінус» перед сумою коренів! Це часта пастка.

Приклад: корені дорівнюють $-2$ і $6$. Сума: $-2+6=4$. Добуток: $(-2)\cdot 6=-12$. Рівняння:

$$x^2-4x-12=0$$

Перевірка: $(-2{)}^2-4\cdot (-2)-12=4+8-12=0$, $6^2-4\cdot 6-12=36-24-12=0$.

Відомий один корінь — знаходимо другий і коефіцієнт

Якщо відомий один корінь зведеного рівняння, другий корінь знаходимо з добутку, а потім — невідомий коефіцієнт із суми.

Приклад: у рівнянні $x^2+px-12=0$ один корінь $x_1=3$. Знайдемо $x_2$ і $p$.

За теоремою Вієта: $x_1\cdot x_2=-12\Rightarrow 3\cdot x_2=-12\Rightarrow x_2=-4$.

Сума коренів: $x_1+x_2=3+(-4)=-1$. Але $x_1+x_2=-p$, отже $-p=-1\Rightarrow p=1$.

Перевірка: $3^2+1\cdot 3-12=9+3-12=0$, $(-4{)}^2+1\cdot (-4)-12=16-4-12=0$.

Окремі випадки: сума коефіцієнтів

Для рівняння $a{x}^2+bx+c=0$:

• Якщо $a+b+c=0$, то $x_1=1$, $x_2=c/a$.

• Якщо $a-b+c=0$, то $x_1=-1$, $x_2=-c/a$.

Приклад: $5x^2-3x-2=0$. Перевіряємо: $5+(-3)+(-2)=0$. Отже, $x_1=1$, $x_2=c/a=-2/5=-0,4$.

Перевірка: $5\cdot 1^2-3\cdot 1-2=0$, $5\cdot (-0,4{)}^2-3\cdot (-0,4)-2=5\cdot 0,16+1,2-2=0,8+1,2-2=0$.

Ці випадки варто пам'ятати — вони економлять час на НМТ.

Теорема Вієта дає змогу визначити знаки коренів квадратного рівняння, навіть не обчислюючи їх. Для цього достатньо проаналізувати знаки добутку та суми коренів.

Правило визначення знаків

Розгляньмо зведене рівняння $x^2+px+q=0$ з $D\ge 0$.

Чому це працює

Добуток коренів $x_1\cdot x_2=q$:

• Якщо $q<0$, добуток від'ємний — корені мають різні знаки. При цьому $D=p^2-4q>0$ автоматично, бо $-4q>0$, тому дійсні корені існують завжди.

• Якщо $q>0$, добуток додатний — корені одного знака. Який саме — показує сума.

• Якщо $q=0$, то $x_1\cdot x_2=0$, отже, принаймні один корінь дорівнює 0.

Сума коренів $x_1+x_2=-p$:

• Якщо $-p>0$ (тобто $p<0$), сума додатна — при $q>0$ обидва корені додатні.

• Якщо $-p<0$ (тобто $p>0$), сума від'ємна — при $q>0$ обидва корені від'ємні.

• Якщо корені різних знаків ($q<0$), то знак суми збігається зі знаком кореня, більшого за модулем.

Розбір прикладів

Рівняння $x^2-9x+14=0$: $q=14>0$, $-p=9>0$. Дискримінант $D=81-56=25>0$. Висновок: обидва корені додатні. Справді, корені — $2$ і $7$.

Рівняння $x^2+6x+8=0$: $q=8>0$, $-p=-6<0$. $D=36-32=4>0$. Висновок: обидва корені від'ємні. Корені: $-2$ і $-4$.

Рівняння $x^2+3x-10=0$: $q=-10<0$. $D=9+40=49>0$. Висновок: корені різних знаків. Сума $-p=-3<0$, тому від'ємний корінь більший за модулем. Корені: $2$ і $-5$.

Важлива пастка

Не забувай перевіряти дискримінант! Рівняння $x^2-3x+14=0$ має $q=14>0$ і $-p=3>0$ — здавалося б, обидва корені додатні. Але $D=9-56=-47<0$ — дійсних коренів немає взагалі. Висновок про знаки коренів має сенс лише тоді, коли корені існують.

Для загального рівняння $a{x}^2+bx+c=0$ аналіз такий самий, але замість $q$ беремо $c/a$, а замість $-p$ — $-b/a$.

Симетричним виразом від коренів $x_1$ і $x_2$ називають вираз, значення якого не змінюється, якщо поміняти корені місцями. Наприклад, $x_1^2+x_2^2$, $1/x_1+1/x_2$, $x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2$ — симетричні, а $x_1-x_2$ — ні (змінює знак).

Головна ідея: будь-який симетричний вираз можна виразити через суму $S=x_1+x_2$ та добуток $P=x_1{x}_2$ коренів, не обчислюючи самі корені. Це надзвичайно корисно на НМТ.

Основні формули

Як отримують ці формули

Сума квадратів:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=S^2-2P$$

Це випливає з формули квадрата суми: $(x_1+x_2{)}^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$. Звідси $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$.

Сума обернених величин:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{S}{P}$$

Квадрат різниці:

$$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=S^2-4P$$

Для зведеного рівняння $x^2+px+q=0$ маємо $S=-p$, $P=q$, тому $(x_1-x_2{)}^2=p^2-4q=D$. А отже, $|x_1-x_2|=\sqrt{D}$ — відстань між коренями. Для загального рівняння $|x_1-x_2|=\sqrt{D}/|a|$.

Повний розбір прикладу

Нехай $x^2-3x-5=0$. Спершу перевіримо дискримінант: $D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=9+20=29>0$ — корені існують. За теоремою Вієта: $S=3$, $P=-5$.

• $x_1^2+x_2^2=3^2-2\cdot (-5)=9+10=19$

• $1/x_1+1/x_2=3/(-5)=-0,6$

• $x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2=(-5)\cdot 3=-15$

• $(x_1-x_2{)}^2=3^2-4\cdot (-5)=9+20=29$

• $|x_1-x_2|=\sqrt{29}$

Застосування в задачах з параметром

У завданнях 22 НМТ (профільний рівень) можуть траплятися квадратні рівняння з параметром. Наприклад: «При якому значенні параметра $a$ сума квадратів коренів рівняння $x^2+(a-1)x+a=0$ дорівнює 6?».

Без теореми Вієта таку задачу розв'язувати значно довше — довелося б знаходити корені через дискримінант (який теж містить параметр), а потім підносити їх до квадрата. Натомість записуємо $S=-(a-1)=1-a$, $P=a$, і виражаємо $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=(1-a{)}^2-2a=a^2-4a+1$. Прирівнюємо до 6: $a^2-4a-5=0$, звідки $a=5$ або $a=-1$. Тепер обов'язково перевіряємо, чи існують корені: $D=(a-1{)}^2-4a=a^2-6a+1$. При $a=5$ маємо $D=-4<0$ — коренів немає, тому відповідь: $a=-1$ (тоді $D=8>0$).

Розгляньмо п'ять типових завдань НМТ на теорему Вієта. Кожне розв'яжемо покроково.

Приклад 1. Сума квадратів коренів

Завдання: Знайдіть суму квадратів коренів рівняння $x^2-5x-3=0$.

Розв'язання:

1. Перевіряємо дискримінант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=25+12=37>0$ — корені існують.

2. За теоремою Вієта: $S=x_1+x_2=-(-5)=5$, $P=x_1\cdot x_2=-3$.

3. Сума квадратів: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=5^2-2\cdot (-3)=25+6=31$.

Відповідь: 31.

Чому інші відповіді неправильні:

• 19 — якщо взяти добуток $3$ замість $-3$: $25-6=19$.

• 25 — якщо зупинитися на $S^2=25$, забувши відняти $2P$.

Приклад 2. Складання рівняння за коренями

Завдання: Укажіть рівняння, корені якого дорівнюють $-2$ і $6$.

Розв'язання:

1. Сума коренів: $-2+6=4$.

2. Добуток коренів: $(-2)\cdot 6=-12$.

3. Зведене квадратне рівняння: $x^2-(\text{сума})x+\text{добуток}=0$, тобто $x^2-4x-12=0$.

Відповідь: $x^2-4x-12=0$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $x^2+4x-12=0$ — не змінили знак суми (має бути $-4x$, а не $+4x$).

• $x^2-4x+12=0$ — неправильний знак добутку ($+12$ замість $-12$).

• $x^2+4x+12=0$ — обидва знаки неправильні.

• $x^2-12x-4=0$ — переставили суму й добуток місцями.

Приклад 3. Визначення знаків коренів

Завдання: Яке з рівнянь має два додатні корені?

Розв'язання: Аналізуємо кожне рівняння за схемою: перевіряємо $D\ge 0$, потім знаки $q$ і $-p$.

• $x^2-9x+14=0$: $D=81-56=25>0$, $q=14>0$, $-p=9>0$ — обидва додатні. Це ключ.

• $x^2+9x+14=0$: $D=81-56=25>0$, $q=14>0$, $-p=-9<0$ — обидва від'ємні.

• $x^2-9x-14=0$: $q=-14<0$ — корені різних знаків.

• $x^2+5x-14=0$: $q=-14<0$ — корені різних знаків.

• $x^2-3x+14=0$: $D=9-56=-47<0$ — дійсних коренів немає.

Відповідь: $x^2-9x+14=0$.

Приклад 4. Відомий один корінь

Завдання: Число $-2$ є коренем рівняння $x^2+px+10=0$. Знайдіть $p$.

Розв'язання:

1. За теоремою Вієта: $x_1\cdot x_2=10$. Оскільки $x_1=-2$, то $-2\cdot x_2=10\Rightarrow x_2=-5$.

2. Сума коренів: $x_1+x_2=-2+(-5)=-7$. Але $x_1+x_2=-p$, тому $-p=-7\Rightarrow p=7$.

3. Перевірка: підставимо $x=-2$ в рівняння $x^2+7x+10=0$: $4-14+10=0$. Правильно.

Відповідь: 7.

Типова пастка: отримати $-7$ — якщо забути, що $x_1+x_2=-p$, і записати $p=-7$.

Приклад 5. Пастка з дискримінантом

Завдання: Сума коренів рівняння $x^2-4x+7=0$ дорівнює…

Розв'язання:

1. Обчислюємо дискримінант: $D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 7=16-28=-12<0$.

2. Оскільки $D<0$, рівняння не має дійсних коренів.

3. Отже, говорити про суму коренів не можна — правильна відповідь: «рівняння не має дійсних коренів».

Відповідь: рівняння не має дійсних коренів.

Чому 4 — пастка: за теоремою Вієта $x_1+x_2=-(-4)=4$, але теорему застосували без перевірки $D\ge 0$.

Зібрали найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ під час роботи з теоремою Вієта. Кожну розберімо та запам'ятаймо, як правильно.

• Застосовують теорему Вієта без перевірки дискримінанта. Наприклад, для $x^2-4x+7=0$ пишуть «сума коренів дорівнює 4», хоча $D=-12<0$ і дійсних коренів немає. Правило: спершу перевір $D\ge 0$, потім застосовуй теорему.

• Плутають знак суми коренів. Запам'ятай: $x_1+x_2=-p$, а не $p$. Для $x^2-7x+10=0$ сума коренів $=-(-7)=7$, а не $-7$.

• Забувають ділити на $a$ для незведених рівнянь. Для $2x^2-7x+3=0$ сума коренів $=-(-7)/2=3,5$, а не $7$. Добуток $=3/2=1,5$, а не $3$.

• Вважають $x_1^2+x_2^2$ рівним $(x_1+x_2{)}^2$. Правильна формула: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$. Пропуск $-2x_1{x}_2$ — одна з найчастіших помилок.

• Роблять висновок «добуток додатний — обидва корені додатні», не глянувши на знак суми. Якщо $q>0$, корені одного знака, але якого саме — показує $-p$. Приклад: $x^2+6x+8=0$ має $q=8>0$, але корені від'ємні ($-2$ і $-4$), бо $-p=-6<0$.

• За коренями $-2$ і $6$ складають $x^2+4x-12=0$, не змінивши знак суми. Правильно: $x^2-4x-12=0$ (сума коренів $=4$, тому в рівнянні має бути $-4x$).

Програма НМТ з математики (тема 2.1) вимагає вміння «аналізувати й досліджувати рівняння … залежно від коефіцієнтів» на рівні стандарту. Теорема Вієта — це прийом, який дає змогу це робити; окремим пунктом програми вона не винесена.

У довідкових матеріалах НМТ, які видають на тестуванні, є формула дискримінанта $D=b^2-4ac$ і формула коренів $x=(-b\pm \sqrt{D})/(2a)$. Теореми Вієта в довідці немає — її потрібно знати напам'ять.

Формати завдань

• Вибір однієї відповіді з п'яти (0 або 1 бал) — завдання 1–15. Наприклад: «Укажіть рівняння, корені якого дорівнюють …» або «Яке з рівнянь має два додатні корені?».

• Коротка відповідь — число (0 або 2 бали) — завдання 19–22. Наприклад: «Знайдіть суму квадратів коренів рівняння …». Відповідь записують десятковим дробом, якщо це не ціле число: наприклад, $-0,6$.

Зв'язок із завданнями 22 (профільний рівень)

У вибірці реальних тестів 2023–2024 років серед рівнянь з параметром у завданні 22 трапляються квадратні рівняння. Зв'язок коренів і коефіцієнтів — основа для розв'язування таких задач. Наприклад, умова «сума квадратів коренів дорівнює 6» одразу перекладається мовою теореми Вієта.

Стратегія для НМТ

Корені, знайдені за формулою через дискримінант, завжди перевіряй сумою й добутком — це швидше, ніж підставляти їх у рівняння. Наприклад, знайшов корені $3$ і $0,5$ для $2x^2-7x+3=0$ — перевір: $3+0,5=3,5=-(-7)/2$, $3\cdot 0,5=1,5=3/2$. Якщо збігається — корені знайдено правильно.

• Для зведеного рівняння $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p$, $x_1\cdot x_2=q$.

• Для загального рівняння $a{x}^2+bx+c=0$: $x_1+x_2=-b/a$, $x_1\cdot x_2=c/a$.

• Спершу перевір $D\ge 0$ — інакше теорема Вієта не діє.

• Якщо $q<0$ — корені різних знаків. Якщо $q>0$ — корені одного знака, того самого, що й $-p$.

• Сума квадратів коренів: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$.

• За коренями $m$ і $n$ складаємо рівняння: $x^2-(m+n)x+mn=0$.

• Теореми Вієта немає в довідкових матеріалах НМТ — вивчи напам'ять.