Графіки тригонометричних функцій

Функція синуса — це перша тригонометрична функція, з якої починають вивчення графіків. Запам'ятай: вона визначена для будь-якого дійсного числа, її графік — плавна хвиля, яка невпинно повторюється.

Область визначення, область значень і період

Область визначення функції y = sin x — уся числова пряма: D = (−∞; +∞). Синус існує для будь-якого кута. Область значень — проміжок від −1 до 1 включно: E = [−1; 1]. Це означає, що значення синуса ніколи не виходять за межі цього відрізка.

Найменший додатний період синуса дорівнює 2π: для будь-якого x справджується рівність sin(x + 2π) = sin x. Через кожні 2π графік повністю повторюється.

Ключові точки й форма графіка

На проміжку [0; 2π] синусоїда проходить через п'ять опорних точок:

Отже, ключові точки: (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1), (2π; 0). Графік починається з нуля, піднімається до одиниці, повертається до нуля, опускається до мінус одиниці й знову повертається до нуля. Далі ця форма повторюється праворуч і ліворуч.

Нулі, найбільше й найменше значення

Нулі функції — точки, у яких графік перетинає вісь Ox:

x = πn, n ∈ Z (тобто …, −2π, −π, 0, π, 2π, …).

Найбільше значення y = 1 синус досягає в точках x = π/2 + 2πn, найменше y = −1 — у точках x = −π/2 + 2πn (або, що те саме, x = 3π/2 + 2πn).

Парність і монотонність

Синус — непарна функція: sin(−x) = −sin x. Це означає, що графік симетричний відносно початку координат (0; 0): ліва частина є дзеркальним відображенням правої, але перевернутим.

Синус зростає на проміжку [−π/2; π/2] і спадає на проміжку [π/2; 3π/2]. Ці проміжки повторюються через 2π.

Косинус дуже схожий на синус, але зсунутий ліворуч на чверть періоду. Його графік називають косинусоїдою.

Область визначення, область значень і період

Як і для синуса, D = (−∞; +∞) і E = [−1; 1]. Найменший додатний період — 2π: cos(x + 2π) = cos x. Косинусоїда — це фактично синусоїда, зсунута ліворуч на π/2: cos x = sin(x + π/2).

Ключові точки

На проміжку [0; 2π] косинусоїда проходить через такі точки:

Ключові точки: (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1). Зверни увагу: на відміну від синуса, косинусоїда починається з одиниці, а не з нуля.

Нулі, найбільше й найменше значення

Нулі косинуса:

x = π/2 + πn, n ∈ Z (тобто …, −π/2, π/2, 3π/2, …).

Найбільше значення y = 1 косинус має при x = 2πn (…, −2π, 0, 2π, …), найменше y = −1 — при x = π + 2πn (…, −π, π, 3π, …).

Парність: ключова відмінність від синуса

Косинус — парна функція: cos(−x) = cos x. Його графік симетричний відносно осі Oy. Це головна ознака, за якою косинусоїду відрізняють від синусоїди.

Запам'ятай зорові підказки:

• синусоїда проходить через (0; 0) — початок координат;

• косинусоїда проходить через (0; 1).

Тангенс різко відрізняється від синуса й косинуса: він не визначений у точках x = π/2 + πn, n ∈ Z, не має найбільшого чи найменшого значення, а його графік складається з окремих гілок.

Область визначення

Оскільки tg x = sin x / cos x, то функція не визначена там, де знаменник дорівнює нулю, тобто де cos x = 0. Це точки x = π/2 + πn (n ∈ Z). Отже,

D: x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.

В області визначення не входять точки …, −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2, …. У цих точках графік має вертикальні асимптоти — прямі, до яких гілки необмежено наближаються, але ніколи їх не перетинають.

Область значень і період

На відміну від синуса й косинуса, тангенс може набувати будь-якого дійсного значення:

E = (−∞; +∞).

Найменший додатний період тангенса — π, а не 2π: tg(x + π) = tg x. Це тому, що чисельник і знаменник одночасно змінюють знак, і відношення залишається тим самим.

Ключові точки й форма графіка

Тангенсоїда складається з окремих однакових гілок. У межах одного періоду, наприклад на (−π/2; π/2), графік проходить через точки:

Біля лівої межі x → −π/2⁺ гілка спадає до −∞, біля правої межі x → π/2⁻ піднімається до +∞. Кожна наступна гілка виглядає так само, зсунута на π праворуч чи ліворуч.

Нулі, парність і монотонність

Нулі тангенса збігаються з нулями синуса:

x = πn, n ∈ Z.

Тангенс — непарна функція: tg(−x) = −tg x. Графік симетричний відносно початку координат.

На кожному проміжку вигляду (−π/2 + πn; π/2 + πn) тангенс зростає. Важливо: він зростає на кожному такому проміжку окремо, але не на всій області визначення — між гілками є розриви.

У завданнях трапляються не лише sin x чи cos x, а й функції виду y = A sin(kx) + B або y = A cos(kx) + B, графіки яких отримують перетвореннями синусоїди чи косинусоїди. Тут A — амплітуда (розмах коливань), k змінює період, а B зсуває графік угору чи вниз.

Область значень: формула B − |A| ≤ y ≤ B + |A|

Оскільки sin(kx) і cos(kx) завжди лежать у межах [−1; 1], то після множення на A і додавання B отримуємо:

E = [B − |A|; B + |A|].

Тобто найменше значення дорівнює B − |A|, найбільше — B + |A|. Знак A впливає лише на те, у якому напрямі спершу йде графік, але не на межі проміжку — ми завжди беремо модуль.

Приклади

• y = 3 cos x − 1: |A| = 3, B = −1 → E = [−1 − 3; −1 + 3] = [−4; 2]

• y = −2 sin x: |A| = 2, B = 0 → E = [−2; 2]

• y = 5 − 2 sin x: A = −2, B = 5 → E = [5 − 2; 5 + 2] = [3; 7]

Період: формули 2π/|k| і π/|k|

Коефіцієнт k стискає або розтягує графік уздовж осі Ox:

Важливо: множник A і доданок B НЕ впливають на період. Наприклад, y = 3 sin 2x − 1 має той самий період π, що й y = sin 2x.

Читання параметрів за графіком

Якщо на НМТ дано графік функції виду y = A sin(kx) + B або y = A cos(kx) + B, параметри знаходять так:

• амплітуда: |A| = (максимум − мінімум) / 2;

• середня лінія: B = (максимум + мінімум) / 2;

• період: відстань між двома сусідніми максимумами (або мінімумами, або точками, де графік перетинає середню лінію в одному напрямі).

Профільний рівень — загальні відомості

Дослідження функції на періодичність і загальні властивості періодичних функцій програма відносить до профільного рівня. Для більшості завдань достатньо знати періоди основних тригонометричних функцій і наведені формули 2π/|k| та π/|k|. Утім, НМТ рівнів не розрізняє, тож такі завдання не виключені.

Розгляньмо чотири типові задачі, які можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Область значень функції y = 4 − 3 cos x

Завдання. Знайдіть область значень функції y = 4 − 3 cos x.

Розв'язання. Маємо формулу y = B − A cos x, де A = 3, B = 4 (тут B — це вільний член, а A = 3 є додатним, тому |A| = 3). Область значень: [B − |A|; B + |A|] = [4 − 3; 4 + 3] = [1; 7].

Відповідь: [1; 7].

Чому неправильні інші варіанти:

• [−3; 3] — забули додати доданок 4, узяли лише множник −3 cos x;

• [−1; 1] — узяли область значень голого косинуса;

• [4; 7] — неправильно визначили нижню межу: 4 − 3 = 1, а не 4;

• [−7; −1] — переплутали знаки, відняли 4 від амплітуди.

Приклад 2. Найменший додатний період y = cos(x/3)

Завдання. Знайдіть найменший додатний період функції y = cos(x/3).

Розв'язання. Запишемо cos(x/3) = cos((1/3)·x), отже k = 1/3. Період косинуса з коефіцієнтом k дорівнює 2π/|k| = 2π / (1/3) = 2π · 3 = 6π.

Відповідь: 6π.

Чому неправильні інші варіанти:

• 2π/3 — поділили 2π на 3 замість помножити на 3 (тобто взяли k = 3, а не 1/3);

• 3π — переплутали формулу з тангенсом: π/|k| = π : (1/3) = 3π;

• 2π — забули врахувати коефіцієнт k;

• π/3 — узяли k = 3 замість 1/3 і ще й формулу тангенса π/k.

Приклад 3. Логічні пари: функції та їхні властивості

Завдання. Установіть відповідність між функцією (1–3) та її властивістю (А–Д).

1) y = sin x 2) y = cos x 3) y = tg x

А) функція парна; Б) не визначена в точці x = π/2; В) нулі x = πn і E = [−1; 1]; Г) період π і E = [−1; 1]; Д) найбільше значення дорівнює 2.

Розв'язання. Зіставляємо за вивченими властивостями:

• 1) y = sin x — нулі πn, область значень [−1; 1]. Це варіант В.

• 2) y = cos x — парна функція. Це варіант А.

• 3) y = tg x — не визначена в x = π/2. Це варіант Б.

Відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Б.

Властивості Г і Д є дистракторами: Г поєднує період тангенса з областю значень синуса, а Д не відповідає жодній з основних функцій.

Приклад 4. Упізнай формулу за описом графіка

Завдання. Синусоїда проходить через початок координат і зростає в ньому, найбільше значення дорівнює 2, найменше — −2, а відстань між сусідніми максимумами дорівнює π. Яка формула задає цю функцію?

Розв'язання. Амплітуда |A| = (2 − (−2))/2 = 2, отже A = ±2. Оскільки графік зростає в початку координат, це синус (косинус у нулі дорівнював би ±2). Період T = π. Для синуса T = 2π/|k|, тому |k| = 2π/T = 2π/π = 2. Отже, y = 2 sin 2x.

Відповідь: y = 2 sin 2x.

Чому інші варіанти неправильні:

• y = 2 sin x — період 2π, а не π;

• y = sin 2x — амплітуда 1, а не 2;

• y = 2 cos 2x — проходить через (0; 2), а не через (0; 0);

• y = 2 sin(x/2) — період 4π, а не π.

Збираю найпоширеніші помилки, які коштують балів на НМТ. Прочитай уважно й запам'ятай.

• Період y = sin 2x вважають 4π. Правильно: 2π / 2 = π. Помилка виникає, коли множать 2π на k замість ділити. Формула: T = 2π / |k| — чим більший k, тим коротший період.

• Область значень y = 3 cos x − 1 записують як [−3; 3]. Забувають доданок −1 (або B). Правильно: [−4; 2]. Завжди додавай B до обох меж.

• При від'ємному A записують проміжок із лівою межею, більшою за праву, наприклад для −2 sin x пишуть [2; −2]. Правильно: [−2; 2] — ліва межа завжди менша за праву. Бери модуль |A|:E = [B − |A|; B + |A|].

• Вважають tg x визначеним у точці π/2 або приписують йому E = [−1; 1]. Тангенс не існує в π/2 + πn, і його значення — уся числова пряма (−∞; +∞).

• Переплутують графіки синуса й косинуса. Запам'ятай: синусоїда проходить через (0; 0), косинусоїда — через (0; 1).

• Вважають cos x непарною, а sin x — парною. Навпаки: cos x — парна (симетрія відносно Oy), sin x — непарна (симетрія відносно початку координат).

• Записують нулі cos x як πn. Правильно: x = π/2 + πn. Нулі синуса й тангенса — πn, а косинус перетинає вісь Ox у точках π/2 + πn.

Тригонометричні функції входять до розділу «Функції» програми, тема «Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості». Властивості періодичних функцій і дослідження на періодичність програма відносить до вимог профільного рівня. НМТ рівнів не розрізняє, тож такі завдання не виключені.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 16 (логічні пари 1–3 → А–Д, по 1 балу за кожну правильно встановлену пару) містить тригонометричну функцію поруч із логарифмічною та дробово-раціональною. Тобто від тебе можуть вимагати зіставити функцію з її властивостями.

У завданнях № 1–15 (вибір однієї правильної відповіді з п'яти, 0 або 1 бал) можуть запитувати:

• область значень функції виду y = A sin(kx) + B або y = A cos(kx) + B;

• найменший додатний період;

• вибір графіка, що відповідає заданій тригонометричній функції.

У довідкових матеріалах, доступних під час НМТ в електронній формі, є означення синуса, косинуса й тангенса через одиничне коло, а також таблиця значень тригонометричних функцій для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π. Графіків, формул періодів або областей значень у довідці немає — це треба знати напам'ять.

Збери в пам'яті ключові факти — вони стануть у пригоді на НМТ.

• sin x і cos x: D = (−∞; +∞), E = [−1; 1], період 2π.

• tg x: x ≠ π/2 + πn, E = (−∞; +∞), період π.

• Парність: sin x і tg x — непарні, cos x — парна.

• Нулі: у sin x і tg x — x = πn, у cos x — x = π/2 + πn.

• Для y = A sin(kx) + B та y = A cos(kx) + B: область значень E = [B − |A|; B + |A|], період 2π/|k| (для синуса й косинуса) і π/|k| (для тангенса).

• Синусоїда проходить через (0; 0), косинусоїда — через (0; 1).