Формули скороченого множення

Формули квадрата суми й квадрата різниці — це основа для всіх подальших тотожних перетворень. Їх ще називають «формулами скороченого множення», тому що вони дають змогу записати результат множення двочлена на себе без послідовного розкриття дужок.

Як виводять формули

Квадрат суми двох виразів — це добуток (a + b)(a + b). Розкриємо дужки множенням многочлена на многочлен:

$$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$

Звідси й береться подвоєний добуток 2ab: ми додаємо ab з двох однакових множень — першого доданка на другий і другого на перший. Саме цей крок найчастіше пропускають помилково.

Аналогічно для квадрата різниці:

$$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$$

Отже, маємо дві основні формули:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

Застосування до одночленів

Коли в дужках стоять одночлени з коефіцієнтами, кожен коефіцієнт треба підносити до квадрата окремо. Наприклад:

• $$(3x-2y{)}^2=(3x{)}^2-2\cdot 3x\cdot 2y+(2y{)}^2=9x^2-12xy+4y^2$$

• $${\left(a^2+\frac{1}{2}\right)}^2=(a^2{)}^2+2\cdot a^2\cdot \frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=a^4+a^2+\frac{1}{4}$$

Зверни увагу: $$(3x)^2 = 9x^2$$, а не 3x². Коефіцієнт 3 теж підносимо до квадрата.

Квадрат суми двох від’ємних доданків

Якщо обидва доданки зі знаком «мінус», квадрат не змінюється:

• $$(-a-b{)}^2=((-a)+(-b){)}^2=(-a{)}^2+2(-a)(-b)+(-b{)}^2=a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$$

• $$(b-a{)}^2=(b-a)(b-a)=b^2-2ab+a^2=(a-b{)}^2$$

Тобто квадрат не змінюється при зміні знаків обох доданків або при перестановці доданків місцями.

Поширена омана: (a + b)² ≠ a² + b²

Перевірмо на числах: $$(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$$, а $$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$$. Різниця становить 25 − 13 = 12 — це й є подвоєний добуток 2 · 2 · 3 = 12. Тому ніколи не забувай про 2ab.

Згортання тричлена в квадрат двочлена

Формули працюють і в зворотному напрямку: якщо тричлен має вигляд a² ± 2ab + b², його можна «згорнути» в (a ± b)².

• $$x^2-10x+25=x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2=(x-5{)}^2$$

• $$4a^2+12ab+9b^2=(2a{)}^2+2\cdot 2a\cdot 3b+(3b{)}^2=(2a+3b{)}^2$$

Правило: середній член — це подвоєний добуток виразів, квадрати яких стоять по краях. У тричлені x² + * + 49 замість зірочки треба поставити ±14x, тому що 2 · x · 7 = 14x. Знак визначає, чи це квадрат суми, чи квадрат різниці.

Формула різниці квадратів дозволяє перетворювати добуток суми й різниці тих самих виразів на різницю їхніх квадратів — і навпаки.

Формула та її виведення

Розкриємо дужки в добутку (a - b)(a + b):

$$(a-b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b-b\cdot a-b\cdot b=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$$

Отже:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Формула працює в обидва боки: добуток суми й різниці тих самих виразів дорівнює різниці їхніх квадратів.

Застосування до одночленів

Розгляньмо приклади:

• $$(3x-2y)(3x+2y)=(3x{)}^2-(2y{)}^2=9x^2-4y^2$$

• $$(5-a)(a+5)=25-a^2$$ — порядок доданків у дужках не важливий, важливо, що одна дужка — різниця, а друга — сума тих самих виразів.

У другому прикладі зверни увагу: (5 - a)(a + 5) — дужки переставлені, але це все одно добуток суми числа 5 і a на різницю 5 і a, тому результат 25 - a².

Послідовне застосування формули

Якщо вираз містить кілька множників, формулу можна застосувати кілька разів поспіль:

$$(x-1)(x+1)(x^2+1)=(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$$

Спочатку згортаємо перші дві дужки у x² - 1, а потім множимо на x² + 1 — знову різниця квадратів, тепер уже (x²)² - 1² = x⁴ - 1.

Різниця квадратів і квадрат різниці — різні речі

ВАЖЛИВО: не плутай ці два поняття!

Як бачиш, a² - b² і (a - b)² — це різні вирази. У першому випадку ми віднімаємо квадрати, у другому — підносимо до квадрата різницю.

Формули суми й різниці кубів дозволяють розкладати суму або різницю кубів на добуток двох множників. Ці формули не входять до довідкових матеріалів НМТ, тому їх треба знати напам'ять.

Формули

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Другий множник називають неповним квадратом суми (або різниці). Він схожий на звичайний квадрат двочлена, але замість 2ab містить ab.

Як запам'ятати знаки

Правило просте:

• знак у першій дужці такий самий, як між кубами (плюс для суми, мінус для різниці);

• знак біля ab у другій дужці — протилежний.

Тобто: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), а a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Перевірка множенням

Розкриємо дужки для різниці кубів, щоб пересвідчитись:

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a\cdot a^2+a\cdot ab+a\cdot b^2-b\cdot a^2-b\cdot ab-b\cdot b^2$$

$$=a^3+a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b-a{b}^2-b^3=a^3-b^3$$

Усі проміжні члени a²b та ab² взаємно знищуються — залишається чиста різниця кубів.

Застосування

Розглянемо кілька прикладів:

• $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$ — тут b = 2, тому b² = 4 і ab = 2x.

• $$27a^3+1=(3a+1)(9a^2-3a+1)$$ — 27a³ = (3a)³, 1 = 1³.

• Спрощення: $$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a^3 = (a^3 + 8) - a^3 = 8$$

В останньому прикладі ми спочатку згорнули добуток у суму кубів a³ + 8, а потім відняли a³. Результат — число 8, незалежне від a.

Увага: у довідкових матеріалах НМТ є формули (a ± b)² і a² − b², а формул суми й різниці кубів немає. Їх обов'язково треба вивчити напам'ять!

Формули скороченого множення дають змогу виконувати обчислення в розумі значно швидше, ніж множення стовпчиком.

Різниця квадратів чисел

Якщо треба обчислити різницю квадратів двох чисел, застосовуємо формулу a² - b² = (a - b)(a + b). Добуток різниці на суму часто виявляється простим:

• $$51^2-49^2=(51-49)(51+49)=2\cdot 100=200$$

• $$37^2-13^2=(37-13)(37+13)=24\cdot 50=1200$$

• $$67^2-33^2=(67-33)(67+33)=34\cdot 100=3400$$

Порада: завжди дивись, чи не дають a - b та a + b круглі числа. Якщо так, обчислення займе кілька секунд.

Добуток чисел, симетричних відносно круглого

Якщо два числа однаково віддалені від круглого числа, їхній добуток можна записати як різницю квадратів:

• $$98\cdot 102=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996$$

• $$4,1\cdot 3,9=(4+0,1)(4-0,1)=4^2-0,1^2=16-0,01=15,99$$

Поміть закономірність: подаємо кожен множник як суму й різницю з одним центром.

Квадрат числа, близького до круглого

Коли число відрізняється від круглого на одиницю або десяті, використовуй формулу квадрата суми або різниці:

• $$99^2=(100-1{)}^2=10000-200+1=9801$$

• $$10,2^2=(10+0,2{)}^2=100+4+0,04=104,04$$

• $$1001^2=(1000+1{)}^2=1000000+2000+1=1002001$$

Значення виразу після спрощення

Іноді вигідніше спочатку спростити вираз за формулами, а потім підставити значення змінної:

$$(x+3{)}^2-(x-3{)}^2=(x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)=12x$$

При x = 0,25 маємо 12 · 0,25 = 3. Спрощення заощадило час і зменшило ризик помилки при обчисленні квадратів.

Розгляньмо чотири типові завдання в тому форматі, як вони трапляються на НМТ.

Приклад 1. Квадрат двочлена

Завдання: Який многочлен тотожно рівний виразу (2a - 5)²?

Розв'язання: За формулою (a - b)² = a² - 2ab + b² підставляємо a = 2a, b = 5:

$$(2a-5{)}^2=(2a{)}^2-2\cdot 2a\cdot 5+5^2=4a^2-20a+25$$

Відповідь: 4a² − 20a + 25.

Чому інші варіанти неправильні:

• 4a² − 25 — пропущено подвоєний добуток −20a: квадрат різниці сплутано з різницею квадратів ((a − b)² ≠ a² − b²).

• 4a² + 25 — пропущено подвоєний добуток −20a (помилка (a − b)² = a² + b²).

• 4a² − 10a + 25 — добуток 2·2a·5 = 20a, а не 10a: загублено множник 2.

• 2a² − 20a + 25 — коефіцієнт 2 не піднесено до квадрата: (2a)² = 4a², а не 2a².

Приклад 2. Різниця квадратів чисел

Завдання: Обчислити 67² - 33².

Розв'язання: Застосовуємо формулу різниці квадратів:

$$67^2-33^2=(67-33)(67+33)=34\cdot 100=3400$$

Відповідь: 3400.

Розбір дистракторів:

• 1156 — це (67 - 33)² = 34² = 1156, тобто сплутано різницю квадратів з квадратом різниці.

• 10 000 — це (67 + 33)² = 100², помилка: застосовано квадрат суми замість різниці квадратів.

• 340 — це добуток 34·10, забули, що 67 + 33 = 100, а не 10.

• 3300 — це 33·100, помилка в обчисленні різниці 67 - 33.

Приклад 3. Логічні пари

Завдання: Установи відповідність між виразами (1–3) та тотожно рівними їм многочленами (А–Д).

Вирази:

1. (x − 3)(x + 3)

2. (x − 3)²

3. (x − 3)(x² + 3x + 9)

Многочлени:

• А) x² − 9

• Б) x² − 6x + 9

• В) x³ − 27

• Г) x² + 9

• Д) x³ + 27

Розв'язання:

• 1) (x - 3)(x + 3) = x² - 9 — різниця квадратів. Ключ: 1–А.

• 2) (x - 3)² = x² - 6x + 9 — квадрат різниці. Ключ: 2–Б.

• 3) (x - 3)(x² + 3x + 9) = x³ - 27 — різниця кубів (b = 3). Ключ: 3–В.

Многочлени Г) x² + 9 та Д) x³ + 27 — зайві, їм немає пари серед виразів 1–3.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Пропущений член тричлена

Завдання: Який одночлен треба поставити замість * у виразі 9x² − * + 16y², щоб отримати квадрат двочлена?

Розв'язання: Розпізнаємо структуру квадрата двочлена: a² ± 2ab + b². Крайні члени — квадрати: 9x² = (3x)² і 16y² = (4y)². Отже, a = 3x, b = 4y. Середній член — це подвоєний добуток: 2 · 3x · 4y = 24xy. Знак «мінус» перед зірочкою вказує на квадрат різниці: (3x − 4y)² = 9x² − 24xy + 16y².

Відповідь: 24xy.

Чому інші варіанти неправильні:

• 12xy — добуток 3x·4y взято без подвоєння (загублено множник 2).

• 144xy — виникло з (12)²·xy замість 2·3·4·xy.

• 24x²y² — у подвоєний добуток узято квадрати змінних: 2·3·4·x²·y² замість 2·3x·4y = 24xy.

• 7xy — коефіцієнти 3 і 4 додано (3 + 4 = 7) замість того, щоб знайти подвоєний добуток 2·3x·4y = 24xy.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні при роботі з формулами скороченого множення.

• Помилка: (a + b)² = a² + b² — пропущено подвоєний добуток 2ab. Правильно: (a + b)² = a² + 2ab + b². Завжди перевіряй на числах: (2 + 3)² = 25 ≠ 4 + 9 = 13.

• Помилка: (x − 4)² = x² − 4x + 16 — у подвоєному добутку загублено множник 2. Правильно: 2 · x · 4 = 8x, отже x² − 8x + 16.

• Помилка: (3x)² = 3x² — коефіцієнт не піднесено до квадрата. Правильно: (3x)² = 9x². До квадрата підноситься весь одночлен, а не тільки буквена частина.

• Помилка: сплутано a² − b² і (a − b)². a² − b² = (a − b)(a + b) — це різниця квадратів, а (a − b)² = a² − 2ab + b² — квадрат різниці. У першому випадку маємо два множники, у другому — один квадрат.

• Помилка у формулах кубів: a³ − b³ = (a − b)(a² − ab + b²) — неправильний знак біля ab. Правильно: для різниці кубів у другій дужці стоїть +ab: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Для суми кубів — навпаки: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

• Помилка: спроба розкласти a² + b² так само, як a² − b². Сума квадратів у дійсних числах на множники не розкладається. Запам'ятай: формули скороченого множення для суми квадратів не існує.

Формули скороченого множення належать до теми 1.3 програми НМТ з математики. Вони перевіряються в кількох форматах завдань.

Формати завдань

Довідкові матеріали

На НМТ дозволено користуватися довідковими матеріалами, у яких є формули:

• $$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$$

• $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

ВАЖЛИВО: формул суми й різниці кубів у довідці немає. Їх треба знати напам'ять.

Стратегія виконання

• Перетворення за однією формулою — це швидкий бал. У завданнях з вибором відповіді варто спочатку зробити перетворення, а тоді порівняти з варіантами.

• Для перевірки можна підставити у вихідний вираз і в отриманий многочлен просте число (наприклад, x = 2) і порівняти результати.

• У завданні № 17 кожна правильна пара дає 1 бал, тому варто перевіряти кожну пару окремо.

• Звертай увагу на знаки: неправильний знак біля ab у формулах кубів коштує бала.

Основні формули й правила, які варто запам'ятати:

• $$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$$ — подвоєний добуток не губити. Коефіцієнти теж підносяться до квадрата.

• $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ — працює в обидва боки. Чудово підходить для усних обчислень різниці квадратів і добутку чисел, симетричних відносно круглого.

• $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$ — у довідці НМТ немає, вчити напам'ять. Знак біля ab — протилежний знаку між кубами.

• Тричлен є квадратом двочлена, якщо його середній член дорівнює подвоєному добутку виразів, квадрати яких стоять на краях: a² ± 2ab + b² = (a ± b)².

• У завданні № 17 («логічні пари») кожна правильна пара дає окремий бал. Тому варто перевіряти всі три пари, навіть якщо в одній сумніваєшся.

• Сума квадратів a² + b² на множники не розкладається — не шукай для неї формули.