Формули алгебри з довідки НМТ: скорочене множення, квадратне рівняння, модуль

Які формули є в довідці НМТ

У розділі «Алгебра і початки аналізу» довідкових матеріалів НМТ є три формули скороченого множення:

• a² − b² = (a − b)(a + b) — різниця квадратів;

• (a + b)² = a² + 2ab + b² — квадрат суми;

• (a − b)² = a² − 2ab + b² — квадрат різниці.

Формул суми й різниці кубів (a³ ± b³) і куба суми/різниці ((a ± b)³) у довідці немає. Їх треба знати напам’ять — про це окремий юніт «Формули алгебри й тригонометрії, яких немає в довідці НМТ».

Читаємо формули зліва направо: розкриття дужок

Ліва частина кожної формули — це компактний запис, права — розгорнутий многочлен. Щоб розкрити дужки, застосовують формулу саме в цьому напрямку.

• (2x − 3)² = (2x)² − 2·2x·3 + 3² = 4x² − 12x + 9.

• (5a + 1)² = (5a)² + 2·5a·1 + 1² = 25a² + 10a + 1.

• (√2 + √3)(√2 − √3) = (√2)² − (√3)² = 2 − 3 = −1.

Читаємо справа наліво: згортання й розклад

Якщо перед тобою тричлен, який нагадує праву частину однієї з формул, згорни його у квадрат або добуток. Це називають «виділенням повного квадрата» або «розкладанням на множники за формулою».

• 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2·3x·2 + 2² = (3x + 2)².

• x² − 49 = x² − 7² = (x − 7)(x + 7).

• 25y² − 10y + 1 = (5y)² − 2·5y·1 + 1² = (5y − 1)².

Швидкі обчислення

Формули дають змогу рахувати усно навіть великі числа:

• 53² − 47² = (53 − 47)(53 + 47) = 6·100 = 600.

• 101² = (100 + 1)² = 100² + 2·100·1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.

• (√7 − √3)(√7 + √3) = 7 − 3 = 4.

Увага на знаки!

Деякі перетворення зі знаками неочевидні, але їх легко перевірити:

• (b − a)² = (a − b)², бо (b − a) = −(a − b), а квадрат від'ємного числа — додатний. (x − 3)² = (3 − x)².

• (−a − b)² = (a + b)², бо −a − b = −(a + b), а квадрат прибирає мінус. (−x − 5)² = (x + 5)².

• Але b − a = −(a − b) — це просто зміна знака всього виразу, квадрат тут ні до чого.

Запам'ятай: у довідці є тільки три формули скороченого множення. Решту — куби й інші степені — доведеться пам'ятати.

Що каже довідка про квадратне рівняння

У розділі «Алгебра і початки аналізу» довідки НМТ квадратне рівняння записано в загальному вигляді: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0. Під ним подано три формули:

• D = b² − 4ac — дискримінант;

• x₁ = (−b − √D)/(2a), x₂ = (−b + √D)/(2a), якщо D > 0;

• x₁ = x₂ = −b/(2a), якщо D = 0.

Зверни увагу: рядка «D < 0 — дійсних коренів немає» в довідці немає. Це треба знати самостійно: коли дискримінант від'ємний, квадратне рівняння не має дійсних коренів.

Порядок роботи з формулою коренів

Найпоширеніша помилка — неправильно виписати коефіцієнти. Завжди починай із цього:

• Визнач a, b, c зі знаками, які стоять перед ними в рівнянні.

• Підстав у формулу D = b² − 4ac.

• Якщо D ≥ 0, підстав у формулу коренів.

• Перевір корені підстановкою в початкове рівняння.

Розберімо на прикладі: 3x² − 5x − 2 = 0.

• a = 3, b = −5, c = −2.

• D = (−5)² − 4·3·(−2) = 25 + 24 = 49.

• √D = 7.

• x = (5 ± 7)/(2·3) = (5 ± 7)/6.

• x₁ = (5 − 7)/6 = −2/6 = −1/3; x₂ = (5 + 7)/6 = 12/6 = 2.

Зверни увагу: у формулі коренів чисельник −b. Коли b = −5, то −b = 5. Саме тому в чисельнику з'явилося 5, а не −5.

Розклад квадратного тричлена на множники

У довідці також є формула розкладу: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Вона працює, коли D ≥ 0 (корені x₁, x₂ — дійсні числа).

Для 3x² − 5x − 2 маємо x₁ = −1/3, x₂ = 2. Тоді:

3x² − 5x − 2 = 3(x − 2)(x + 1/3) = (x − 2)(3x + 1).

Найважливіше: не губи множник a! Якщо записати (x − 2)(x + 1/3) без трійки, розклад буде неправильним — розкривши дужки, отримаєш x² − (5/3)x − 2/3, а не 3x² − 5x − 2.

Застосування: скорочення дробу

Розклад тричлена допомагає скорочувати раціональні дроби. Наприклад:

(x² − x − 6)/(x − 3). Знайдемо корені чисельника: x² − x − 6 = 0 ⇒ D = 1 + 24 = 25 ⇒ x₁ = (1 − 5)/2 = −2, x₂ = (1 + 5)/2 = 3. Тоді x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3). Підставляємо в дріб: (x + 2)(x − 3)/(x − 3) = x + 2.

Неповні квадратні рівняння

Не всі квадратні рівняння потребують дискримінанта. Неповні рівняння розв'язують простіше:

• x² − 5x = 0 ⇒ x(x − 5) = 0 ⇒ x = 0 або x = 5.

• 4x² − 9 = 0 ⇒ (2x − 3)(2x + 3) = 0 ⇒ x = 1,5 або x = −1,5 — це формула різниці квадратів з довідки.

Теорема Вієта: у довідці її немає

Теорема Вієта (x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a) не входить до довідкових матеріалів НМТ. Якщо ти знаєш її напам'ять, вона може пришвидшити розв'язування простих рівнянь, але завжди перевіряй корені підстановкою. Якщо не пам'ятаєш — користуйся формулою дискримінанта, вона надійна.

Означення модуля в довідці НМТ

У розділі «Алгебра і початки аналізу» довідкових матеріалів НМТ модуль дійсного числа подано так:

• |a| = a, якщо a ≥ 0;

• |a| = −a, якщо a < 0.

Це означає, що модуль числа — це відстань від нуля до цього числа на числовій прямій. Відстань завжди невід'ємна, тому значення модуля ніколи не буває від'ємним.

Як працює −a при a < 0

Коли a від'ємне, запис −a означає «протилежне число до a». Протилежне до від'ємного числа — додатне. Наприклад:

• |−5| = −(−5) = 5.

• |−0,3| = −(−0,3) = 0,3.

• |−√2| = −(−√2) = √2.

Зверни увагу: −a при a < 0 — це додатне число. Мінус перед a «перевертає» знак.

Розкриття модуля за знаком виразу

На НМТ під модулем часто стоїть не просто число, а вираз, знак якого треба визначити. Алгоритм:

1. Визнач, чи є підмодульний вираз додатним, від'ємним або нулем.

2. Якщо вираз ≥ 0, зніми модуль без змін.

3. Якщо вираз < 0, зніми модуль і зміни знак усього виразу на протилежний.

Розгляньмо приклади з ірраціональними числами:

• |√5 − 3|: √5 ≈ 2,236, тому √5 − 3 < 0. Отже, |√5 − 3| = −(√5 − 3) = 3 − √5.

• |π − 4|: π ≈ 3,14, тому π − 4 < 0. Отже, |π − 4| = −(π − 4) = 4 − π.

• |x − 2| при x < 2: x − 2 < 0, тому |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x.

Наслідки означення

З означення модуля випливають дві важливі властивості:

• |a| ≥ 0 для будь-якого a — модуль ніколи не буває від'ємним.

• |−a| = |a| — протилежні числа мають однаковий модуль. Наприклад, |−7| = |7| = 7.

Пам'ятай: вираз під модулем може бути від'ємним, але значення самого модуля — ні. Це ключове правило, яке допомагає уникнути помилок.

У цьому розділі ти побачиш п'ять типових обчислень, які можна виконати, просто знайшовши потрібний рядок у довідці. Для кожного прикладу спершу назвемо рядок довідки, а потім порахуємо.

Обчислення 1. Різниця квадратів

Завдання: 67² − 33².

Рядок довідки: a² − b² = (a − b)(a + b).

Розв'язання: 67² − 33² = (67 − 33)(67 + 33) = 34·100 = 3400.

Відповідь: 3400.

Обчислення 2. Квадрат різниці

Завдання: (√6 − 1)².

Рядок довідки: (a − b)² = a² − 2ab + b².

Розв'язання: (√6 − 1)² = (√6)² − 2·√6·1 + 1² = 6 − 2√6 + 1 = 7 − 2√6.

Відповідь: 7 − 2√6.

Обчислення 3. Згортання тричлена в квадрат

Завдання: знайди значення x² − 8x + 16 при x = 104.

Рядок довідки: (a − b)² = a² − 2ab + b² — читаємо справа наліво.

Розв'язання: x² − 8x + 16 = x² − 2·x·4 + 4² = (x − 4)². Підставляємо x = 104: (104 − 4)² = 100² = 10 000.

Відповідь: 10 000.

Обчислення 4. Корені квадратного рівняння

Завдання: знайди корені рівняння 2x² + 3x − 2 = 0.

Рядки довідки: D = b² − 4ac; x₁ = (−b − √D)/(2a), x₂ = (−b + √D)/(2a).

Розв'язання: a = 2, b = 3, c = −2. D = 3² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25. √D = 5. x = (−3 ± 5)/(2·2) = (−3 ± 5)/4. x₁ = (−3 − 5)/4 = −8/4 = −2; x₂ = (−3 + 5)/4 = 2/4 = 0,5.

Відповідь: −2 і 0,5.

Обчислення 5. Сума модулів

Завдання: |1 − √2| + |√2 − 2|.

Рядок довідки: |a| = a, якщо a ≥ 0; |a| = −a, якщо a < 0.

Розв'язання: √2 ≈ 1,414. 1 − √2 < 0, тому |1 − √2| = −(1 − √2) = √2 − 1. √2 − 2 < 0, тому |√2 − 2| = −(√2 − 2) = 2 − √2. Сума: (√2 − 1) + (2 − √2) = 1.

Відповідь: 1.

Розгляньмо чотири завдання, подібні до тих, що трапляються на НМТ. Кожне має п'ять варіантів відповіді (А–Д), з яких правильний лише один.

Приклад 1. Розкладіть на множники 2x² − 7x + 3

Завдання: Розкладіть на множники квадратний тричлен 2x² − 7x + 3.

Розв'язання: Виписуємо коефіцієнти: a = 2, b = −7, c = 3. D = (−7)² − 4·2·3 = 49 − 24 = 25. √D = 5. Корені: x = (7 ± 5)/(2·2) = (7 ± 5)/4. x₁ = (7 − 5)/4 = 2/4 = 0,5; x₂ = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3. За формулою розкладу: 2x² − 7x + 3 = 2(x − 3)(x − 0,5) = (x − 3)(2x − 1).

Відповідь: (x − 3)(2x − 1).

Чому інші варіанти неправильні:

• (x − 3)(x − 0,5) — загублено множник a = 2. Розкривши дужки, отримаємо x² − 3,5x + 1,5, а не 2x² − 7x + 3.

• (x + 3)(2x + 1) — неправильні знаки коренів: корені 3 і 0,5, а не −3 і −0,5.

• (2x − 3)(x − 1) — розкриваємо: 2x² − 2x − 3x + 3 = 2x² − 5x + 3, не збігається.

• (x − 3)(2x + 1) — розкриваємо: 2x² + x − 6x − 3 = 2x² − 5x − 3, не збігається.

Приклад 2. Обчисліть (√11 − 3)² + 6√11

Завдання: Обчисліть (√11 − 3)² + 6√11.

Розв'язання: За формулою (a − b)² = a² − 2ab + b² маємо: (√11)² − 2·√11·3 + 3² + 6√11 = 11 − 6√11 + 9 + 6√11 = 20.

Відповідь: 20.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2 + 6√11 — помилка: застосували (a − b)² як a² − b², тобто 11 − 9 = 2, і додали 6√11.

• 20 + 12√11 — неправильний знак середнього доданка: (√11 − 3)² = 11 + 6√11 + 9 = 20 + 6√11, а потім +6√11 дає 20 + 12√11.

• 14 — забули додати 6√11 або неправильно розкрили дужки.

• 8 — помилка в обчисленні: (√11)² = 11, 3² = 9, але не врахували −2ab.

Приклад 3. Знайдіть корені рівняння 3x² + 4x − 4 = 0

Завдання: Знайдіть корені рівняння 3x² + 4x − 4 = 0.

Розв'язання: a = 3, b = 4, c = −4. D = 4² − 4·3·(−4) = 16 + 48 = 64. √D = 8. x = (−4 ± 8)/(2·3) = (−4 ± 8)/6. x₁ = (−4 − 8)/6 = −12/6 = −2; x₂ = (−4 + 8)/6 = 4/6 = 2/3.

Відповідь: 2/3 і −2.

Чому інші варіанти неправильні:

• −2/3 і 2 — неправильний знак −b: узяли −b = 4 замість −b = −4, тоді (4 ± 8)/6 = 2 і −2/3.

• 2 і −6 — поділили на 2 замість 2a = 6: (−4 ± 8)/2 = 2 і −6.

• 4/3 і −4 — поділили на a = 3 замість 2a = 6: (−4 ± 8)/3.

• «Коренів немає» — помилка в D: обчислили D = 16 − 48 = −32, забувши, що −4ac при c = −4 дає +48.

Приклад 4. Спростіть |√7 − 3| + |√7 − 2|

Завдання: Спростіть |√7 − 3| + |√7 − 2|.

Розв'язання: √7 ≈ 2,65. Розглянемо кожен модуль окремо. √7 − 3 ≈ −0,35 < 0, тому |√7 − 3| = −(√7 − 3) = 3 − √7. √7 − 2 ≈ 0,65 > 0, тому |√7 − 2| = √7 − 2. Сума: (3 − √7) + (√7 − 2) = 1.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2√7 − 5 — зняли модулі без аналізу знака: (√7 − 3) + (√7 − 2) = 2√7 − 5.

• 5 − 2√7 — неправильно розкрили обидва модулі: (3 − √7) + (2 − √7) = 5 − 2√7, але другий вираз додатний.

• −1 — помилка в знаках: (3 − √7) + (√7 − 2) = 1, а не −1.

• 5 — просто додали числа під модулями: 3 + 2 = 5, ігноруючи √7.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ, працюючи з формулами алгебри з довідки. Кожну помилку супроводжує правильний спосіб.

• Помилка: (a − b)² = a² − b² або a² − 2ab − b². Насправді (a − b)² = a² − 2ab + b². Наприклад, (x − 3)² = x² − 6x + 9, а не x² − 9.

• Помилка: у формулі коренів беруть −b з неправильним знаком, коли b від'ємне. Для x² − 5x + 6 = 0 маємо b = −5, тому −b = 5. Не пиши −b = −5!

• Помилка: у D = b² − 4ac при від'ємному c не змінюють знак. Для 3x² − 5x − 2 маємо D = 25 + 24, а не 25 − 24, бо c = −2, тому −4ac = −4·3·(−2) = +24.

• Помилка: ділять на 2 замість 2a або скорочують лише один доданок чисельника. Наприклад, для 2x² + 3x − 2 = 0 ділимо (−3 ± 5) на 2·2 = 4, а не на 2.

• Помилка: розкладаючи тричлен, гублять множник a. 3x² − 5x − 2 ≠ (x − 2)(x + 1/3). Правильно: 3(x − 2)(x + 1/3) = (x − 2)(3x + 1).

• Помилка: вважають, що |a| = a завжди. |√5 − 3| = √5 − 3 — це від'ємне число, а модуль не може бути від'ємним. Правильно: |√5 − 3| = 3 − √5.

• Помилка: шукають у довідці формули кубів чи теорему Вієта, яких там немає. Формули a³ ± b³ і (a ± b)³, а також теорему Вієта треба знати напам'ять.

Формули скороченого множення, розклад многочлена на множники й дії з дробовими раціональними виразами належать до теми 1.3 програми НМТ. У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 14 — скорочення дробового раціонального виразу, вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал.

Квадратні рівняння входять до теми 2.1 програми: «розв'язувати рівняння й нерівності першого та другого степенів». У демоваріанті НМТ-2026 розділ «Рівняння, нерівності та їх системи» містить завдання № 4, 11, 13 і 22. Це можуть бути як однобальні завдання з вибором відповіді, так і двобальні з короткою відповіддю.

Модуль дійсного числа — тема 1.1 програми. У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 17 — відповідність «логічні пари» зі значеннями виразів з модулем і степенями. Кожна правильна пара дає 1 бал, максимум 3 бали.

Довідку надають в електронній формі на екрані разом з паперовою чернеткою. Роздрукувати довідку можна лише для підготовки до тесту. Стратегія роботи: у чернетці виписати a, b, c зі знаками, потім підставити у формулу. Знайдені корені завжди перевіряй підстановкою в початкове рівняння — це займає 10–15 секунд, але рятує від втрати бала.

• У довідці три формули скороченого множення: a² − b², (a + b)², (a − b)². Кубів там немає.

• Формули читаємо в обидва боки: зліва направо — розкриття дужок, справа наліво — згортання й розклад на множники.

• Перед формулою коренів виписуємо a, b, c зі знаками. −4ac при c < 0 дає «+».

• Розклад квадратного тричлена: a(x − x₁)(x − x₂). Не губи множник a!

• Модуль: |a| = a при a ≥ 0 і |a| = −a при a < 0. Спершу визнач знак виразу, потім знімай модуль.

• Теорему Вієта й формули кубів знаємо напам'ять — у довідці їх немає.