Ділення з остачею та округлення чисел

Не кожне натуральне число можна поділити на інше націло. Наприклад, 47 яблук не можна порівну роздати 6 дітям так, щоб не лишилося жодного яблука. У таких випадках використовують ділення з остачею.

Запис ділення з остачею має вигляд:

$$a=b\cdot q+r$$

де:

• a — ділене (те, що ділять);

• b — дільник (на що ділять);

• q — неповна частка (найбільше ціле число, на яке можна помножити дільник, щоб не перевищити ділене);

• r — остача (те, що залишається); обов’язково виконується умова $0\le r<b$.

Найважливіше правило: остача завжди менша від дільника. Якщо ви отримали остачу, яка дорівнює дільнику або більша за нього, то неповну частку можна збільшити.

Як знаходити неповну частку й остачу

Щоб поділити $a$ на $b$ з остачею, треба знайти найбільше число $q$, для якого $b\cdot q\le a$. Тоді остача $r=a-b\cdot q$.

Розберімо кожен рядок. $47=6\cdot 7+5$ — множимо $6\cdot 7=42$, це найбільший добуток, що не перевищує 47; остача $47-42=5$, і $5<6$.

$1000:7$: $7\cdot 142=994$, $1000-994=6$. Отже, $1000=7\cdot 142+6$.

Коли ділене менше за дільник, неповна частка дорівнює нулю: $5=8\cdot 0+5$.

Чому остача не може бути більшою або рівною дільнику

Запис $47=6\cdot 6+11$ — неправильний, бо остача 11 більша за дільник 6. Правильно було б збільшити неповну частку: $6\cdot 7=42$, остача 5. Остача $r=0$ означає, що $a$ ділиться на $b$ націло. Наприклад, $48=6\cdot 8+0$.

Відновлення діленого за неповною часткою й остачею

Якщо відомі дільник, неповна частка й остача, то ділене знаходять за формулою $a=b\cdot q+r$.

• При діленні на 9 отримали неповну частку 14 та остачу 5. Ділене: $a=9\cdot 14+5=126+5=131$.

• При діленні на 12 отримали неповну частку 8 та остачу 11. Ділене: $a=12\cdot 8+11=96+11=107$.

Пам’ятай: при діленні на $b$ можливі лише остачі $0,1,2,\dots ,b-1$. Усього $b$ різних варіантів. Наприклад, при діленні на 5 остача може бути 0, 1, 2, 3 або 4.

Формула a = b · q + r, де 0 ≤ r < b, — це не просто запис, а означення. Завжди перевіряй, чи виконується умова r < b.

Ділення з остачею допомагає розв'язувати багато практичних задач: визначити день тижня, порахувати кількість повних упаковок або дізнатися, скільки човнів потрібно для групи.

Дні тижня

Дні тижня повторюються з періодом 7. Щоб дізнатися, який день буде через $n$ днів, треба знайти остачу від ділення $n$ на 7. Ця остача показує зсув уперед.

Приклад. Сьогодні середа. Який день буде через 100 днів? $100=7\cdot 14+2$. Остача 2 означає зсув на 2 дні: четвер (1), п'ятниця (2). Відповідь: п'ятниця.

Важливо: остача 0 означає, що через $n$ днів буде той самий день тижня. Наприклад, через 7 днів знову середа, бо $7=7\cdot 1+0$.

Повні упаковки

Коли предмети розкладають в упаковки по $b$ штук, неповна частка показує кількість повних упаковок, а остача — скільки предметів залишилося.

250 яєць розкладають у лотки по 12 яєць. Скільки повних лотків вийде? $250=12\cdot 20+10$. Відповідь: 20 повних лотків і 10 яєць залишиться. А щоб розкласти всі яйця, потрібен 21 лоток.

Групи й човни

Коли людей розсаджують у човни або автобуси, теж використовують ділення з остачею. Тут часто виникають два запитання: «скільки повних» (беремо $q$) і «скільки потрібно, щоб усі помістилися» (беремо $q+1$, якщо $r\ne 0$).

Приклад. 29 учнів сідають у човни по 4 особи. $29=4\cdot 7+1$. 7 повних човнів і 1 учень. Щоб поплисти змогли всі, потрібно 8 човнів.

Повторювані послідовності

Якщо символи повторюються з певним періодом, номер елемента в періоді визначає остача від ділення номера на довжину періоду.

Рядок «АБВГ АБВГ …» має період 4. Який символ стоїть на 2025-му місці? $2025=4\cdot 506+1$. Остача 1 відповідає першому символу періоду — «А». Якби остача була 0, це відповідало б останньому символу періоду («Г»), а не першому.

У задачах на повторювані послідовності остача 0 завжди відповідає останньому елементу періоду, а не першому.

Округлити число до певного розряду — означає замінити його найближчим числом, у якого після цього розряду в цілій частині стоять нулі, а в дробовій — цифр немає. Результат записують зі знаком ≈ (наближено дорівнює).

Основне правило округлення

Дивимося лише на першу цифру, яку відкидаємо (тобто на ту, що стоїть одразу після потрібного розряду):

• якщо ця цифра 0, 1, 2, 3 або 4 — розряд залишаємо без змін;

• якщо ця цифра 5, 6, 7, 8 або 9 — збільшуємо розряд на 1.

Зверни увагу: в цілих числах відкинуті цифри замінюють нулями. Запис $48372\approx 48$ — помилка, правильно $48372\approx 48000$. У десяткових дробах зайві цифри просто відкидають.

Перенесення через кілька розрядів

Коли збільшення розряду на 1 «перекидає» число в наступний розряд (наприклад, 9 стає 10), зміни поширюються ліворуч:

• $2,97$ до десятих: перша відкинута цифра 7 → 9 збільшуємо до 10 → $2,97\approx 3,0$. Нуль у кінці дробової частини зберігають — він показує, що число округлено саме до десятих, а не до цілих.

• $9960$ до сотень: перша відкинута цифра 6 → $9960\approx 10000$.

Округлюй одразу, а не послідовно

Дуже поширена помилка — округлювати число крок за кроком: спочатку до тисячних, потім до сотих, потім до десятих. Так робити не можна! Округлюй одразу до потрібного розряду, дивлячись лише на першу відкинуту цифру.

Приклад: округлити $3,446$ до десятих.

• Правильно: дивимось на першу відкинуту цифру — це 4 (розряд сотих). 4 < 5 → залишаємо 4 без змін: $3,446\approx 3,4$.

• Неправильно: $3,446\to 3,45\to 3,5$ — послідовне округлення дає 3,5, хоча правильний результат 3,4.

Наближені значення нескінченних дробів

Багато звичайних дробів не мають скінченного десяткового запису. Їх теж округлюють до потрібного розряду:

• $\frac{2}{3}=0,666\dots$ — до сотих: перша відкинута цифра 6 → $\frac{2}{3}\approx 0,67$.

• $\pi =3,141592\dots$ — до сотих: перша відкинута цифра 1 → $\pi \approx 3,14$.

Запам’ятай: правило «0–4 не змінюємо, 5–9 збільшуємо на 1» дивиться тільки на першу відкинуту цифру. Решта цифр після неї не має значення.

Коли в задачі треба знайти кількість цілих предметів (автобусів, човнів, упаковок, квитків), звичайне арифметичне правило округлення не працює. Напрям округлення визначає зміст задачі, а не перша відкинута цифра.

Округлення вгору — «має вистачити всім»

Якщо потрібно, щоб об'єктів вистачило на всіх (автобуси, човни, піца, стільці), округлюють завжди в бік збільшення, навіть якщо дробова частина менша за 0,5.

Приклад: 130 учнів їдуть на екскурсію. В автобусі 42 місця. Скільки автобусів потрібно? $130:42\approx 3,095\dots$ Арифметичне округлення дало б 3, але в трьох автобусах лише $3\cdot 42=126$ місць — 4 учні не помістяться. Отже, потрібно 4 автобуси.

Округлення вниз — «скільки повних наборів»

Коли рахують повні набори, букети, квитки, які можна купити на певну суму, округлюють завжди в бік зменшення — беруть лише цілу частину.

• Зі 100 гвоздик складають букети по 7 гвоздик. Скільки вийде букетів? $100=7\cdot 14+2$. Відповідь: 14 букетів (і 2 гвоздики залишаться).

• На 500 грн купують квитки по 65 грн. Скільки квитків можна купити? $500:65\approx 7,69$, отже, 7 квитків ($7\cdot 65=455$ грн, 45 грн залишиться).

Зв'язок з діленням з остачею

Округлення за змістом задачі напряму пов'язане з діленням з остачею. Якщо $a=b\cdot q+r$, то:

Практичні задачі на шпалери, фарбу й упаковки товарів детально розібрано в юніті «Практичні задачі на ціни, тарифи й покупки».

Перед тим як записати відповідь у задачі на кількість предметів, спитай себе: «Має вистачити всім?» — тоді вгору. «Скільки повних наборів?» — тоді вниз.

Розгляньмо типові завдання НМТ, які перевіряють уміння ділити з остачею, округлювати числа та застосовувати ці навички в задачах.

Приклад 1. Визначення дня тижня

Сьогодні понеділок. Який день тижня буде через 150 днів?

Розв'язання. Дні тижня повторюються кожні 7 днів. Ділимо: $150=7\cdot 21+3$. Остача 3 означає зсув на 3 дні вперед від понеділка: вівторок (1), середа (2), четвер (3).

Відповідь: четвер.

Чому інші варіанти неправильні? Середа — помилка тих, хто зарахував сьогоднішній день як перший. Понеділок — хто вирішив, що 150 ділиться на 7 без остачі ($7\cdot 21=147$, а до 150 ще 3).

Приклад 2. Відновлення діленого

Натуральне число поділили на 12 й отримали неповну частку 15 та остачу 9. Знайдіть ділене.

Розв'язання. За формулою $a=b\cdot q+r$: $a=12\cdot 15+9=180+9=189$.

Відповідь: 189.

Типова пастка: $15\cdot 9+12=147$ — той, хто переплутав дільник і остачу, отримує 147. Завжди перевіряй, чи $r<b$: 9 < 12, все правильно.

Приклад 3. Округлення десяткового дробу

Округліть число 5,2449 до сотих.

Розв'язання. Соті — другий знак після коми (4). Перша відкинута цифра — 4 (розряд тисячних). 4 < 5, тому сотий розряд не змінюємо. Результат: 5,24.

Відповідь: 5,24.

Чому не 5,25? Тому що 5,2449 → 5,245 → 5,25 — це послідовне округлення, яке дає помилку. 5,2 — округлення до десятих, 5,245 — до тисячних, 5,3 — грубе округлення до десятих.

Приклад 4. Округлення за змістом — автобуси

На екскурсію їдуть 130 учнів і 8 учителів. В автобусі 45 місць для пасажирів. Яку найменшу кількість автобусів треба замовити?

Розв'язання. Разом людей: $130+8=138$. Ділимо: $138:45\approx 3,066\dots$ Оскільки всі мають поїхати, округлюємо вгору: потрібно 4 автобуси. Перевірка: $3\cdot 45=135$ — 3 особи не помістяться.

Відповідь: 4.

Пастки: 3 — арифметичне округлення (3,07 ≈ 3) або забули додати вчителів (тоді $130:45\approx 2,9\to 3$).

Приклад 5. Повні набори

Із 200 троянд складають букети по 9 троянд. Скільки повних букетів вийде і скільки троянд залишиться?

Розв'язання. Ділимо з остачею: $200=9\cdot 22+2$. Неповна частка 22 — це кількість букетів, остача 2 — кількість троянд, що залишилися.

Відповідь: 22 букети, 2 троянди.

Пастка: 23 букети — хтось округлив угору, бо 200 : 9 ≈ 22,2. Але в задачі питають саме повні букети, тому беремо лише неповну частку.

• Остача більша за дільник або дорівнює йому. Запис $58=6\cdot 8+10$ неправильний, бо 10 > 6. Правильно: $58=6\cdot 9+4$. Завжди перевіряй: $r<b$.

• У задачі про дні тижня зараховують сьогоднішній день. Якщо сьогодні понеділок і питають через 1 день, це вівторок, а не понеділок. Інша помилка — беруть неповну частку замість остачі.

• Переплутали дільник, неповну частку й остачу під час відновлення діленого. Наприклад, замість $a=b\cdot q+r$ пишуть $a=q\cdot r+b$ або $a=b\cdot r+q$.

• Дивляться не на першу відкинуту цифру, а на останню. Число 4,349 до десятих: перша відкинута цифра — 4 (сотий розряд), тому правильно 4,3. Помилково дивляться на 9 і пишуть 4,4.

• Округлюють послідовно по одній цифрі. $3,446\to 3,45\to 3,5$ замість правильного $3,446\approx 3,4$. Округлюй одразу до потрібного розряду.

• Кількість автобусів чи човнів округлюють за арифметичним правилом. 3,07 ≈ 3 замість 4. У задачах «має вистачити всім» — завжди округлюй угору.

• Відкидають нуль, що показує точність. $2,97$ до десятих — правильно 3,0, а не 3. Нуль показує, що округлено саме до десятих, а не до цілих.

• Не замінюють нулями відкинуті цифри цілого числа. $48372$ до тисяч — правильно 48 000, а не 48. У цілих числах замість відкинутих цифр ставлять нулі.

Ділення з остачею й округлення чисел належать до теми 1.1 програми НМТ з математики. У програмі зазначено: «знаходити неповну частку й остачу від ділення натуральних чисел» та «округлювати цілі числа й десяткові дроби».

Формат завдань

• Вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д) — завдання 1–15, 0 або 1 бал. У таких завданнях треба обрати правильний варіант відповіді.

• Коротка відповідь (число) — завдання 19–22, 0 або 2 бали. Тут число треба записати самостійно десятковим дробом (наприклад, 189, 3,0, 0,67). Часткових балів немає: за неправильний запис — 0 балів.

Що можна і не можна використовувати

У довідкових матеріалах НМТ немає правил округлення чи ділення з остачею — ці правила треба знати напам'ять. Калькулятор на НМТ заборонений, тому всі обчислення виконують усно або письмово на чернетці.

Стратегія

• Для задачі на остачу випиши рівність $a=b\cdot q+r$ і обов'язково перевір, що $r<b$.

• Перед округленням кількості предметів спитай себе: «має вистачити всім» (тоді вгору) чи «скільки повних» (тоді вниз).

• У завданнях з короткою відповіддю записуй число акуратно, за інструкцією до завдання: десятковий дріб — через кому.

Останніми роками поріг НМТ з математики становив 5 тестових балів з 32; параметри НМТ-2027 ще не оголошено. Завдання на ділення з остачею й округлення — одні з найпростіших у тесті, тому вони дають надійний внесок у подолання порогу.

• Ділення з остачею: $a=b\cdot q+r$, де $0\le r<b$. Остача завжди менша від дільника.

• Якщо $r=0$, число ділиться націло.

• День тижня через $n$ днів — зсув на остачу від ділення $n$ на 7. Остача 0 — той самий день.

• Округлення — за першою відкинутою цифрою: 0–4 — без змін, 5–9 — плюс 1.

• Округлюй одразу до потрібного розряду, не ланцюжком.

• У цілих числах відкинуті цифри замінюй нулями (48 372 ≈ 48 000).

• Нуль у кінці дробу після округлення показує точність (3,0 — до десятих).

• «Має вистачити всім» — округлення вгору ($q+1$ при $r\ne 0$).

• «Скільки повних наборів» — округлення вниз (неповна частка $q$).