Дії з одночленами й многочленами

~10 хв · 8 розділів · 10 тестових запитань

Перетворення виразів

Математика НМТ

Частина кар’єрної траєкторії НМТ 2027: 3 обов’язкові + українська література.

Увійдіть, щоб приєднатися Назад до траєкторії

Спрощення виразів з одночленами й многочленами: зведення подібних доданків, розкриття дужок зі знаком «мінус», множення одночлена на многочлен і многочлена на многочлен. Перевірка тотожності підстановкою числа.

Одночлен, многочлен і подібні доданки

У цьому розділі ти познайомишся з базовими поняттями, на яких будується вся алгебра виразів: одночлен, многочлен, подібні доданки та тотожні перетворення. Без чіткого розуміння цих термінів неможливо правильно спрощувати вирази, а отже — успішно скласти НМТ.

Що таке одночлен?

Одночлен — це добуток чисел, змінних та їхніх натуральних степенів. Наприклад: $- 3 a^{2} b$ , $0, 5 x$ , $7$ (число — теж одночлен). Числовий множник називають коефіцієнтом одночлена. В одночлені $- 3 a^{2} b$ коефіцієнт дорівнює $- 3$ , а буквена частина — $a^{2} b$ .

Стандартний вигляд одночлена — це такий запис, у якому на першому місці стоїть єдиний числовий множник (коефіцієнт), а кожна змінна записана лише один раз у відповідному степені. Наприклад: $2 x \cdot (- 3 x y) = - 6 x^{2} y$ . Тут ми перемножили коефіцієнти $2 \cdot (- 3) = - 6$ , а потім додали показники однакових змінних: $x^{1} \cdot x^{1} = x^{2}$ , $y^{1} = y^{1}$ .

Що таке многочлен?

Многочлен — це сума одночленів. Кожен одночлен у цій сумі називають членом многочлена. Наприклад, $4 a^{2} - 7 a + 2 a^{2} + a$ — многочлен, що складається з чотирьох членів.

Подібні доданки

Подібні доданки — це одночлени, які мають однакову буквену частину. Коефіцієнти можуть бути різними, але набір змінних та їхні показники мають збігатися.

Подібні	Неподібні
$3 x^{2} y$ і $- 5 y x^{2}$ (однакові змінні x²y)	$3 x^{2} y$ і $3 x y^{2}$ (різні показники: x²y і xy²)
$- 7 a^{3} b$ і $2 a^{3} b$	$4 a$ і $4$ (одна змінна є, другої немає)
$5$ і $- 3$ (обидва — числа)	$2 a b^{2}$ і $2 a^{2} b$ (різні показники)
$2 a b^{2}$ і $5 b^{2} a$ (переставлено множники)	$x$ і $x^{2}$ (різні степені)

Зверни увагу: $2 a b^{2}$ і $5 b^{2} a$ — подібні, адже від перестановки множників добуток не змінюється. А от $3 x^{2} y$ і $3 x y^{2}$ — неподібні, бо показники при x та y різні.

Зведення подібних доданків

Зведення подібних доданків — це додавання їхніх коефіцієнтів. Буквена частина при цьому не змінюється. Розгляньмо приклад:

$4 a^{2} - 7 a + 2 a^{2} + a$

Згрупуємо подібні: $(4 a^{2} + 2 a^{2}) + (- 7 a + a) = 6 a^{2} - 6 a$ .

Многочлен стандартного вигляду складається з одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних. Його члени зазвичай записують за спаданням степенів змінної: $6 a^{2} - 6 a$ . Запис $- 6 a + 6 a^{2}$ — теж стандартний вигляд, лише в іншому порядку.

Тотожно рівні вирази й тотожності

Два вирази називають тотожно рівними, якщо їхні значення рівні за будь-яких значень змінних, що входять до них. Наприклад, $2 (a + b)$ і $2 a + 2 b$ — тотожно рівні, бо розподільний закон множення виконується для будь-яких чисел a і b.

Тотожність — це рівність, правильна за всіх значень змінних. Тотожне перетворення — це заміна виразу на тотожно рівний йому. Саме цим ми й займатимемося в цьому юніті: спрощуватимемо вирази, замінюючи їх на простіші, але тотожно рівні.

Доведення тотожностей (наприклад, доведення, що (a + b)² = a² + 2ab + b²) — це завдання профільного рівня програми. НМТ рівнів не розрізняє, але завдань на доведення в ньому немає: є лише вибір відповіді, відповідність і коротка відповідь. Тому досить уміти виконувати тотожні перетворення за готовими правилами.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Дужки зі знаком «мінус»: додавання й віднімання многочленів

Одна з найпоширеніших помилок на НМТ — неправильне розкриття дужок, перед якими стоїть знак «мінус». Розберімося раз і назавжди, як це робити правильно.

Основне правило

Якщо перед дужками стоїть знак «+», дужки можна просто опустити, залишивши всі доданки без змін:

$+ (2 x - 3 y + 1) = 2 x - 3 y + 1$

Якщо перед дужками стоїть знак «−», потрібно змінити знак КОЖНОГО доданка всередині дужок на протилежний:

$- (2 x - 3 y + 1) = - 2 x + 3 y - 1$

Зверни увагу: змінюється знак кожного доданка, а не лише першого! Доданок $2 x$ стає $- 2 x$ , $- 3 y$ стає $+ 3 y$ , а $+ 1$ стає $- 1$ .

Сума й різниця многочленів

Щоб додати або відняти многочлени, потрібно взяти кожен з них у дужки, розкрити дужки за правилами, а потім звести подібні доданки.

Розгляньмо приклад:

$(3 x^{2} - 2 x + 5) - (x^{2} - 4 x - 1)$

Крок 1. Розкриваємо дужки. Перед першими дужками знак «+» (неявний), тому залишаємо без змін. Перед другими — «−», тому змінюємо знаки всіх доданків у других дужках:

$= 3 x^{2} - 2 x + 5 - x^{2} + 4 x + 1$

Крок 2. Зводимо подібні доданки:

$= (3 x^{2} - x^{2}) + (- 2 x + 4 x) + (5 + 1) = 2 x^{2} + 2 x + 6$

Протилежні вирази й винесення «мінуса» за дужки

Вирази $b - a$ і $a - b$ є протилежними: $b - a = - (a - b)$ . Це часто використовують для спрощення.

Винесення «мінуса» за дужки — зворотна дія до розкриття дужок зі знаком «мінус». Наприклад:

$- x^{2} + 4 x - 3 = - (x^{2} - 4 x + 3)$

Перевір: розкрий дужки в правій частині — отримаєш $- x^{2} + 4 x - 3$ .

Перевірка підстановкою

Найшвидший спосіб перевірити, чи правильно ти спростив вираз, — підставити замість змінної якесь число, наприклад $x = 1$ або $x = 2$ . Якщо значення вихідного виразу й отриманої відповіді збігаються — усе гаразд. Якщо ні — ти точно десь помилився.

Важливо: збіг значень при одному числі ще не доводить, що вирази тотожно рівні. Але розбіжність хоча б при одному числі точно означає помилку. Тому підстановка — чудовий спосіб відсіяти неправильні варіанти на НМТ.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Множення одночленів і многочленів

Множення виразів — ключова навичка для спрощення. Розглянемо три випадки: добуток одночленів, множення одночлена на многочлен і множення многочлена на многочлен.

Добуток одночленів

Щоб перемножити одночлени, потрібно:

перемножити коефіцієнти (числові множники);
додати показники однакових змінних (за правилом $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ );
визначити знак добутку: «−» при непарній кількості від'ємних множників, «+» — при парній.

Приклад:

$(- 2 a^{3} b) \cdot 5 a b^{2} = (- 2 \cdot 5) \cdot (a^{3} \cdot a) \cdot (b \cdot b^{2}) = - 10 a^{3 + 1} b^{1 + 2} = - 10 a^{4} b^{3}$

Тут два від'ємні множники? Ні, лише один ( $- 2 a^{3} b$ ), тому добуток від'ємний.

Множення одночлена на многочлен

Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно кожен член многочлена помножити на цей одночлен, а потім додати отримані добутки. Це випливає з розподільного закону множення:

$a (b + c) = ab + a c$

Приклад:

$- 3 x (2 x^{2} - x + 4) = (- 3 x) \cdot 2 x^{2} + (- 3 x) \cdot (- x) + (- 3 x) \cdot 4$

$= - 6 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Зверни увагу на знаки: $(- 3 x) \cdot (- x) = + 3 x^{2}$ , бо мінус на мінус дає плюс.

Множення многочлена на многочлен

Правило: кожен член першого многочлена множимо на кожен член другого, а потім зводимо подібні доданки.

Розгляньмо приклад:

$(2 x - 3) (x + 4)$

Крок 1. Множимо $2 x$ на кожен член другого многочлена: $2 x \cdot x = 2 x^{2}$ , $2 x \cdot 4 = 8 x$ .

Крок 2. Множимо $- 3$ на кожен член другого многочлена: $(- 3) \cdot x = - 3 x$ , $(- 3) \cdot 4 = - 12$ .

Крок 3. Додаємо всі добутки й зводимо подібні:

$= 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12 = 2 x^{2} + 5 x - 12$

До зведення подібних кількість добутків дорівнює добутку кількостей членів. Наприклад, для двочлена й тричлена отримаємо $2 \cdot 3 = 6$ добутків.

Три множники й вирази, що не залежать від змінної

Якщо треба перемножити три многочлени, роблять це послідовно: спочатку перемножують перші два, а потім результат множать на третій.

Іноді після спрощення змінна зникає повністю. Наприклад:

$(x - 2) (x + 5) - x (x + 3)$

$= x^{2} + 5 x - 2 x - 10 - x^{2} - 3 x$

$= (x^{2} - x^{2}) + (5 x - 2 x - 3 x) - 10 = - 10$

Результат $- 10$ — число, яке не залежить від x. Це означає, що за будь-якого x значення вихідного виразу дорівнює $- 10$ .

Формули скороченого множення (квадрат суми, різниця квадратів тощо) — це окрема велика тема. Її ми розглянемо в наступному юніті. Поки що множимо многочлени за загальним правилом «кожен на кожен».

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Розбираємо завдання

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ на спрощення виразів з одночленами й многочленами. Кожне розв'яжемо покроково.

Приклад 1. Спрощення виразу з дужками

Завдання: спростити вираз $5 a - (3 a - 2 b) + (a - 4 b)$ .

Розв'язання:

Крок 1. Розкриваємо дужки. Перед $(3 a - 2 b)$ стоїть «−», тому змінюємо знаки: $- 3 a + 2 b$ . Перед $(a - 4 b)$ стоїть «+» (неявний), тому залишаємо без змін: $+ a - 4 b$ .

$5 a - 3 a + 2 b + a - 4 b$

Крок 2. Зводимо подібні доданки: $(5 a - 3 a + a) + (2 b - 4 b) = 3 a - 2 b$ .

Відповідь: $3 a - 2 b$ .

Чому інші варіанти неправильні?

$3 a - 6 b$ — не змінено знак перед $2 b$ (мало бути $+ 2 b$ , а залишили $- 2 b$ ).
$9 a - 2 b$ — не змінено знак перед $3 a$ (мало бути $- 3 a$ , а залишили $+ 3 a$ ).
$3 a + 2 b$ — загублено доданок $- 4 b$ з других дужок: $5 a - 3 a + 2 b + a = 3 a + 2 b$ .
$a - 2 b$ — загублено коефіцієнт 3 при a.

Приклад 2. Добуток многочленів

Завдання: який многочлен тотожно рівний виразу $(2 x - 3) (x + 4)$ ?

Розв'язання:

Множимо кожен член першого многочлена на кожен член другого:

$(2 x - 3) (x + 4) = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 + (- 3) \cdot x + (- 3) \cdot 4$

$= 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12 = 2 x^{2} + 5 x - 12$

Відповідь: $2 x^{2} + 5 x - 12$ .

Перевірка підстановкою $x = 1$ : вихідний вираз $(2 \cdot 1 - 3) (1 + 4) = (- 1) \cdot 5 = - 5$ ; відповідь $2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 12 = 2 + 5 - 12 = - 5$ . Збігається.

Чому інші варіанти неправильні?

$2 x^{2} - 12$ — перемножено лише перші й останні члени: $2 x \cdot x = 2 x^{2}$ і $(- 3) \cdot 4 = - 12$ , середні добутки пропущено.
$2 x^{2} + 11 x - 12$ — помилка в знаку при $- 3 \cdot x$ : взято $+ 3 x$ замість $- 3 x$ , тобто $8 x + 3 x = 11 x$ .
$2 x^{2} + 5 x + 12$ — не змінено знак при $(- 3) \cdot 4$ : взято $+ 12$ замість $- 12$ .
$2 x^{2} - 5 x - 12$ — переплутано знаки обох середніх добутків: узято $- 8 x$ і $+ 3 x$ замість $+ 8 x$ і $- 3 x$ , тобто $- 8 x + 3 x = - 5 x$ (фактично перемножено $(2 x + 3) (x - 4)$ ).

Приклад 3. Вираз, що не залежить від змінної

Завдання: спростити $(x - 2) (x + 5) - x (x + 3)$ .

Розв'язання:

Крок 1. Розкриваємо дужки в добутках:

$(x - 2) (x + 5) = x^{2} + 5 x - 2 x - 10 = x^{2} + 3 x - 10$

$x (x + 3) = x^{2} + 3 x$

Крок 2. Віднімаємо: $(x^{2} + 3 x - 10) - (x^{2} + 3 x)$ .

Розкриваємо дужки зі знаком «−»: $x^{2} + 3 x - 10 - x^{2} - 3 x = - 10$ .

Відповідь: $- 10$ .

Чому інші варіанти неправильні?

$6 x - 10$ — після «мінуса» змінено знак лише першого доданка $x^{2}$ , а $+ 3 x$ залишили без змін, отримавши $x^{2} + 3 x - 10 - x^{2} + 3 x = 6 x - 10$ .
$2 x^{2} + 6 x - 10$ — не змінено знак жодного доданка після «мінуса».
$- 6 x - 10$ — помилка в знаку при відніманні $3 x$ .
$10$ — загублено знак «мінус».

Приклад 4. Значення виразу після спрощення

Завдання: знайти значення виразу $3 a (a - 2 b) - a (3 a - b)$ при $a = - 2$ , $b = 0, 5$ .

Розв'язання:

Крок 1. Спрощуємо вираз:

$3 a (a - 2 b) = 3 a^{2} - 6 ab$

$a (3 a - b) = 3 a^{2} - ab$

$3 a (a - 2 b) - a (3 a - b) = (3 a^{2} - 6 ab) - (3 a^{2} - ab)$

$= 3 a^{2} - 6 ab - 3 a^{2} + ab = - 5 ab$

Крок 2. Підставляємо $a = - 2$ , $b = 0, 5$ :

$- 5 \cdot (- 2) \cdot 0, 5 = - 5 \cdot (- 1) = 5$

Відповідь: $5$ .

Чому інші варіанти неправильні?

$- 5$ — загублено знак a (підставлено $a = 2$ замість $a = - 2$ ).
$7$ — помилка в знаку: $- a \cdot (- b)$ узято як $- ab$ замість $+ ab$ .
$- 7$ — комбінація помилок зі знаками.
$3$ — неправильне спрощення (наприклад, не зведено подібні).

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Типові помилки й пастки

Навіть добре підготовлені учні припускаються однотипних помилок. Ось найпоширеніші — запам'ятай їх, щоб не втратити бали на НМТ.

Втрата знака «мінус» перед дужками. Найчастіша помилка: $- (3 a - 2 b) = - 3 a - 2 b$ замість правильного $- 3 a + 2 b$ . Правило: мінус перед дужками змінює знак кожного доданка всередині.
Змінено знак лише першого доданка в дужках. Наприклад, $- (2 x - 3 y + 1) = - 2 x - 3 y + 1$ замість $- 2 x + 3 y - 1$ . Змінюй знак усіх доданків, а не тільки першого.
Зведення неподібних доданків. Не можна додавати $3 x^{2} + 2 x = 5 x^{3}$ або $3 x^{2} y + 3 x y^{2} = 6 x^{2} y$ . Перевіряй, чи збігається буквена частина повністю, включно з показниками.
Множення показників замість додавання. Пам'ятай: $x^{2} \cdot x^{3} = x^{2 + 3} = x^{5}$ , а не $x^{6}$ . Показники додаються, а не множаться.
У добутку многочленів перемножено лише перші й останні члени. Наприклад, $(2 x - 3) (x + 4) = 2 x^{2} - 12$ — пропущено середні добутки $2 x \cdot 4 = 8 x$ і $(- 3) \cdot x = - 3 x$ . Завжди множ кожен член на кожен.
Помилка в знаку добутку двох від'ємних членів. Наприклад, $(- 3) \cdot (- x) = - 3 x$ замість правильного $+ 3 x$ . Мінус на мінус дає плюс.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Як це перевіряють на НМТ

Дії з одночленами й многочленами належать до теми 1.3 програми НМТ з математики: «Правила додавання, віднімання й множення одночленів і многочленів, тотожні перетворення».

У вибірці з чотирьох тестів НМТ 2023–2024 (поза офіційними файлами) на тему 1.3 припадало 2–3 завдання на тест. Це можуть бути:

Завдання № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал. Типове формулювання: «Спростити вираз і вибрати тотожно рівний йому».
Перетворення многочленів як крок у складніших завданнях, зокрема в № 14 демоваріанта 2026 (скорочення дробового раціонального виразу).

Стратегія для НМТ

Найшвидший спосіб перевірити себе на тестуванні — підстановка числа. Ось як це працює:

Візьми просте число, наприклад $x = 1$ або $x = 2$ .
Обчисли значення вихідного (неспрощеного) виразу.
Обчисли значення кожного варіанта відповіді.
Варіанти, значення яких не збігається з вихідним, — однозначно неправильні.
Якщо збігається лише один варіант — це правильна відповідь.

Пам'ятай: збіг при одному числі не доводить тотожності, але розбіжність точно доводить помилку. На НМТ серед п'яти варіантів правильний лише один, тому підстановка майже завжди дає однозначну відповідь.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Питання й відповіді

Чи подібні доданки 2ab² і 5b²a?

Так, це подібні доданки. Від перестановки множників добуток не змінюється, тому $2 a b^{2}$ і $5 b^{2} a$ мають однакову буквену частину $a b^{2}$ (або $b^{2} a$ — це те саме). Їхні коефіцієнти різні (2 і 5), але це не заважає подібності.

Чому збіг значень при одному числі ще не доводить, що вирази тотожно рівні?

Тотожна рівність означає, що значення збігаються для всіх можливих значень змінних. Якщо вирази збіглися при $x = 1$ , це ще не гарантує, що вони збігатимуться при $x = 2$ , $x = 0$ або $x = - 5$ . Наприклад, вирази $x^{2}$ і $2 x - 1$ при $x = 1$ обидва дорівнюють 1, але при $x = 2$ маємо 4 і 3 — не збігаються. Тому збіг при одному числі — лише підказка, а не доведення.

Як не загубити знак, коли перед дужками стоїть «мінус»?

Уяви, що перед дужками стоїть множник $- 1$ . Тоді розкриття дужок — це множення $- 1$ на кожен доданок у дужках. Наприклад, $- (3 a - 2 b) = (- 1) \cdot 3 a + (- 1) \cdot (- 2 b) = - 3 a + 2 b$ . Якщо щоразу подумки замінювати «мінус перед дужками» на «множення на -1», помилок не буде.

Скільки добутків треба записати, коли множиш тричлен на двочлен?

Тричлен має 3 члени, двочлен — 2 члени. За правилом «кожен член на кожен» отримуємо $3 \cdot 2 = 6$ добутків. Після цього обов'язково треба звести подібні доданки, тому в остаточній відповіді членів може бути менше.

Чи можна перемножити три дужки в будь-якому порядку?

Так, множення многочленів, як і множення чисел, має властивість асоціативності: результат не залежить від того, які дві дужки перемножити першими. Наприклад, $(x + 1) (x - 2) (x + 3)$ можна обчислити як $((x + 1) (x - 2)) (x + 3)$ або $(x + 1) ((x - 2) (x + 3))$ — відповідь буде однаковою. Обирай той порядок, який здається простішим.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Коротко: головне

Подібні доданки мають однакову буквену частину (набір змінних з тими самими показниками). Зводимо їх, додаючи коефіцієнти.
«Мінус» перед дужками змінює знак кожного доданка всередині дужок. Не лише першого!
У добутку одночленів коефіцієнти множимо, а показники однакових змінних додаємо: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
Многочлен на многочлен — кожен член першого множимо на кожен член другого, потім зводимо подібні.
Підстановка $x = 1$ швидко відсіює неправильні варіанти відповіді на НМТ.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Самоперевірка

Перевірте себе на цьому юніті

Спробуйте ці 5 запитань — оберіть відповідь, щоб побачити, чи ви праві й чому. Приєднайтеся, щоб пройти повний тест юніту, який іде в глибину по цьому юніту.

1. Який вираз тотожно дорівнює виразу −x² + 5x − 7?

2. Спрости вираз 4a² − 7a + 2a² + a.

3. Знайди добуток многочленів (2x − 3)(x + 4).

4. Яка пара одночленів є подібними?

5. Знайди значення виразу 3a(a − 2b) − a(3a − b) при a = −2, b = 0,5.

Це лише дрібка самоперевірки — повний тест юніту йде в глибину й використовує всі 10 запитань цього юніта і точно визначає, що вивчати.

Приєднатися, щоб пройти тест